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1、第八章 立体几何初步 立体几何初步全章复习二知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积几何体侧面积说明棱柱ChC为棱柱的底面周长，h为棱柱的高棱锥=C为棱锥的底面周长，h为棱锥的斜高棱台( c + )h c , 分别为棱台的上、下底面周长，h为棱台的斜高几何体表面积说明棱柱Ch +2sC为棱柱的底面周长，h为棱柱的高,S为棱柱的底面积棱锥=+ SC为棱锥的底面周长，h为棱锥的斜高，S为棱锥的底面积棱台( c + )h+S+c , 分别为棱台的上、下底面周长，h为棱台的斜高S，分别为棱台的上、下底面面积正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等
2、边三角形的三棱锥。、总结：1、将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.2、棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.典例1、棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成12(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于() A19 B18 C.1:6 D.1:5典例2、若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是() A B C D随堂练习：如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO3
3、，求此正三棱锥的表面积知识点二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl) 总结：对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解1、求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.2、在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.3、这些公式的推导方法向我们提示了立体
4、几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.典例3、如图所示,该几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形洞,则挖洞后几何体的表面积是 cm2.(取3.14)随堂练习：已知圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180,求圆台的表面积.知识点三 棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱ShS为棱柱的底面积 ，h为棱柱的高棱锥V棱锥ShS为棱锥的底面积，h为棱锥
5、的高棱台V棱台(SS)hS，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高总结：1、等底、等高的两个棱柱的体积相同.2、等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系：等底、等高棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.3、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.4、求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.典例4、已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1ABC的体积为( ) A B C D随堂练习：1、如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是( )
6、 A B C D随堂练习：2、如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为 .典例5、四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是() A B C D随堂练习：正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2求其体积.知识点四 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱Shr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥Shr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台(S)h(r2rrr2)h圆台上底面圆的半径为r，面积为S，下底面圆的半径为
7、r，面积为S，高为h总结：1、等底、等高的两个圆柱的体积相同.2、等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.3、圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.4、求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.典例6、若一飞行昆虫被长为12 cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为( ) A.144 cm3 B.288 cm3 C.576 cm3 D.864 cm3随堂练习：如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4,那么
8、圆柱的体积等于( )A. B.2 C.4 D.8典例7、将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )A.6 cm B.6 cm C.2 cm D.3 cm随堂练习：如图所示,一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积. (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大是多少? 知识点五 球的表面积和体积 .1、球的表面积公式S 4R2 (R为球的半径). 2、球的体积公式V R3.总结：1、从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，
9、给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.2、利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.典例8、球的体积是，则此球的表面积是( )A12B16 CD典例9、一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )A12 cm3B36 cm3 C64 cm3D108 cm3随堂练习：一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为是多少？课 后 练 习一、选择题1、正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A48 B64C16D962、正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体
10、的体积为( )A3 B C D13、正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )A B C D4、若表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切,则这个多面体的体积为( )A.Q B.Q C.Q D.2Q5、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 B12 C8 D106、圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是( )A B C64 D1287、如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
11、 A5B6C20D10二、填空题8、已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为 .9、圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为 .10、已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_11、已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是_，体积是_12、如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d_.13、如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 .14、已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是
12、 .15、如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 。 16、已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_，表面积是_三、问答题17、已知四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积18、如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积19、一个正三棱
13、锥PABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？ 20、正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的表面积。21、若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.22、已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.（1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的侧面积.23、已知圆台上、下底面的底面积分别为，且母线长为13（1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积24、已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.25、一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.26、一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比. 学科网（北京）股份有限公司
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