概率论与数理统计复习提纲.pdf

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1、第一章 随机事件及其概率 一、随机事件及其运算 1.样本空间、随机事件 样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用 A,B,C,表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件()是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系 2.事件的四种关系 包含关系：AB，事件 A 发生必有事件 B 发生；等价关系：AB，事件 A 发生必有事件 B 发生，且事件 B 发生必有事件 A 发生；互不相容（互斥）：AB ，事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。对立关系（互逆）：A，

2、事件A发生事件 A 必不发生，反之也成立；互逆满足AAAA 注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3.事件的三大运算 3.事件的三大运算 事件的并：AB，事件 A 与事件 B 至少有一个发生。若AB，则ABAB；事件的交：ABAB 或，事件 A 与事件 B 都发生；事件的差：-A B，事件 A 发生且事件 B 不发生。4.事件的运算规律 交换律：,ABBA ABBA 结合律：()(),()()ABCABCABCABC 分配律：()()(),()()()ABCABACABCABAC 德摩根（De Morgan）定律：德摩根（De Morgan）定

3、律：,ABABABAB 对于 n 个事件，有1111,nniiiinniiiiAAAA 二、随机事件的概率定义和性质 1公理化定义1公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件),(AA 都有确定的实值 P(A)，满足下列性质：(1)非负性：;0)(AP (2)规范性：;1)(P(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件kAAA,21，有kiikiiAPAP11)()(.则称 P(A)为随机事件 A 的概率.2概率的性质 2概率的性质()1,()0PP ()1()P AP A 若AB，则()(),()()()P AP BP BAP BP A且()()()()P ABP AP B

4、P AB()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 注：性质的逆命题不一定成立的.注：性质的逆命题不一定成立的.如若),()(BPAP则BA。（）若0)(AP，则A。（）三、古典概型的概率计算 古典概型古典概型：若随机试验满足两个条件：只有有限个样本点,每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,()kP An。典型例题：典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为.)()(1nmnmmnNMNMCAP(2)在不放回抽样的

5、方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为 nNmnMNmMmnAAACAP)(2.nNmnMNmMCCC 四、条件概率及其三大公式 1.条件概率：1.条件概率：()()(|),(|)()()P ABP ABP B AP A BP AP B 2.乘法公式：1212131211()()(|)()(|)()()(|)(|)(|)nnnP ABP A P B AP B P A BP A AAP A P AA P AA AP AAA 3.全概率公式：若12,nniijiB BBBBBij 满足，则1()()(|)niiiP AP B P A B。4.贝叶斯公式：若事件12,nB

6、BBA和如全概率公式所述，且(A)0P，1()(|)(|)()(|)iiiniiiP B P A BP BAP B P A B则.五、事件的独立 1.定义：()()(),P ABP A P B若则称A,B独立.推广：若12,nA AA相互独立，11()()()nnP AAP AP A 2.在,A BA BA BA B四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。3.三个事件 A,B,C 两两独立：()()()()()()()()()P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C 注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：(),

7、0,1,2,1.kkn knnP kC p qkn qp 1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若()0,P A 则A。（X）3.()0.1,()0.5,()0.05P AP BP AB若则。(X)4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABCABCABC。()5.n 个事件若满足。()5.n 个事件若满足,()()()ijiji j P AAP A P A，则 n 个事件相互独立。(X)，则 n 个事件相互独立。(X)6.当AB时，有 P(B-A)=P(B)-P(A)。（）第二章 随机变量及其分布

8、第二章 随机变量及其分布 一、随机变量的定义：设样本空间为，变量)(XX 为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质 1.定义：设随机变量X，对于任意实数xR，函数()F xP Xx称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当21xx 时，)(21xXxP)()(12xFxF(1)X是离散随机变量，并有概率函数,2,1),(ixpi则有.)()(xxiixpxF(2)X 连续随机变量，并有概率密度 f(x)，则dttfxXPxFx)()()(.2.分布函数性质：（1 F(x)是单调非减函数，即对于任意x1 x2，有);(

