苏锡常镇四市2024届高三下学期教学情况调研考试数学试题含答案.pdf

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1、 试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 江苏省苏锡常镇四市江苏省苏锡常镇四市 20242024 届高三教学情况调研数学试题届高三教学情况调研数学试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 注意事项：注意事项：1本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。2答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上铅笔把答题卡上对应题目的答案标

2、号涂黑；非选择题请用直径对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1已知复数z满足2i1 iz=+，则z=（）A1 i B1 i C1 i+D1 i+2已知集合Z10Axx=+，Bx

3、 xa=，若AB中有 2 个元素，则 a的取值范围是（）A)2,4 B)1,2 C2,4 D1,2 3某学生通过计步仪器，记录了自己最近 30 天每天走的步数，数据从小到大排序如下：5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901 13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172 14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972 估计该学生最近 30 天每天走的步数数据的第 75 百分位数为（）A

4、14292 B14359 C14426 D14468 4若函数()1yf x=是定义在 R 上的奇函数，则()()()101fff+=（）A3 B2 C2 D3 5有 4 个外包装相同的盒子，其中 2 个盒子分别装有 1 个白球，另外 2 个盒子分别装有 1 个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开 2 个盒子就能确定 2 个白球在哪个盒子中的概率为（）A12 B13 C14 D16 6已知1F，2F分别是双曲线()222:104xyCbb=的左、右焦点，是M双曲线C右支上的一个动点，且“2212MFMF”的最小值是8 6，则双曲线C的渐近线方程为（）A12yx=B2yx=C22yx=D3

5、2yx=7已知圆22:1O xy+=，过点()2,0A的直线 l与圆 O交于 B，C两点，且ABBC=，则BC=（）A2 B32 C2 D62 8如图，圆1O和圆2O外切于点P，A，B分别为圆1O和圆2O上的动点，已知圆1O和圆2O的半径都为 1，且1PA PB=，则2PAPB+的最大值为（）A2 B4 C2 2 D2 3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得

6、 0 分分 9已知()()sin0,0,02f xAxA=+的部分图象如图所示，则（）A()01f=B()f x在区间4 11,36单调递减 C()f x在区间 5,36的值域为1,3 D()f x在区间,22有 3 个极值点 10已知正四棱锥SABCD的所有棱长均相等，O为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有（）试卷第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 A平面SAD 平面SBC B侧面SBC内存在无穷多个点P，使得/OP平面SAD C在正方形ABCD的边上存在点Q，使得直线SQ与底面所成角大小为3 D动点,M N分别在棱AB和BC上（不含端点），则二面角SMNO的范围是,4

7、 2 11已知定义在R上的函数()f x在区间1,0上单调递增，且满足()()4fxf x=，()()2fxf x=，则（）A()1010kf k=B()()0.91.20ff+D()1sin1ln2ff=+，则31log16f=13 已知()()1,0,4,0,2ABPBPA=，若平面内满足到直线:340lxym+=的距离为 1 的点P有且只有 3个，则实数m=14有序实数组()()*12,nx xxnN称为n维向量，12nxxx+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用已知n维向量()12,nax xx=，其中0,1,2,1,2,ixin=记范数为奇数的a的个数为nA，

8、则4A=；21nA+=（用含n的式子表示）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，小题，第第 1515 小题小题 1313 分，第分，第 1616、1717 小题小题 1515 分，第分，第 1818、1919 小题小题 1717 分，分，共共 77 分解分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知ABC中，角,A B C所对的边分别为2tan,tantanAaa b cABc=+.(1)求角B；(2)若2224abc+=，且ABC的周长为57+，求ABC的面积.16单位面积穗数穗粒数千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验

9、田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了 100 个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：穗粒数)10,20)20,30)30,40)40,50 50,60 穗数 4 10 56 22 8 其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这 5 组的质量（单位：g）分别为：38,46,42,40,44.(1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为 40 万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到1kg）；公式：亩产量=亩穗数样本平均穗粒数1000样本平均千粒重.(2)已知该试验田穗粒数X近似服从正态分布()2,N，其中

10、近似为样本平均数，2近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于 28 粒的穗数超过总体的80%，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.参考数据：若X近似服从正态分布()2,N，则()0.6827PX+.试卷第 5 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 17 如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，四边形ABCD与四边形11ABC D是面积相等的矩形，1AB=，2AD=，平面1111ABC D 平面11,ABC D E为11AD的中点.(1)求点1,B E到平面11ABC距离的差；(2)求直线1AB与平面1BB E所成角的正弦值.18三等分角是古希腊几何尺

