湖南省108所学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）.docx

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1、湖南省108所学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）2023年上学期高一期中联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是( )

2、A. B. C. D. 2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是( )A. 长方体B. 圆锥C. 棱锥D. 圆台3. 复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知，为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数的部分图象大致为( )A. B. C. D. 6. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45和75，则建筑物AB

3、的高度为( )A. B. C. D. 7. 已知锐角的内角，所对的边分别为，则的周长的取值范围为( )A. B. C D. 8. 已知，是不共线的两个向量，若，则的最小值为A. 2B. 4C. D. 二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 向量满足：，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是( )A 1B. C. D. 210. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是( )A. B. C. 若为锐角三角形，则D. 11. 已知，则下列结论正确的是( )A. B.

4、 C. D. 12. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 若函数为偶函数，则B. 若时，且在上单调，则C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则D. 若函数在上至少有两个最大值点，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 幂函数的图象过点，则函数恒过定点_.14. 若，则_.15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P(视为质点)从水

5、中浮现(图中点A)时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则_.16. 定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知关于的方程，.(1)当时，在复数范围内求方程的解；(2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.18. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，

6、E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径设ABx(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)(1)将S表示为x的函数，并写出函数的定义域；(2)当AB多长时，S取得最大值？并求出此最大值19. 如图，在四边形ACBD中，AB与CD交于点M，且.(1)若，求，的值；(2)若，求，满足的等量关系.20. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为.(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求.21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边

7、上的点，.(1)求的大小；(2)若，求BC长.22. 已知是定义在上奇函数，.(1)若时，的最大值为2，求的值；(2)设直线，与函数的图象分别交于A，B两点，直线，与函数的图象分别交于C，D两点，若存在，且，使得，求的取值范围.2023年上学期高一期中联考数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一

8、、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，能正确表示图中阴影部分的集合是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为.故选：B.2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是( )A. 长方体B. 圆锥C. 棱锥D. 圆台【答案】D【解析】【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.【详解】对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确；对于B项，如图2，

9、用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确；对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.故选：D.3. 复平面内表示复数的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解，所以，复平面内表示该复数的点为，所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.故选：C.4. 已知，为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分

10、也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由，即成立，故充分性成立；取，则成立，但不成立，故必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A5. 函数的部分图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，所以，即函数为奇函数，排除AB，当时，排除D.故选：C6. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是

11、45和75，则建筑物AB的高度为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可.【详解】在中，根据正弦定理可得，在中，故选：A7. 已知锐角的内角，所对的边分别为，则的周长的取值范围为( )A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到，即可将转化为的三角函数，结合的取值范围及正切函数的性质计算可得.【详解】因为，由正弦定理，即，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以，因为，所以或(舍去)，所以，所以，所以，即所以，即的周长的取值范围为.故选：C8. 已知，是不共线的两个向量，若，则的最小值为A 2B. 4C.

12、D. 【答案】B【解析】【分析】由可推得，.令，根据函数的最大值，即可得出，进而得出答案.【详解】由可得，即.因，所以，所以，.令，因为，所以.又对，恒成立，所以，所以.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 向量满足：，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是( )A. 1B. C. D. 2【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解.【详解】由题意，向量满足且，所以向量在向量上的投影向量的模为.故选：ACD10. 在中，内角A，B

13、，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是( )A. B. C. 若为锐角三角形，则D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项.【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；对于B项，由A知，.由正弦定理可得，所以.由，根据正弦定理可得，所以，所以，故B项正确；对于C项，由已知可得，所以，因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确；对于D项，故D项错误.故选：ABC.11. 已知，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析

14、】【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，展开即可得出B项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C项；根据，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得出D项.【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，由已知可得，即，所以，故B项正确；对于C项，.由已知，可知，所以，所以，故C项错误；对于D项，因为，所以，所以，.又，所以，故D项正确.故选：ABD.12. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 若函数为偶函数，则B. 若时，且在上单调，则C. 若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则D. 若函数上至少有两个最大值点，则【答案】BD【解析

15、】【分析】由已知求出的表达式，代入即可判断A；求出的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B项；先解，然后得出相邻交点最小的距离为，最大距离为.结合已知列出的不等式，求解即可判断C项；由已知可推出，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出的取值范围，进而判断D项.【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，则，故A项错误；对于B项，时，因为，所以，因为在上单调，所以有，解得，故B项正确；对于C项，由题意，则，或，则或，所以，相邻交点最小的距离为，最大距离为.由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于，相邻五个交点之间的最小距离不小于，所以，且，所以，故C项错误；对

16、于D项，故，所以，所以.因为，所以.由于，所以，则，解得；，解得；，解得.当时，满足在上至少有两个最大值点.综上所述，.故选：BD【点睛】思路点睛：D项，先化简函数表达式，进而根据已知得出的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出的取值范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 幂函数的图象过点，则函数恒过定点_.【答案】【解析】【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，即，当时，所以函数恒过定点.故答案为：14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】因为，根据诱导公式可得，然后根据二倍角的余弦

