2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题12.6 二次根式全章五类必考压轴题（苏科版）含解析.docx

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1、2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题12.6 二次根式全章五类必考压轴题【苏科版】1已知x、y为实数，且y=x2023+2023x+1，则x+y的值是（）A2022B2023C2024D20252已知x117x+x92=3y2，则2x18y2的值为（）A22B20C18D163已知1a0，化简(a+1a)24+(a1a)2+4的结果为_4若实数a，b，c满足关系式a199+199a=2a+bc+b6，则c_5已知整数x，y满足xy+yx2022x2022y+2022xy=2022，则xy7的最小值为 _6已知实数x，y，m满足等式3x+5y3m +2x+3ym2= x+y2 2

2、xy，求m+4的值.1若A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120212+120222，则A=（）（其中A表示不超过A的最大整数）A2019B2020C2021D20222已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=13122=1312，Tn=1+1n2+1n+12，其中n为正整数设Sn=T1+T2+T3+Tn，则S2022值是（）A202220222023B202320222023C202212023D2023120223将一组数据3，6，3，23，15，310，按下面的方法进行排列：3，6，3

3、，23，15；32，21，26，33，30；若23的位置记为1，4，26的位置记为2，3，则这组数中87的位置记为（）A6，4B5，3C5，2D6，54观察下列各式：1+112+122=1+1121+122+132=1+1231+132+142=1+134请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+1n2+1n+1)2=_（n为正整数）；(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120222+120232=_；(3)如果1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+1n12+1n2=n15，那么n=_5观察下面的式子：S1=1+112

4、+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142Sn=1+1n2+1(n+1)2（1）计算：S1= ，S3= ；猜想Sn= （用n的代数式表示）；（2）计算：S=S1+S2+S3+Sn（用n的代数式表示）1材料：如何将双重二次根式a2b(a0，b0，a2b0)化简呢？如能找到两个数m，n(m0,n0)，使得(m)2+(n)2=a，即m+n=a，且使mn=b，即mn=b，那么a2b=(m)2+(n)22mn=(mn)2 a2b=|mn|，双重二次根式得以化简例如化简：322，因为3=1+2且2=12，322=(1)2+(2)2212322=|12|，由此对于任意一个二次根式只要可以将

5、其化成a2b的形式，且能找到m，n(m0,n0)使得m+n=a，且mn=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空：526=_，12235=_；(2)化简：962；(3)计算：35+232阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若a+b7

6、=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_，b=_；(2)若a+63=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简下列格式：5+267210410+25+4+10+253小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式526，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下526=2223+3 22223+32232 =23 =32(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简423(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2b= m+n2，则a+2b=(m+n)+2mn ，所以a=m+n,b=mn，若a+217= m+n

7、2，且a，m，n为正整数，mn；求a，m，n的值4阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：(1)2+(2)2212=(12)2=12=21材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到如：x2+22x+3=x2+22x+(2)2+1=(x+2)2+1(x+2)20，(x+2)2+11，即x2+22x+31x2+22x+3的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1）423= ，5+26=

8、 ；（2）求x2+43x+11的最值；（3）已知x=31343，求14(4+23)x2y2+(3+1)xy5的最值5阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=_，b=_

9、；(2)若743=ef32，且e、f均为正整数，试化简：743；(3)化简：7+21801已知x(xy)=3y(5yx)，求2xxy+3yx+xy6y2已知x=1103，y=110+3（1）求x2+2xy+y2的值（2）求x24x+4x(x2)y2+2y+1y(y+1)值3已知a=313+1，b=3+131（1）求a2ab+b2的值； （2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求m+nmn的值4已知x=312，y=3+12，m=1x1y，n=yx+xy（1）求m,n的值；（2）若ab=n+2，ab=m，求a+b的值5正数m,n满足m+4mn2m4n+4n=3，求m+2n8m+2n+2002的

10、值.1在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如25，53，12+1的式子，其实我们还可以将其进一步化简：25=2555=255；53=5333=153；12+1=1212+121=212212=21；对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，12+1还可以用以下的方法化简；12+1=212+1=22122+1=2+1212+1=21；(1)请参照方法化简：27+5；(2)化简：56+32；(3)化简：13+1+15+3+17+5+12n+1+2n1.（n为正整数）2阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式例如：因为aa=a，2