11、规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角(0)=，因为AB中只有 2 个元素，则0,1AB=，所以12a.故选：B 3C【分析】根据给定数据，利用第 75 百分位数的意义求解即得.【详解】由30 75%22.5=，得样本的第 75 百分位数为第 23 个数据，据此估计该学生最近 30 天每天走的步数数据的第 75 百分位数为 14426.故选：C 4A【分析】根据奇函数的性质可得()()2f xfx+=，进而可得()()112ff+=，()01f=，即可求解.【详解】设(

12、)()1F xf x=，则()()0F xFx+=，即()()110f xfx+=，即()()2f xfx+=，所以()()112ff+=.因为()()0010Ff=，所以()01f=，()()()101213fff+=+=.故选：A 5B【分析】先将 4 个盒子进行全排，若恰好拆开 2 个盒子就能确定 2 个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.【详解】将 4 个盒子按顺序拆开有44A24=种方法，若恰好拆开 2 个盒子就能确定 2 个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有22222222A8AA A+=种情况，答案第 2 页，共 1

13、3 页 则恰好拆开 2 个盒子就能确定 2 个白球在哪个盒子中的概率为81243P=.故选：B 6C【分析】法一：根据条件，利用点到点的距离公式得到221204MFMFcx=，再利用02x，即可求出结果；法二：利用双曲线的定义，得到()221224 42MFMFMF=+，再利用2MF的取值范围，即可求出结果.【详解】解法一：不妨设()1,0Fc，()2,0Fc，()00,Mxy，且02x，则()()222222120000048MFMFxcyxcycxc=+=，所以88 6c=，解得6c=，2b=，故双曲线 C的渐近线方程为22yx=.解法二：()()()22121212124MFMFMFMF

14、MFMFMFMF=+=+()()24 424 4228MFcc=+=，所以88 6c=，解得6c=，2b=，故双曲线 C的渐近线方程为22yx=.故选：C.7D【分析】根据条件可得1122BDOC=，结合图形得出1coscos4COAODB=，然后根据转化法利用向量积求出向量AC的模即可【详解】如图，在OAC中，BDOC，1122BDOC=，1cos4BDODBED=，1coscos4COAODB=，222cos6ACOCOAOCOAOCOACOA=+=，所以62BC=.故选：D 8D【分析】由()()11221PA PBPOO APOO B=+=，化简得到()1212121O A O BPO

15、O BO AO BO A=，两 答案第 3 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 边平方化简可得：121313O A O B +，由221122PAPBPOO APOO B+=+化简即可得到答案.【详解】()()112212121212PA PBPOO APOO BPO POPO O BO A POO A O B=+=+()1211211POO BO AO A O B=+=，所以()1212121O A O BPOO BO AO BO A=，所以2221221122O A O BO BO AO A O B+，即21212220O A O BO A O B+，解得121313O A O

16、B +.2222211221212122PAPBPOO APOO BO AO BO AO BO A O B+=+=+=+()122222132 3O A O B=+=.故选：D 9AD【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断 A，举反例判断 BC，利用整体代换法判断 D 即可.【详解】由图像得2A=，311341264T=，解得T=，故222T=，故此时有()()2sin 2xxf=+，将(,2)6代入函数解析式，得22sin 26=+，故22,Z62kk+=+，解得Z2,6kk=+，而02，故6=，此时()2sin 26f xx=+，显然()01f=成立，故 A 正确，易知523f=，73

17、4f=，而5734，5734ff，判断 C；作OI垂直于MN，连接SI，则SIO为二面角SMNO的平面角，求得二面角SMNO范围是,4 2，判断 D.【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为 1 对于 A：过 S 作直线lAD，因为BCAD，所以lBC，所以l为平面SAD与平面SBC的交线，取AD中点,E BC中点 F，连接,ES FS，由正四棱锥SABCD，可得,SEAD SFBC，所以,lAD lBC，所以ESF为二面角AlB 的平面角，连接EF，在EFS中，222331221cos03322ESF+=所以平面SAD与平面SBC不垂直，故 A 错误；对于 B：取SB中点,G SC中点 H，连接

