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1、人 教A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册8.28.2立体图形的直观图立体图形的直观图 直观图直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。得的图形。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投平行投影影下得到的平面图形。下得到的平面图形。要画要画立体图形的直观图立体图形的直观图，首先要学会画，首先要学会画水平放置水平放置的平面图形的平面图形。情境引入情境引入 观察：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远观察：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，
2、矩形的农田在我们眼里又是什么形状？处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？利用平行投影，人们获得了画直观图的利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法斜二测画法.下面我们来学习利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图下面我们来学习利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图.都是平行四边形都是平行四边形 斜二测画法斜二测画法解：解：在直角坐标系在直角坐标系中画出正方形；中画出正方形；x.yo建立建立xoy=45xoy=45的坐标系的坐标系平行于平行于x x、y y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于xx、yy轴，但横向长度不变，纵向长度减半轴，但横向长度不变，
3、纵向长度减半.X.yOx.yoxyOxyODACBDACBMNMN用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如何在已知图形中建立直角坐标系如何在已知图形中建立直角坐标系?在已知图形中建立直角坐标系时要尽量利用原有图形中的对称性和垂直关系；在已知图形中建立直角坐标系时要尽量利用原有图形中的对称性和垂直关系；尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上，或是过这些点作平行于坐尽可能将关键点放到坐标轴上或是平行于坐标轴的直线上，或是过这些点作平行于坐标轴的直线标轴的直线.在利用斜二测画法在利用斜二测画法画直观图的过程中画直观图的过程中,x轴和轴和y轴起到了什轴起到了什么作用么作用?为确定图形中的为
4、确定图形中的点的位置提供参点的位置提供参照系照系.思考思考 你能再说说用你能再说说用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的基本原则吗？基本原则吗？(2)平行的变化：平行的变化：平行性不变平行性不变.原来平行的线，在直观图中仍然平行原来平行的线，在直观图中仍然平行，其中原图中其中原图中平行平行(含含重合重合)于于x 轴或轴或y 轴的线段轴的线段，在直观图中，在直观图中平行平行(含重合含重合)于于x 轴或轴或y 轴轴(1)角度的变化：角度的变化：水平面坐标系中水平面坐标系中xoy=45 (或或135）.(3)长度的变化：长度的变化：原图中原图中平行于平行于(含
5、重合含重合)x轴的线段，在直观图中长度不变轴的线段，在直观图中长度不变；原图中原图中平行于平行于(含重合含重合)y轴的线段，轴的线段，在直观图中在直观图中长度减半长度减半小结：“横同，竖半,平行性不变”（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点画直观图时，把它画成对应的x轴、y轴，使 ，它确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤：小结：“横同，竖半,平行性不变”例用斜二测画法画水平放置的六边
6、形的直观图 课堂练习1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是 否正确？正确的在括号内画否正确？正确的在括号内画“”，错误的画，错误的画“”.（1）相等的线段在直观图中仍然相等）相等的线段在直观图中仍然相等.（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行）平行的线段在直观图中仍然平行.（）（3）一个角的直观图中仍然是一个角）一个角的直观图中仍然是一个角.（）（4）相等的角直观图中仍然相等）相等的角直观图中仍然相等.（）ABCD直观图ABCD 课堂练习2.用斜二测画法画出下列水平放置的直观图用斜二测画法画出下列水平放置的直观图 (1)
7、长为长为3宽为宽为2的的矩形；矩形；（2）AB=2，BC=6,BCD=60BCD=60的平行四边形 课堂练习 (3)边长为边长为2的的正三角形；正三角形；(4)边长为边长为2的的正五边形正五边形 生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆椭圆，立体几，立体几何中，我们常用何中，我们常用正等测画法正等测画法画水平放置的圆，在实际画水平放置的画水平放置的圆，在实际画水平放置的圆的直观图时常用下图所示的圆的直观图时常用下图所示的椭圆模板椭圆模板。水平放置的水平放置的圆圆给我们的给我们的视觉效果是什么图形呢？视觉效果是什么图形呢？思考:对于柱、锥、台等几何