11、+121=1，所以a与a，2+1与21互为有理化因式进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号(1)32的有理化因式是_；化简：3+232=_；(2)化简：13+1+15+3+17+5+1289+287(3)拓展应用：已知，a=20202019，b=20212020，c=20222021，试比较a，b，c的大小，并说明理由3先阅读下面的材料，再解答问题因为a+bab=a2b2=ab，所以ab=a+bab特别地，14+131413=1，所以11413=14+13当然，也可以利用1413=1，得1=1413，所以11413=141314131421321413，=14+1314131

12、413，=14+13，这种变形也是将分母有理化利用上述的思路方法，计算：(1)12+1+13+2+12023+20222023+1；(2)3413613723+74【材料阅读】材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如23+1的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算如化简：23+1具体方法如下：方法一：23+1=2313+131=31方法二：23+1=313+1=32123+1=313+13+1=31材料二：我们在学习分式时知道，对于公式ba+ca=b+ca可以逆用即：b+ca=ba+ca【问题解决】（1）化简：3107=_；（2）计算：12+113+2+13+214+3+1100+9

13、91101+100；（3）计算：12+2+132+23+143+34+12120+20215阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式13+2的运算时，通常有如下两种方法将其化简：方法1：13+2=323+232=3232=32（以上化简的步骤叫分母有理化）；方法2：13+2=323+2=32223+2=3+2323+2=32请选用适当的方法，解答如下问题：（1）化简：23+1+25+3+27+5+22019+2021（2）若a=154，b=165，c=176，请你根据以上方法直接写出a，b，c的大小关系（3）已知m为正整数，a=m+1mm+1+m，b=m+1+mm+1m，且a2+b2+

14、1968ab+2=2020，求m3+3m2m6的值6我们将(a+b)、(ab)称为一对“对偶式”，因为(a+b)(ab)=(a)2(b)2 =ab，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(a+b)和(ab)中的“”去掉.于是二次根式除法可以这样解：如13=333=33，2+222=(2+2)2(2+2)(22)=3+ 22像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）比较大小172_163（用“”、“0，a+1a0，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可.【详解】解：

15、原式=a2+2+1a24+a22+1a2+4 =a22+1a2+a2+2+1a2=a1a2+a+1a21a0，0a21a， a2+10，a1a0，a+1a=a2+1a0，xy7最小值时x=337，y=6，xy7最小值为33767=324=18故答案为：186已知实数x，y，m满足等式3x+5y3m +2x+3ym2= x+y2 2xy，求m+4的值.【分析】根据二次根式的性质，分别计算等式的左右两边，根据非负数之和为0，列三元一次方程组，进而求得m的值，再将m代入求解即可【详解】依题意得：x+y202xy0x+y=23x+5y3m+(2x+3ym)2=0又3x+5y3m0，(2x+3ym)20

16、得3x+5y3m=02x+3ym=0x+y=2解得x=1，y=1，m=5，m+4=5+4=31若A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120212+120222，则A=（）（其中A表示不超过A的最大整数）A2019B2020C2021D2022【分析】根据1+1n2+1n+12=n+1n1n+12，得出1+1n2+1n+12=n+1n1n+1=1+1n1n+1，将A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120212+120222进行变形为：【详解】解：对于正整数n，有1+1n2+1n+12=1+1n22n+1n+12=n+1n22n+1

17、n+12=n+1n1n+12，1+1n2+1n+12=n+1n1n+1=1+1n1n+1，A=1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120212+120222=1+1112+1+1213+1+1314+1+1202112022=202212022，因此，不超过A的最大整数为2021，故C正确故选：C2已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=13122=1312，Tn=1+1n2+1n+12，其中n为正整数设Sn=T1+T2+T3+Tn，则S2022值是（）A202220222023B20232022

18、2023C202212023D202312022【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案【详解】解：由题意，可得T1=1+112+122=32=1+(112)，T2=1+122+132=76=1+(1213)，T3=1+132+142=1312=1+(1314)，Tn=1+1n2+1n+12=1+(1n1n+1)，S2022=T1+T2+T3+T2022=1+(112)+1+(1213)+1+(1314)+1+(1202212023)=12022+(112+1213+1314+1202212023)=2022+(112023)=202220222023故选：A3将一组数据3，6，3，2

