【导数】函数放缩本质是？55个常见函数放缩不等式你知道多少？.docx

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1、【导数】函数放缩本质是？55个常见函数放缩不等式你知道多少？何谓函数放缩？函数放缩本质就是用代数函数近似代替超越函数（非代数函数）罢了！近似代替，即不等关系，也即所谓的函数放缩不等式。这里有两个概念，代数函数和超越函数，代数函数： 包括我们熟知的一次、二次、三次等多项式函数、反比例函数等分式函数和开方等分数幂函数。n次多项式函数通式为Rx=a0+a1x+a2x2+anxn(1)其中， an0；分式函数，例如Rx=a0+a1x+a2x2+anxnb0+b1x+b2x2+bmxm(2)一般指真分式，即mn，如果m1）（45）sinxn+cosxxn+1x0sinxn+cosxxn+1x0 （n1）

2、注：当n1时，y=sinxn+cosx图像类似于sinx.4、指对混合（46） （两个放缩不等式不同时取等号，所以最后只取 ）（47）ex+1exxlnx+1 （x=1处取等）（48）ex+exlnxex2 （x=1处取等）（49） （ 处取等）注：（49）式为朗博不等式，常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。（50）x2exlnx+1（51）exlnx+1x710（关注公众号：Hi数学派）（52）ex+ex2lnx+3（53）exlnxexe,x(0,1exlnxexe,x1,+)5、指对三角混合（54）excosxx2+xx0excosxx2+xx0（55）2xsinx+lnx+1 （

3、x=0处取等）一些典例【例1（广东一模T22）】已知函数（1）求的极值；（2）当时，求实数的取值范围. 【解析】（2）当时，由朗博不等式，所以（当时，可以取到等号）因此，即【点睛】这样作答时，一定要再证明存在的解【例2（2023全国高三专题练习）】已知，(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证： 【解析】（1），当时，即在上单调递减，故函数不存在极值；当时，令，得，x+0-增函数极大值减函数故，无极小值.综上，当时，函数不存在极值；当时，函数有极大值，不存在极小值（2）显然，要证：，即证：，即证：，即证：（关注公众号：Hi数学派）令，故只须证：设，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减

4、，即，所以，从而有故，即【例3（2023湖南常德常德市一中校考二模）】已知函数 （，为自然对数的底数）(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：. 【解析】（1），（）当时，所以，则在上单调递增，在上单调递减；（）当时，令，得，时，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，则在上单调递增；时，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）方法一：等价于，当时，则当时，则，令，令，因为函数在区间上都是增函数，所以函数在区间上单调递增 ，存在，使得，即，当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，故.方法二：当时，令，令，则，（关注公众号：Hi数学派）令，则，当时，当时，在区间上单调递减，上单调递增，即，.