五点光滑法.docx

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1、五点光滑法在处理数据的过程中，大家一定遇到过由离散点绘制光滑曲线、需要找到离 散点趋势线上的点的坐标的问题。怎么把这些点连成一条光滑的曲线，就需要用 到光滑算法。光滑算法有很多种，比如线性跌代、分段三次多项式插值法(又称 五点法)，二次多项式加权平均法、张力样条函数法等。本文主要介绍五点法， 至于其他算法，大家若是有兴趣可以自行查阅相关资料。一、五点法的基本思路如下：1、每两个数据点之间建立一条三次多项式曲线方程。2、曲线具有连续的一阶导数3、各节点的导数是以一点为中心，左右两边各相邻的两个点，一共五个点 来确定的。二、方法原理1、Akima分段三次多项式插Akima分段三次多项式的含义是在每

2、2个数据点之间建立1个三次多项式 曲线方程，要求整条曲线上具有连续的一阶导数以保证曲线的光滑性。设给定的 n 个不等距样点为(xi, yi) i= 1,n-1) z x 1 x 2. x n-1。若在子区间(xi, x i+ 1) (i= 1, 2,n- 2)上的2个端点处有以下4个条件= /(期)= /(阳+1)y)=皆一 yOi+i) = L+i设：y = c3(x - Xi)3+ c2(x - Xi)2 + Ci(x - Xj) + c0则可由上述方程组求出CO,C1,C2,C3的值，即得到区间(Xi, Xi+1)的函数表达式。2、计算方法利用Akima几何条件，根据包括本点在内的相邻5

3、个数据点就可以确定插 值公式。各个节点的一阶导数是以某点（如上图中第3点）为中心点k,加上两 侧相邻各2点（共5个点）来确定的。由Akima几何条件可知，中心点3号点 处导数为：_ %4 - k31k2 + 出2 - 11忆3其中：klK2K3K4 t3- Ki-31% 七I + 12 11- 直线12的斜率- 直线23的斜率- 直线34的斜率- 直线45的斜率- 点3处的斜率直线M+1的斜率（比如K3代表过点3、4的直线斜率）对于第一个点和第二个点以及倒数第二个点及第一个点，采用补点的方法, 来求他们的导数，补点采用增量相等的原则来补，下面简单说明一下。PbP3P2P1对于上图，有:（町-%

4、2）- （%2 - %1） = （%1 - Xa） （% - %匕）（73 - 丫2）-（72 - 71） =（71 - %） - （% -九）由以上2式即可求出补点a,b的坐标，这样Pl、P2的一阶导数均可用五点 法求出。同理，末端的两点的一阶导数也可以以同样的方式求出来。得到各点的 导数后，将现在已知的数据带入方程组即可求得区间（Xi, Xi+1）上的曲线函数 表达式。现给出系数c0,cl,c2,c3的表达式：00=%3k1 2t1 tC2i+1C3xi+l - xiL+i + L 2kt（阳+ 1 -/）2五点光滑法是一种不错的光滑算法，网上也有不少相关资料，我做的也只是 总结性的工作，方便大家学习。