19、3，15，310，按下面的方法进行排列：3，6，3，23，15；32，21，26，33，30；若23的位置记为1，4，26的位置记为2，3，则这组数中87的位置记为（）A6，4B5，3C5，2D6，5【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得87是第29个数，进而判断87是第6行的第4个数【详解】解：一组数据的排列变形为31，32，33，34，35；36，37，38，39，310；由题意可知，每行5个数，87=329，87是第29个数，295=54，87是第6行的第4个数，87的位置记为6，4，故选：A4观察下列各式：1+112+122=1+1121+122+132=1+

20、1231+132+142=1+134请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+1n2+1n+1)2=_（n为正整数）；(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+120222+120232=_；(3)如果1+112+122+1+122+132+1+132+142+1+1n12+1n2=n15，那么n=_【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答；（2）利用（1）的规律解答即可；（3）利用（1）的规律解答即可【详解】（1）解：1+112+122=1+112，1+122+132=1+123，1+132+142=1+134，1+1n2+1n+1)2=

21、1+1nn+1=n2+n+1nn+1故答案为：n2+n+1nn+1；（2）解：原式=1+112+1+123+1+134+1+120222023=2022+112+1213+1314+1202212023=2022+20222023=202220222023故答案为：202220222023；（3）解：根据题意，得1+112+1+123+1+134+1+1n1n=n15，n1+112+1213+1314+1n11n=n15，n1n=n15，n=5，经检验得n=5是原方程的解故答案为：n=55观察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142Sn=1+1n

22、2+1(n+1)2（1）计算：S1= ，S3= ；猜想Sn= （用n的代数式表示）；（2）计算：S=S1+S2+S3+Sn（用n的代数式表示）【分析】（1）分别求出S1，S2，的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+1+1nn+1，求出答案即可【详解】（1）S1=1+112+122=94 ，S1=32；S2=1+122+132=4936，S2=76；S3=1+132+142=169144，S2=1312；Sn=1+1n2+1n+12=n2+n+12n+12n2，Sn=nn+1+1n（n+1)；（2）解：S=32+76+1312+nn+1+1nn+1

23、=1+12+1+16+1+112+1+1nn+1=n+112+1213+1314+1n1n+1=n+11n+1=n2+2nn+11材料：如何将双重二次根式a2b(a0，b0，a2b0)化简呢？如能找到两个数m，n(m0,n0)，使得(m)2+(n)2=a，即m+n=a，且使mn=b，即mn=b，那么a2b=(m)2+(n)22mn=(mn)2 a2b=|mn|，双重二次根式得以化简例如化简：322，因为3=1+2且2=12，322=(1)2+(2)2212322=|12|，由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a2b的形式，且能找到m，n(m0,n0)使得m+n=a，且mn=b，那么这个双重

24、二次根式一定可以化简为一个二次根式请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空：526=_，12235=_；(2)化简：962；(3)计算：35+23【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成218，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将5变形成254，3变形成234，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案【详解】（1）解：526=(32)2=32，12235=(75)2=75，故答案为：32，75；（2）962=9218=(63)2=63；（3）35+2+3=3254+2+234=(5212)2+(32+12)2=5212+32+12=10

25、+62，同理可得35+23=10+62222阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若a+b7=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=_，b=_；(2)若a+63=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值；(3)化简下列格式：5+267210410+

26、25+4+10+25【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3n2计算对应a的值；（3）设410+25+4+10+25=t，两边平方得到t2=410+25+4 +10+25 +216(10+25)，然后利用（1）中的结论化简得到t2=6+25，最后把6+25写成完全平方形式可得到t的值【详解】（1）设a+b7=m+n72=m2+7n2+2mn7（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+7n2，b=2mn；故答案为：m2+7n2，2mn；（2）6=2mn，

27、mn=3，a、m、n均为正整数，m=1，n=3或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+332=28；当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+312=12；即a的值为12或28；（3）5+26=3+2+232=3+22=3+27210=5+2252=522=52设410+25+4+10+25=t，则t2=410+25+4 +10+25 +216(10+25)=8+2625=8+2(51)2=8+251=6+25=5+12，t=5+13小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式526，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下526=2223+3 22223

28、+32232 =23 =32(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简423(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2b= m+n2，则a+2b=(m+n)+2mn ，所以a=m+n,b=mn，若a+217= m+n2，且a，m，n为正整数，mn；求a，m，n的值【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；（2）先将m+n2展开，然后与a+217对边得到a=m+n、17=mn，再根据a，m，n为正整数，mn确定m、n的值，进而求得a的值【详解】（1）解：423=1213+3 =（1）2213+（3）2 =（13）2 =13 =31（2）解：a+217=