17、公式展开，即可得出答案.【详解】因为，所以，.故答案为：.15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P(视为质点)从水中浮现(图中点A)时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水面距离表示为时间的函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.【详解】由题意周期秒，所以角速度(rad/s)，当经过时间秒，质点从运动到如图所在位置，

18、如图， 此时，因为水车半径米，水车中心离水面距离米,所以，所以P到水面距离，即，故答案为：16. 定义在上的函数满足，且当时，；当时，；当时，.若对，都有，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据已知可得出函数在区间以及区间上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设，以及.进而根据已知条件，推出函数在内的解析式，进而求解即可得出的值，进而得出的取值范围.【详解】由当时，可得的图象在该区间内关于直线对称；由当时，可得的图象在该区间内关于点对称.结合已知条件，作出函数的部分图象如下图由图象可设，且时，都有，且.设，则，.因为，当时，所以，.当时，所以.又函数满足，所以，所以，.令，解得，即

19、.所以，.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知关于的方程，.(1)当时，在复数范围内求方程的解；(2)已知复数，若方程有虚根，求的模的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)代入，配方得到，开方即可得出答案；(2)由已知可得，求解得出的取值范围，进而得出，开方即可得出答案.【小问1详解】当时，方程为，配方可得，两边开方可得，所以，方程的解为.【小问2详解】要使方程有虚根，则，所以，所以.又，所以，所以，.18. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米

20、的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场，规定ABCD的每条边长均不超过20米如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径设ABx(单位：米)，养殖区域EFGH的面积为S(单位：平方米)(1)将S表示为x的函数，并写出函数的定义域；(2)当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值【答案】(1)S102x，定义域为5，20；(2)当AB10米时，S取得最大值，最大值为10220【解析】【分析】(1)由已知得到AD，进一步得到EF,FG的长度用x表示，即可得到S；(2)利用基本不等式即可求得最大值【详解】解：(1)因为ABx，所以AD，EFx2，FG1

21、，所以S(x2)(1)102x，因为0x20，020，解得5x20，所以S102x，定义域为5，20(2)S102x102210220，当且仅当x105，20时取等号，答：当AB10米时，S取得最大值，最大值为1022019. 如图，在四边形ACBD中，AB与CD交于点M，且.(1)若，求，的值；(2)若，求，满足的等量关系.【答案】(1)， (2)【解析】【分析】(1)根据已知条件可推得，进而得出.根据，即可得出的值；(2)根据数量积公式，求出.进而求出，又根据数量积公式有，即可得出.同理可得出，联立即可得出关系式.【小问1详解】由已知可得，.又，所以.所以，.又，所以.又，所以，.【小问2

22、详解】由已知可得，则，则.则，又,所以，则.又，所以，.所以，有，整理可得，.20. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为.(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象.令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求.【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)求出对称轴可得出函数周期，由周期求出，再由过点求出，代入求A，即可得出函数解析式；(2)根据图象平移得出解析式，利用三角恒等变换化简，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.【小问1详解】由图象过与知为函数的对称轴，所以，即，所以，又函数

23、图象经过，所以，即，又，所以，因为图象过点，所以，解得，所以函数解析式为.【小问2详解】的图象向左平移个单位长度可得，得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到，所以，当，即时，有最大值，此时.21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，.(1)求的大小；(2)若，求BC的长.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由正弦定理角化边，整理可得，然后根据余弦定理即可求得，进而根据角的范围，即可得出答案；(2)在以及中，分别根据余弦定理，结合，整理化简可得.在中，根据余弦定理推出.联立两个方程，即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理以及已知可得，整理可得，.由余弦定

24、理可得，.又，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，.又，所以，即，整理可得.因为，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.联立可得.所以，.22. 已知是定义在上的奇函数，.(1)若时，的最大值为2，求的值；(2)设直线，与函数的图象分别交于A，B两点，直线，与函数的图象分别交于C，D两点，若存在，且，使得，求的取值范围.【答案】(1)或 (2)【解析】【分析】(1)根据，求出，然后代入函数验证奇偶性.化简得到，结合的单调性，根据与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；(2)写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出.令，代入整理可得，令换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出的取值范围.【小问1详解】因为为R上的奇函数，所以，即，所以.当时，因此，为奇函数.所以，.当时，单调递增，若，则恒成立，不符合题意；若，则单调递增，此时，所以；若，则单调递减，此时，所以.综上所述，或.【小问2详解】由题意可得，则，.由可知，即，设，由题意可得，存在，使得.令，该函数关于单调递增，且时，.设，由题意可知在上不单调，当时，不符合题意；当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，因此，解得.