18、,OG OH GH，因为,OGSD OHSA，又,OG OH 平面 SAD，,SD SA平面SAD，所以/OG平面SAD，/OH平面SAD，又OGOHO=，所以平面/OGH平面SAD，所以当PGH时，/OP平面SAD，这样的点 P有无穷多，故 B 正确；对于 C：由已知可知当 Q在正方形ABCD各边中点时，SQ与底面ABCD所成的角最大，答案第 5 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 1312cos3232SEO=，所以3SEO，所以()()0.91.20ff+，所以()()22.5log 80ff，故 C 正确；()()1lnln2ln22fff=，且0ln20.7，所以2sins

19、in1sin0.7342=，故1sin1ln20，所以()1sin1ln2ff，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系.考查学生的基本分析能力与计算能力，属于中等难度的题型.128116【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.【详解】331loglog 1616=，233163，313log216 ，381log1633331118181loglog2log22log31616161616ffff=+=+=故答案为：8116 135或5

20、【分析】设出动点P的坐标，由2PBPA=求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340lxym+=的距离等于 1 即可.【详解】设点(,)P x y，由|2|PBPA=可得：2222(4)2(1)xyxy+=+，两边平方整理得：224xy+=，即点P的轨迹是圆,圆心在原点，半径为 2.若该圆上有且只有 3 个点到直线:340lxym+=的距离为 1，则圆心到直线的距离|15md=，解得5m=故答案为：5或5.14 40 21312n+【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A；根据21(2 1)n+和21(2 1)n+的展开式相减得到21nA+的通项公式.答案第 7 页，共 13 页 学科

21、网（北京）股份有限公司【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C2C240A=+=奇数维向量，范数为奇数，则1ix=的个数为奇数，即 1 的个数为 1，3，5，21n，根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C2C2C2C2nnnnnnnnnA+=+，212102112222210212121213(2 1)C2C2C2C2nnnnnnnnnn+=+=+2102112222210212121211(2 1)C2C2C2C2nnnnnnnnn+=+两式相减得到2121312nnA+=.故答案为：2；21312n+.15(1)3B=(2)3 32.【分析】（1）利

22、用正弦定理边化角，切化弦后整理可得；（2）根据余弦定理，联立已知条件解方程组可得2,3ca=，然后由面积公式可得.【详解】（1）由正弦定理边化角得2tansintantansinAAABC=+，所以2sinsincossinsinsincoscosAAAABCAB=+，即2sinsinsincoscossinsincoscoscosACABABAAAB+=，整理得()()2sin sin cossinsin cossin cossin sinsin sinACBAABBAAABAC=+=+=，因为0,0,sin0,sin0ACAC，所以12cos1,cos2BB=，又0B，根据正态分布的3原则

23、，求得概率即可判断.【详解】（1）该试验田样本平均穗粒数为41056228152535455537100100100100100+=，样本平均千粒重为()384642404442 g5+=，所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为()44240 1037621600 g621.6kg622kg1000=，（2）由（1）得37=，22222241056228(1537)(2537)(3537)(4537)(5537)76,100100100100100=+=所以769=得：11()()0.50.68270.50.8413522P XPX=，所以该试验田中的小麦为优质小麦品种.17(1)66(2)15

24、 【分析】（1）根据题设条件得到1BC 平面1111DCBA，从而有11BCB E，再利用几何关系得到111ACB E，得到1B E 平面11ABC，从而点1,B E到平面11ABC的距离分别为1,B F EF，分别求出1,B F EF，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，求出1AB 及平面1BB E的法向量，利用线面角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为四边形11ABC D是矩形，所以111BCC D，又平面1111ABC D 平面11ABC D，且平面1111ABC D 平面11111,ABC DC D BC=平面11ABC D，所以1BC 平面1111DCBA，答案第 9 页，

25、共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 因为1B E 平面1111DCBA，所以11BCB E.在矩形1111DCBA中，11111111111121tan2,tan2122BCABB ACAEBABAE=，所以11111B ACAEB=，因为111111111111112AEBC ADB ACC ADB AD+=+=，所以111ACB E，又1111111,ACBCC AC BC=平面11ABC，所以1B E 平面11ABC.设111ACB EF=，则点1,B E到平面11ABC的距离分别为1,B F EF，又22222211111111111112126321,22362ABAEB EA