9、)(21xFxF；（2 1)(0 xF；且1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，；（3 离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即)0()(xFxF；连续随机变量 X，F(x)在（-，+）上处处连续。注：一个函数若满足上述 3 个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布 1.定 义.设 随 机 变 量X只 能 取 得 有 限 个 数 值nxxx,21，或 可 列 无 穷 多 个 数 值,21nxxx且),2,1()(ipxXPii，则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,)为X的概率分布，或概率函数(分布律).注：概率函数pi的性质:;,2,1,0)1(ipi

10、1)2(iip 2.几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布，XH(N,M,n)，0,1,2,kn kMN MnNCCP XkknC（2）二项分布，XB(n.,p)，()(1)0,1,kkn knP XkC ppkn 当 n=1 时称 X 服从参数为 p 的两点分布（或 01 分布）。若 Xi(i=1,2,n)服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。（3）泊松(Poisson)分布，()XP，(0),0,1,2,.!keP Xkkk 四、连续随机变量及其分布 1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数 f(x)，使得对于任意区间Iba,(，有,)()(b

11、adxxfbXaP则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，概率密度函数，简称概率密度概率密度。注 1：连续随机变量X任取某一确定值的0 x概率等于 0,即;0)(0 xXP 注 2：)()()(212121xXxPxXxPxXxP21)()(21xxdxxfxXxP 2.概率密度f(x)的性质：性质 1：;0)(xf 性质 2：.1)(dxxf 注 1：一个函数若满足上述 2 个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注 2：当21xx 时，)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf 且在 f(x)的连续点x处，有).()(xfxF 3.几种常见的连

12、续随机变量的分布：(1)均匀分布(,)XU a b，.,1;,;,0)(01)(bxbxaabaxaxxFbxaabxf其它，(2)指数分布()Xe,0 .0,0,0,1)(000)(xxexFxxexfxx，(3)正态分布),(2NX，0 xdtexFexfxtx,21)(21)(22222)(2)(，1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设 X 是随机变量，有)可近似成泊松分布。(X)3.设 X 是随机变量，有()()P aXbP aXb。(

13、X)。(X)4.若X的密度函数为()f x=cos,0,2x x，则0(0)cos.PXtdt(X)第三章 随机变量的数字特征 一、期望（或均值）1定义：,EX1,(),kkkx pEXxf x dx离散型连续型 2期望的性质：(1)(),(E CCC为常数)(2)E(CX)=CE(X)(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.3.随机变量函数的数学期望1(),()kkkg xpXE g xX+-离散型g(x)f(x)dx，连续型 4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的基本方法：常见的基本

14、方法：将一个比较复杂的随机变量X X 拆成有限多个比较简单的随机变量X Xi i之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1方差 连续型离散型,)()(,)()()(222dxxfXExpXExXEXEXDii 注：D(X)=EX-E(X)20；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小小)，表示X取值越分散(集中集中)。2方差的性质(1)()0,(D CC2为常数)(2)D(CX)=C D(X)(3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4)对于任意实数 CR，有 E(X-C)2D(X)当且仅当 C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值 D(X)

15、.(5)(切比雪夫不等式)切比雪夫不等式):设X的数学期望 E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数，有()P|X-E X|2().D X或 ()P|X-E X|.2()1-D X 3.计算(1)利用方差定义；(2)常用计算公式.)()()(22XEXEXD(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差 1.若XB(n,p),则 E(X)=np,D(X)=npq;2.若;)()(),(XDXEPX则 3.若XU(a,b),则;12)()(,2)(E2abXDbaX 4.若;1)(,1)(),(2XDXEeX则 5.若.)(,)(),(22XDXENX则 三、原点矩与中心矩（

16、总体）X 的 k 阶原点矩：)()(kkXEXv （总体）X 的 k 阶中心矩：kkXEXEXu)()(1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的 X,Y，都有1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。()3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的实质是随机变量函数的期望。()5.对于任意的 X,Y，

17、都有()D XYDXDY成立。(X)成立。(X)第四章 正态分布 一、正态分布的定义 一、正态分布的定义 1.正态分布 ),(2NX概率密度概率密度为,21)(222)(xexfx其分布函数分布函数为xtdtexF222)(21)(注：21)(F.正态密度函数的几何特性：；对称曲线关于x)1(；）（21)(2取得最大值时，当xfx ；，轴为渐近线以时当xxfx0)()3(;2121)4(22222)(2)(dxedxexx 轴作平移变化.图形不变，只是沿着的大小时，f(x)的改变，当固定y）（5 越大,图形越高越瘦；越小,变，对称轴不变而形状在改的大小时改变，当固定（6）xf)(，图形越矮越胖