8、体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？z zx xo oy y 例例1.用用斜斜二二测测画画法法画画长长,宽宽,高高分分别别4cm,3cm,1.5cm的长方体的直观图的长方体的直观图.思考思考(1):(1):长方体底面的直观图是怎样的？长方体底面的直观图是怎样的？底面的直观图就是水平放置矩形的直观图底面的直观图就是水平放置矩形的直观图思考思考(2)(2)：长方体的侧棱如何画？长方体的侧棱如何画？再画一条与再画一条与x 轴轴,y 轴都垂直的轴都垂直的z 轴，并使平行与轴，并使平行与 z 轴的线段的平轴的线段的平行性和长度都不变行性和长度都不变
9、.这样就可以作这样就可以作出侧棱了出侧棱了.zxyOxyOABCD3cm1.5cm2cm 画法：画法：（1）画轴）画轴.画画x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴，三轴相轴，三轴相交于点交于点O(A),并使并使 xOy=45，xOz=90.zxyO （2）画底面）画底面.在在x正半轴上取线段正半轴上取线段AB，使，使AB=3 cm;在在y 轴正半轴上取线段轴正半轴上取线段AD,使使AD=1 cm.过点过点B 作作y 轴的平行线，过点轴的平行线，过点D作作x 轴的平行线，设它们的交点为轴的平行线，设它们的交点为C,则四边形则四边形ABCD 就是长方体的底就是长方体的底面面ABCD的直观图的直观图.(A)
10、BDC 例例1.用斜二测画法画长用斜二测画法画长,宽宽,高分别高分别4cm,3cm,1.5cm的长方体的直观图的长方体的直观图.3cm1.5cm2cm 例例1.用斜二测画法画长用斜二测画法画长,宽宽,高分别高分别4cm,3cm,1.5cm的长方体的直观图的长方体的直观图.画法：画法：（3）画侧棱）画侧棱.在在z 轴正半轴上取线段轴正半轴上取线段AA,使使AA=1.5 cm，过过B,C,D 各点分别作各点分别作z轴的平轴的平行线，在这些平行线上分别截取行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm 长的线段长的线段BB,CC,DD.zxyO(A)BDCA B C D （4）成图）成图.顺次连接顺次连接
11、A，B，C，D,并加并加以整理（去掉辅助线，将以整理（去掉辅助线，将被遮挡的被遮挡的部分改成虚线部分改成虚线），就得到长方体的），就得到长方体的直观图了直观图了.3cm1.5cm2cm 思考思考(3)(3)：说说棱柱的直观图说说棱柱的直观图是如何画的？是如何画的？画底面画底面画侧棱画侧棱成图成图画轴画轴 课堂练习 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.画法：画法：（1）画轴）画轴.（2）画底面）画底面.（3）画侧棱）画侧棱.（4）成图）成图.A B C D E F A B C D E F 例例2.2.已知圆柱的底面半径为已知圆柱的底面半径为1 cm1 cm，侧面
12、母线长，侧面母线长3 3 cmcm，画，画出它的直观图出它的直观图.画法：画法：(1)画轴画轴.画画 x 轴、轴、z轴，使轴，使xOz=90.xOz （2）画下底面）画下底面.以以O为中点，在为中点，在x轴上取线段轴上取线段AB,使使OA=OB=1cm.利用椭圆模板画椭圆，利用椭圆模板画椭圆，使其经过使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆两点，这个椭圆就是圆柱的下底面柱的下底面.AB （3）画上底面）画上底面.在在Oz上截取点上截取点O，使，使OO=3 cm，过点，过点O作平行于轴作平行于轴Ox 的轴的轴Ox.类似下底面的类似下底面的作法作出圆柱的上底面作法作出圆柱的上底面.x AB （4）成图）
13、成图.连接连接AA,BB,整理得到圆柱的直观图整理得到圆柱的直观图.思考思考(1)(1)：说说圆柱的直观图是如何画的？说说圆柱的直观图是如何画的？画底面画底面画母线画母线成图成图画轴画轴 思考思考(2)(2)：对于如何画圆锥，球的直观图你有什么要说的吗对于如何画圆锥，球的直观图你有什么要说的吗？画顶点画顶点画母线画母线成图成图画底面画底面圆锥的直观图圆锥的直观图球的直观图球的直观图 画截面圆画截面圆成图成图画轮廓画轮廓OO 课堂练习探究点一探究点一 画平面图形的直观图画平面图形的直观图例例1 1 画出如图8-2-2所示的水平放置的直角梯形的直观图.图8-2-2 课堂练习图8-2-3 课堂练习探究点探究点二二 直观图的有关计算直观图的有关计算图8-2-4 课堂练习图8-2-5 课堂小结2、空间空间几何体直观图斜二测画法步骤：几何体直观图斜二测画法步骤：画轴画轴画底面画底面画侧棱画侧棱连线成图连线成图遮挡的遮挡的改为改为虚线虚线1、水平水平放置放置平面平面图形直观图斜二测画法图形直观图斜二测画法x不变，不变，y折半，平行关系不改变折半，平行关系不改变3.多边形原图的面积与其直观图的面积之间的关系为：多边形原图的面积与其直观图的面积之间的关系为：
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