应用“三招五法”轻松破解含参零点问题.docx

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1、应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解典例已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为()A(2，)B(，2)C(1，) D(，1)思路点拨本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0(0，)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解方法演示法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a0，f(x)3ax26x，

2、令f(x)0，得x0或x.当a0时，x(，0)，f(x)0；x，f(x)0.所以函数f(x)在(，0)和，上单调递增，在0，上单调递减，且f(0)10，故f(x)有小于零的零点，不符合题意当a0时，x，f(x)0；x(0，)，f(x)0，只需f0，即a24，解得a0时不成立；当a0，直线yax与左边的曲线相切时，设切点为t,3，其中t0，则切线方程为y3(xt)又切线过原点，则有03(0t)，解得t1(t1舍去)，此时切线的斜率为2，由图象可知a0时，如图(1)所示，不合题意；当a0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)ax3与h(x)3x21的图象有公切线时a的值由g(x)h(x)，g(x)

3、h(x)，得a2.由图形可知当a2时，满足题意法四分离参数法：参变分离，演绎高效易知x0，令f(x)0，则a，记g(x)，g(x)，可知g(x)在(，1)和(1，)上单调递减，在(1,0)和(0,1)上单调递增，且g(1)2，画出函数大致图象如图所示，平移直线ya，结合图象，可知a2.法五特例法：巧取特例求解取a3，则f(x)3x33x21.由于f(0)1，f(1)0，从而f(x)在(，0)上存在零点，排除A、C.取a，则f(x)x33x21.由于f(0)1，f0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一综上所述，a.2设mN，若函数

4、f(x)2xm10存在整数零点，则符合条件的m的个数为()A2 B3C4 D5解析：选C令f(x)0，得m.又mN，因此有解得5x10，xZ，0.当2x100，即x5时，m0；当2x100时，要使mN，则需N，当1，即x9时，m28；当2，即x6时，m11；当3，即x1时，m4，所以符合条件的m的个数为4.3设函数f(x)若关于x的方程f(x)a有4个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围是()A(3，) B(，3)C3,3) D(3,3解析：选D在同一坐标平面内画出函数yf(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a(0,2时，直线ya与函数yf(x)的图象有

5、4个不同的交点，即方程f(x)a有4个不同的解，此时有x1x24，|log2x3|log2x4|(0x31x44)，即有log2x3log2x4，x3x41，所以x4(1x44)，易知函数yx4在区间(1,4上是增函数，因此其值域是(3,34若函数f(x)exax2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A函数f(x)exax2有三个不同的零点等价于函数yex与yax2的图象有三个不同的交点，则显然有a0，且在(，0)上两函数的图象有一个交点当x0时，设两函数图象在点(x0，ex0)处相切，则解得由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a，即实数a的取值范围为.一

6、、选择题1(2018贵阳检测)已知函数f(x)ln(x24xa)，若对任意的mR，均存在x0使得f(x0)m，则实数a的取值范围是()A(，4)B(4，)C(，4 D4，)解析：选D依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)x24xa，其值域A包含(0，)，因此对方程x24xa0，有164a0，解得a4，即实数a的取值范围是4，)2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象有两个不同的公共点，则实数a的值是()An(nZ) B2n(nZ)C2n或2n(nZ) Dn或n(nZ)解析：选C依题意得，函

7、数yf(x)是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示在0,2)上，由图象易得，当a0或时，直线yxa与函数yf(x)的图象有两个不同的公共点，函数f(x)的周期为2，a的值为2n或2n(nZ)3(2018洛阳第一次统考)若函数f(x)ln xax2x有两个零点，则实数a的取值范围是()A(，1) B(0,1)C. D.解析：选B依题意，关于x的方程ax1有两个不等的正根记g(x)，则g(x)，当0x0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当xe时，g(x)0，g(x)在区间(e，)上单调递减，且g(e)，当0x1时，g(x)0，且直线yax1与yln x相切于点P(x0，ln x0)时，

8、切线方程为yln x0(xx0)，将x0，y1代入得ln x02，即x0e2，k，所以a，所以当a时，直线yax1与yln x的图象只有一个交点，即f(x)只有一个零点，故a的最小值为.5(2018石家庄模拟)已知函数f(x)kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是()A(0,2) B.C(0，e) D(0，)解析：选B由题意，知x0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程kx0只有一个根，即方程k只有一个根，设g(x)，则函数g(x)的图象与直线yk只有一个交点因为g(x)，由g(x)0，得x2或x0；由g(x)0，得0x2，所以函数g(x)在(，0)上为增函数，在(