18、.2.标准正态分布 当1,0时，),1,0(NX其密度函数为.,21)(22xexx且其分布函数为.21)(22xtdtex)(x的性质：)0()1(;21 ).(1)()3(xx 3.正态分布与标准正态分布的关系 3.正态分布与标准正态分布的关系 定理：若),(2NX 则)1,0(NXY.定理：设),(2NX则).()()(1221xxxXxP 二、正态分布的数字特征 二、正态分布的数字特征 设),(2NX 则 1.期望E(X)dxexXEx222)(21)(2.方差D(X)2 22)(222)(21)(dxexXDx 3.标准差)(X 三、正态分布的性质 1线性性三、正态分布的性质 1线性

19、性.设),(2NX则)0(),(22bbbaNbXaY，；2可加性2可加性.设),(),(22yyxxNYNX且 X 和 Y 相互独立，则);,(22yxyxNYXZ 3线性组合性 3线性组合性 设niNXiii,2,1),(2，且相互独立，则).,(12211niiiniiiniiiccNXc 四、中心极限定理 四、中心极限定理 2121)()2(2222dxedxexx1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量,21nXXX相互独立，服从相同的分布，且;,2,1,)(,)(2 niXDXEii 则对于任何实数 x，有xtdte222)(21xnnXPniin1lim 定理解释：若nXXX,2

20、1满足上述条件，充分大时当n有（1）)1,0(*ANYnnnXnii1；),()2(21*nnANXYniin；（3）),(121nANXnXnii 2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设),(pnBYn则xtdte222)(21xpnpnpYPnn)-(1lim 定理解释：若),(pnBYn当n充分大时，有（1）)1,0()1(ANpnpnpYn；（2）)1(,(pnpnpANYn 1.若),1,2(),1,0(NYNX则).2,2(NYX（X）2.若),(2NX则.21)0(XP（）3.设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布：)5,(),4,(22NYNX).(),5();4(21BYPpX

21、Pp则而.;21212121ppD.ppC.ppB.ppA.都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数，4.已知连续随机变量X的概率密度函数为1221)(xxexf 则X的数学期望为_1_;X的方差为_1/2_.第五章 数理统计的基本知识 一、总体 个体 样本 一、总体 个体 样本 1.总体：把研究对象的全体称为总体(或母体).它是一个随机变量，记X.2.个体：总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：从总体X中，随机地抽取n个个体nXXX,21,称为总体X的容量为n的样本样本。注：样本),(21nXXX是一个 n 维的随机变量；本书中提到的样本都是指简单随机

22、样本，其满足 2 个特性：代表性：nXXX,21中每一个与总体X有相同的分布.独立性：nXXX,21是相互独立的随机变量.4.样本),(21nXXX的联合分布 设总体X的分布函数为F(x)，则样本),(21nXXX的联合分布函数为),(21nxxxF;)(1niixF(1)设总体X的概率密度函数为f(x),则样本的联合密度函数为),(21nxxxf;)(1niixf (2)设总体X的概率函数为),2,1,0(),(xxp,则样本的联合概率函数为;)(),(121niinxpxxxp 二、统计量 二、统计量 1.定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数)(n21,X,XXg称为统计量,),(2

23、1nxxxg是)(n21,X,XXg的观测值.注：（1）统计量)(n21,X,XXg是随机变量；（2）统计量)(n21,X,XXg不含总体分布中任何未知参数；（3）统计量的分布称为抽样分布抽样分布.2.常用统计量（1）样本矩：样本均值 niiXnX11；其观测值 niixnx11.可用于推断：总体均值 E(X).样本方差)(11)(11122122niniiXnXnXXnSi;其观测值 niixxns122)(11.11122niixnxn 可用于推断：总体方差D(X).样本标准差2SS niiXXn12)(11.11122niiXnXn 其观测值 2ss niixxn12)(11.11122