29、 (m+n)2=m+2mn+n a=m+n，17=mna，m，n为正整数，mnm=17，n=1，a=m+n=17+1=184阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：(1)2+(2)2212=(12)2=12=21材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到如：x2+22x+3=x2+22x+(2)2+1=(x+2)2+1(x+2)20，(x+2)2+11，即x2+22x+31x2+2

30、2x+3的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1）423= ，5+26= ；（2）求x2+43x+11的最值；（3）已知x=31343，求14(4+23)x2y2+(3+1)xy5的最值【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.【详解】（1）423=(31)2=31=31，5+26=(3+2)2=3+2=3+2；故答案为：31；3+2（2）x2+43x+11=x2+43x+121=(x+23)21-1x2+43x+11的最小值为-1；（3）x=31343=3(231)2=3(231)=

31、423=3114(4+23)x2y2+(3+1)xy5=14(4+23)(423)y2+(3+1)(31)y5=y2+2y5=(y1)24-4故14(4+23)x2y2+(3+1)xy5的最大值为-4.5阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2（有理数和无理数分别对应相等），a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b2化为平方式的方法请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n

32、均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a=_，b=_；(2)若743=ef32，且e、f均为正整数，试化简：743；(3)化简：7+2180【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；（2）将743变为22223+32即可求解；（3）将7+2180化为1+52进行求解即可【详解】（1）解：c+d32=c2+23cd+3d2=c2+3d2+23cd，a=c2+3d2，b=2cd，故答案为：c2+3d2，2cd；（2）743=4223+3=22223+32=232，743=232；（3）7+2180=7+145+20=7+1252=7+251=6+25=1+

33、25+5=1+52=1+51已知x(xy)=3y(5yx)，求2xxy+3yx+xy6y【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出x=3y，然后代入所求式子进行求解即可【详解】解：x(xy)=3y(5yx)，x2xy=15y23xy，x2+2xy15y2=0，x+5yx3y=0，x+5y=0或x3y=0，当x+5y=0时，可以得到x=y=0所求式子无意义，应该舍去，x3y=0，x=3y，x=9y2xxy+3yx+xy6y=18y3y+3y9y+3y6y=32已知x=1103，y=110+3（1）求x2+2xy+y2的值（2）求x24x+4x(x2)y2+2y+1y(y+1)值【分析】（1）先将x

34、、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可【详解】（1）x=1103=10+3，y=110+3=103，x+y=210，xy=6，x2+2xy+y2=(x+y)2=(210)2=40（2）x=10+3，y=103，x20，y+10，x24x+4x(x2)y2+2y+1y(y+1)=x2x(x2)y+1y(y+1)=1x1y=110+31103=103103=63已知a=313+1，b=3+131（1）求a2ab+b2的值； （2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求m+nmn的值【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得a+b和ab，对所求式

35、子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法则求出a，b的值，根据132，可得m，n的值，进而代入求值即可【详解】（1）a+b=313+1+3+131=312+3+123+131=423+4+232=4，ab=313+13+131=1，a2ab+b2=a+b23ab=423=13；（2）a=313+1=23，b=3+131=2+3，132，231，222321，2+12+32+2，即0231，32+30，a+b=211.5正数m,n满足m+4mn2m4n+4n=3，求m+2n8m+2n+2002的值.【分析】由已知m+4mn2m4n+4n=3可进行因式分解得m+2n

36、3m+2n+1=0，又m，n为正数，可得m+2n=3，整体代入要求式中即可解题.【详解】原式可变形为m+4mn+4n2m+4n3=0m+2n22m+2n+3=0m+2n3m+2n+1=0，又 m，n为正数，m+2n=3m+2n8m+2n+2002=383+2002=14011在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如25，53，12+1的式子，其实我们还可以将其进一步化简：25=2555=255；53=5333=153；12+1=1212+121=212212=21；对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，12+1还可以用以下的方法化简；12+1=212+1=22122+1=2+1212+1=21；(1)请参照方法化简：27+5；(2)化简：56+32；(3)化简：13+1+15+3+17+5+12n+1+2n1.（n为正整数）【分析】（1）分子、分母都乘以75，进行化简即可；（1）先化为最简二次根二次根式，再相加即可；（3）先将各式分母有理化，再进一步计算即可【详解】（1）27+5=2757+575=2757252=27575=75；（2）56+32=5662+3222=566+62=463（3）原式=312+532+752+2n+12n12=2n+112.2阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有