9、0,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，g(x)的极小值为g(2)，且x0时，g(x)；x时，g(x)0；x时，g(x)，则g(x)的图象如图所示，由图易知0k，故选B.6(2018兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A. B.C D解析：选C因为函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以方程f(2x21)f(x)0只有一个实数根又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一个实数根，所以(1)24

10、2(1)0，解得.7(2018长沙模拟)对于满足00，于是c12，对满足0b3a的任意实数a，b恒成立令t，因为0b3a，所以02.8(2018湘中名校联考)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2，若x1f(x1)x2，则关于x方程f(x)22af(x)b0的实数根的个数不可能为()A2 B3C4 D5解析：选D由题意，得f(x)x22axb.因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程x22axb0的两个实数根，所以由f(x)22af(x)b0，可得f(x)x1或f(x)x2.由题意，知函数f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递

11、增，又x1f(x1)x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程f(x)22af(x)b0的实根个数不可能为5，故选D.9(2018石家庄模拟)已知函数f(x)e2xax2bx1，其中a，bR，e为自然对数的底数若f(1)0，f(x)是f(x)的导函数，函数f(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是()A(e23，e21) B(e23，)C(，2e22) D(2e26,2e22)解析：选A由f(1)0，得e2ab10，所以bae21，又f(x)2e2x2axb，令g(x)2e2x2axb，则g(x)4e2x2a，因为x(0,1)，所以44e2x4e2.当a2e2时，g(x)0

12、，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当2a2e2时，若0xln ，则g(x)0，若ln x0，所以函数g(x)在内单调递减，在内单调递增，所以g(x)minglnaalnb2aalne21.令h(x)2xxlne212xxln xxln 2e21(2x0，h(x)为增函数，当x(2e,2e2)时，h(x)0，h(x)为减函数，所以h(x)maxh(2e)2ee210，即g(x)min0恒成立，所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，则解得e23a，所以a1，故实数a的取值范围是.二、填空题13若对任意的实数a，函数f(x)(x1)ln xaxab有两

13、个不同的零点，则实数b的取值范围是_解析：由f(x)(x1)ln xaxab0，得(x1)ln xa(x1)b.设g(x)(x1)ln x，h(x)a(x1)b，则g(x)ln x1，因为g(x)ln x1在(0，)上是增函数，且g(1)0，所以当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以g(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，)上是增函数，又g(1)0，所以函数g(x)的大致图象如图所示易知h(x)a(x1)b的图象是恒过点(1，b)的直线，当b0，即b0时，易知对任意的实数a，直线h(x)a(x1)b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点，即函数f(x)(x1)ln xax

14、ab有两个不同的零点；当b0时，若a0，则h(x)0，其图象与函数g(x)的图象只有一个交点，不满足；当b0，即b0时，由图易知，不满足对任意的实数a，直线h(x)a(x1)b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点综上可知，b0.答案：(，0)14已知函数f(x)与g(x)a(x1)的图象在(1,1上有2个交点，若方程x5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为_解析：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，结合图象可知，实数a的取值范围是.由x5a，可得x25ax10，设h(x)x25ax1，当x1时，由h(1)15a10，可得a0，不满足题意；当x2时，由h(2)410

15、a10，可得a，满足题意；当x3时，由h(3)915a10，可得a，不满足题意又函数yx在(0，)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1.答案：115若函数f(x)x2aln x(a0)有唯一的零点x0，且mx00)，则y12x，y2(a0)函数f(x)x2aln x(a0)有唯一的零点x0，函数y1x2，y2aln x的图象有公切点(x0，y0)，则x2ln x00.构造函数g(x)x22ln x(x0)，则g(1)3，g(2)412ln 257ln 2，欲比较5与7ln 2的大小，可比较e5与27的大小，e527，g(2)0，又g(e)e22e20，x0(2，e)，m2，n3，mn5.答

16、案：516已知函数f(x)x2xln xk(x2)2在，上有两个零点，则实数k的取值范围为_解析：f(x)x2xln xk(x2)2在上有两个零点，即关于x的方程x2xln x2k(x2)在上有两个不相等的实数根令g(x)x2xln x2，所以当x时，直线yk(x2)与函数g(x)x2xln x2的图象有两个不同的交点设直线yk0(x2)与函数g(x)x2xln x2，x的图象相切于点(x0，y0)，g(x)2xln x1，则有由此解得x01，k01.令h(x)g(x)2xln x1，则h(x)2，且x，所以h(x)0，故h(x)在上单调递增，h(x)hln 20，所以g(x)在上单调递增，gln 2，作出yg(x)的大致图象，如图所示，当直线yk(x2)经过点时，k.又当直线yk(x2)与g(x)的图象相切时，k1.结合图象可知，k的取值范围是.答案：