24、niixnxn 样本k 阶原点矩),2,1(,11kXnVnikik 其观测值 nikikxnv11 样本 k 阶中心矩),2,1(,)(11kXXnUnikik 其观测值 nikikxxnu1)(1 注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值E(X)；样本方差2S与总体方差D(X)；样本 k 阶原点矩),2,1(,11kXnVnikik与总体 k 阶原点矩),2,1(),(kXEk；样本 k 阶中心矩),2,1(,)(11kXXnUnikik与总体 k 阶原点矩),2,1(,)(kXEXEk.前者是随机变量，后者是常数.(2)样本矩的性质:设总体 X 的数学期望和方差分别为2,DXEX，

25、2,SX为样本均值、样本方差，则)(1oXE;)(2oXD;12n .)(322oSE 3.抽样分布：统计量的分布称为抽样分布.三、3 大抽样分布 三、3 大抽样分布 分布2.1：定义.设kXXX,21相互独立，且kiNXi,2,1),1,0(，则)(2222212kXXXk 注：若),1,0(NX则).1(22X（2）性质（可加性）设2221和相互独立，且),(),(22221221kk则).(2122221kk 2.t分布：设X 与Y 相互独立,且),(),1,0(2kYNX则).(ktkYXt/注：t分布的密度图像关于t=0 对称；当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1

26、).3.F分布:定义.设X与Y相互独立，且),(),(2212kYkX则).,(/2121kkFkYkXF (2)性质.设),(21k,kXF则)(/112,kkFX.四、分位点 定义：对于总体X和给定的),10(若存在x，使得)(xXP则称x为 X 分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法（1）)(2k分布的分位点);(2k（2）)(kt分布的分位点),(kt 其性质：);()(1ktkt（3）),(21kkF分布的分位点),(21kkF其性质;),(1),(12211kkFkkF（4）N(0,1)分布的分位点,u有),(1)(1)(uuXPuXP 第六章 参数估计 一、点估计:一、点估计

27、:设),(21nXXX为来自总体 X 的样本，为 X 中的未知参数，),(21nxxx为样本值，构造某个统计 量),(21nXXX作为参数的估计，则称),(21nXXX为的点估计量，),(21nxxx为的估计值.2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法 二、矩估计法 1.基本思想:用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2.求总体 X 的分布中包含的 m 个未知参数m,21的矩估计步骤：求出总体矩,即,2,1,)()(kXEXEXEkk或；用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：,2,1,)()(1)(111kXEXEXXnXEXnknikikniki或 解上述方程（或方程

28、组）得到m,21的矩估计量为：miXXXnii,2,1),(21 m,21的矩估计值为：mixxxnii,2,1),(21 3.矩估计法的优缺点：优点：直观、简单;只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.缺点：没有充分利用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性；可能估计结果的精度比其它估计法的低 三、最大似然估计法 三、最大似然估计法 1.直观想法：在试验中，事件 A 的概率P(A)最大,则 A 出现的可能性就大；如果事件 A 出现了，我们认为事件 A的概率最大.2.定义 设总体X的概率函数或密度函数为),(xp（或),(xf），其中参数未知，则 X 的样本),(21nXXX的联 合概率函

29、数（或联合密度函数）niixpL1),()(（或niixfL1),()(称为似然函数.3.求最大似然估计的步骤：（1）求似然函数:X离散：niixpL1),()(X连续：niixfL1),()(（2）求)(lnL和似然方程：miLi,2,1,0)(ln（3）解似然方程，得到最大似然估计值：mixxxnii,2,1),(21（4）最后得到最大似然估计量：miXXXnii,2,1),(21 4.最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体 X 的分布形式.四、估计量的评价标准 1.无偏性:设)(1nX,X是未知参数的估计量，若E)(，则)(1nX,X是的无偏估计量，)(x

30、1nx,是的无偏估计值。有效性:设)(111nX,X和)(122nX,X是未知参数的无偏估计量，若DD)()(21，则称1比2有效。1.若),(21nXXX是来自总体X的样本，则nXXX,21相互独立.（）2.不含总体 X 的任何未知参数的样本函数),(21nXXXg就是统计量.()3.样本矩与总体矩是等价的。（X）4.矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.(X)设总体未知，其中22),(NX，则估计量niiXXnX122)(1，分别是2，的无偏估计量.(X)如果你还不知道读什么书，或者想寻找下载阅读更多书籍，就请您打开微信扫一扫，扫描下方二维码，关注微信公众号：大学生学术

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