26、BAEAFB FABAFB E=+=+=2211366661,33236EFB EB F=，所以点1,B E到平面11ABC距离的差为666366=.（2）因为1BC 平面111111,ABC D AD 平面1111DCBA，所以111BCAD，又1BC/111,AD AD/AD，所以1ADAD，又由矩形11,ABCD ABC D知,AB AD，1AD两两垂直，以点A为坐标原点，以直线1,AB AD AD分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()1120,0,0,1,0,0,0,2,2,0,2,1,2,22ABAEB，所以()()1121,2,2,1,2,0,2,

27、2,2ABBEBB=答案第 10 页，共 13 页 设平面1BB E的一个法向量为(),nx y z=，则100n BEn BB=，即2202220 xyzyz+=+=，取2z=，得2,2xy=，所以()2,2,2n=，设直线1AB与平面1BB E所成角为，则()1122222211222221sincos,51(2)(2)(2)22AB nAB nAB n+=+，即直线1AB与平面1BB E所成角的正弦值为15.18(1)2213yx=(2)证明见解析；证明见解析 【分析】（1）根据题设直接求出,a b，即可求出结果；（2）根据条件得到直线AG的方程为12x=，设()()000,1E xyx

28、 ，则 012dx=，利用两点间的距离公公式及220013yx=，即可证明结果；根据条件得到1sinsin2BAEEAG=，从而得到12BAEEAG=，再利用几何关系，即可证明结果.【详解】（1）设双曲线M的方程为22221(0,0)xyabab=，由2BOCO=及()2,0B，可得()1,0C，所以1a=，因为双曲线M的离心率为 2，所以2222141abba+=，解得23b=，所以双曲线M的方程为2213yx=.（2）由题可得()()2,0,1,0BC，因为ABAC=，所以直线AG的方程为12x=，设()()000,1E xyx ，则222200001,333yxyx=，所以001122d

29、xx=，()()()2222200000022332121BExyxxxx=+=+=+=，所以2BEd=，为定值.答案第 11 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 因为ABAE=，由得112sin,sin2BEdBAEEAGAEAE=，因为2BEd=，所以1sinsin2BAEEAG=，又,BAEEAG都是锐角，所以12BAEEAG=，所以()223BACBAGBAEEAGBAE=+=，所以13BAEBAC=.【点睛】关键点晴：本题的关键在于第（2）问中的问，利用中结果得到112sin,sin2BEdBAEEAGAEAE=，从而得到12BAEEAG=，再利用条件，即可求解.19(1)

30、()f x在()20,e上单调递减，在()2e,+上单调递增；(2)10,e.【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，令()()g xfx=，判断()g x的单调性，即可得到()fx的取值情况，从而得到()f x的单调区间；（2）求出函数的导函数，即可判断导函数的单调性，依题意可得()00fx=，即可得到()20002e lnf xxx=，设()22e lnh xxx=，依题意可得()()00ekxh xh=有解，利用导数说明()h x的单调性，即可得到00ekxx=，从而得到00lnxkx=，再令()()2ln1exm xxx=，利用导数求出()m x的单调性，即可求出函数的极值与区间端点的

31、函数值，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）函数()f x的定义域为()0,+，当1a=时，()()222eln2ef xxxx=，所以()22elnfxxx=+，设()()22elng xfxxx=+，因为22eyx=、lnyx=都在()0,+上单调递增，答案第 12 页，共 13 页 所以()g x在()0,+上单调递增，且()2e0g=，所以()20,ex时，()()()0,0,g xfxf x单调递增.所以()f x在()20,e上单调递减，在()2e,+上单调递增.（2）由()()222eln2ef xxxax=，()0,x+，得()22eln1fxxax=+，因为22eyx=、l

32、nyx=都在()0,+上单调递增，所以()fx在()0,+上单调递增，已知存在()201,ex，使得()()0f xf x在()0,+上恒成立，所以()0fx是()f x的最小值，所以()00fx=，即()20002eln10fxxax=+=，所以2002eln1axx=+，所以()()2200002eln2ef xxxax=()222200000002e2elnln12e2e lnxxxxxxx=+=，设()22e lnh xxx=，由方程()0200e2ekxf xkx=有解，得0220002e lne2ekxxxkx=有解，即()()00ekxh xh=有解，因为()22e10h xx=在()0,+上恒成立，所以()h x在()0,+上单调递减，所以00ekxx=，则00lnxkx=，设()()2ln1exm xxx=单调递增，()2e,ex时，()()0,m xm x单调递减，又()()()221210,e,eeemmm=，所以10ke，即k的取值范围是10,e.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的 答案第 13 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 单调性、极(最)值问题处理