2024届江西重点中学协作体高三第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 1 页 共 10 页 江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 2 页 共 10 页 江西省重点中学协作体江西省重点中学协作体 20242024 届高三第一次联考数学届高三第一次联考数学参考答案参考答案一、一、单选单选题：本题：本大大题共题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答案答案 B B C C D D A A C C B B D D C C 1.【答案】B；2.【答案】C；3.【答案】D4.【答

2、案】A 由2sin32 3cos=+，得133sincos224=，即3sin()34=，所以228s31()c3in(2)sin 2os()12sin()12()326342+=.5.【答案】C；6.【答案】B7.【答案】D【详解】丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，131C3，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得 4 分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲 的分数不小于 4 分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有 3 分，那个它们之间的比赛无论什么情 况，乙、丁中有一人得分不小于 4 分，不合题意.若丙全赢（概率是

3、21()3）时，丙得 6 分，其他 3 人分数最高为 5 分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不 能赢，否则甲的分数不小于 6 分，只有平或输，一平一输，概率是1221C()3，如平乙，输丁，则乙丁比 赛时，丁不能赢，概率是23，两场均平，概率是21()3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是21()3，乙丁这场比赛只能平，概率是13.综上，概率为12122232511121118C()C()()()33333333+=，D 正确8.【答案】C【详解】因为()3gx+为偶函数，()()1g xfx=+，所以()()44fxfx+=+，对(2)(2)4fxfxx+=两边同时求导，得(

4、2)(2)4fxfx+=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),fxfxfxfxfxfxfxfx+=+=+=+=所以函数()fx的周期为8，在(2)(2)4fxfx+=中，令0 x=，所以(2)2f=，因此()()()171822gff=，因为()3gx+为偶函数，所以有()()()()()()()337331 1gxgxggxgxg=+，()()()()()()()(8)()7171712fxfxgxg xgxgxgg+=+=+=，由()()1,2可得：()70g=，所以()()7172gg+=.二、二、多选多选题：本题：本大大题共题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6

5、6 分，共分，共 1818 分分.题号题号 9 9 1010 1111 答案答案 ADAD BCDBCD ABDABD 9.【答案】AD【详解】对于 A，一个总体含有 50 个个体，某个个体被抽到的概率为150，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 10 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为11100.2055=，故 A 正确；对于 B，数据 1，2，m，6，7 的平均数是 4，4 5 1 2674m=，这组数据的方差是()()()()()22222211 4244464745s=+=265，故 B 错误；对于 C，8 个数据 50 百分为8 50%4=，第 50 百分位数为17 19

6、=182+，故 C 错误；对于 D，依题意，()28D x=，则()()2221216DxD x=，所以数据121021,21,21xxx 的标准差为 16，D 正确.10.【答案】BCD11.【答案】ABD【详解】对于 A 项，如图所示，连接对应面对角线，根据正方体的性质可知：11/BDB D，BD 平面11B D A，11B D 平面11B D A，/BD平面11B D A，同理可知1/C D平面11B D A，又11,BDDC BDDC、平面1BC D，平面1/BC D平面11B D A，又1PC D，BP 平面1BC D，/BP平面11B D A，故 A 正确;对于 B 项，易知1BB

7、 面1111DCBA，11AC 面1111DCBA，则111ACB B，又11111111111,ACB D B DBBB B DBB=、平面1BB D，11AC 平面1BB D，而1BD 平面1BB D，111BDAC，同理11BDDC，又1111111,DCACC DCAC=、平面11AC D，1BD 平面11AC D，又1BD 平面1PBD，平面1PBD 平面11AC D，故 B 正确;对于 C 项，因为BM为定直线，1D BM是定角，1D到BM的距离为定值，所以1MBPMBD=时，P在以BM为旋转轴，1D到BM的距离为半径的圆锥上，又/BM平面11CDDC，故平面11CDDC截圆锥的轨

8、迹为双曲线的一支，即 C 错误；对于 D 项，设11,AB DC中点分别为 N，Q，则点 A 的运动轨迹是平面11ABC D内以 N 为圆心，22为半径的圆(如图)，江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 3 页 共 10 页 江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 4 页 共 10 页 易知11,DCNQ DCBQ NQBQQ NQBQ=、平面BNQ，1DC 平面BNQ，1DC 平面1BDC，平面1BDC 平面BNQ，而222232sin311122NBNQBBQ=+，设NQ与圆的交点分别为 E，F(点 E 位于点 F，Q 之间，如上图所示)，易知

9、当点 A 分别位于点 E，F 时，点 A 到平面1BDC的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值min2231sin1223dNQB=，距离的最大值max2231sin1223dNQB=+=+，1BDC的面积()2132sin6022S=，minmax1323121323121,132236123223612VV=+=+故选项 D 正确综上，正确选项为 ABD 三、填空题：本三、填空题：本大大题共题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分.12.【答案】24【详解】二项式6)(yx+的展开式通项公式为+=NrryxCTrrrr,6,661，当4=r时，42

10、4246515yxyxCT=，当5=r时，5515666xyyxCT=，因此展开式中含42yx的项为4254224)(6152yxyxxyyx=+，故所求系数为24.13.【答案】(4,.14.【答案】12220242023.四、解答题：本四、解答题：本大大题共题共 5 5 小题，共小题，共 7 77 7 分分.15.(13 分)解(1)由题可得：CD=2BD，故33232=ABCACDSS2 分 又ADCCDADSACD=sin21,即33223121=CD，38=CD，即34=BD4 分 在ABD中，根据余弦定理得ADBBDADADBDAB+=cos2222即21341219162+=AB

11、6 分 337=AB，即337=c，7 分(2)BDCD2=，ACABAD3132+=8 分 ACABACABAD+=949194222，即BACbcbc+=cos94994122又11422=+cb，21cos=BACbc11 分又3sin21=BACbc，由得：34tan=BAC12 分734sin=BAC13 分16.(15 分)(1)证明：在ACD中222cos222=+=ADACCDADACCAD，=45CAD1 分过点D作DOAC于点O，连接BO，则345sin=ADDOCBCDADAB=，ABCADC，即OD=OB=33 分又OBODBDODOBBD=+=，22223又ODAC，

12、ABCODCOB平面，=OA5 分又，平面 ACDOD 平面ACD平面ABC6 分(2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系xyzO，)0,0,4()3,0,0()0,3,0()0,0,3(CDBA，)43,0,3(4CD=ECE，8 分 设),(zyxn=是平面ABE的一个法向量则=+=+=043603300zxyxAEnABn811=zyx，则令，)8,1,1(=n12 分而)1,0,0(=m是平面ABC的一个法向量，33664|cos=07 分2214540593MMyyx+=，221451353MMyyx+=8 分 又)3(911+=xyyM，214530MMyy

13、y+=，）（2224530,451353MMMMyyyyC+同理可得点 D 的坐标为）（222510,5153MMMMyyyy+9 分(i)当直线 CD 垂直于 x 轴时，DCxx=，即22225153451353MMMMyyyy+=+,152=My23=DCxx，此时直线 CD 的方程为23=x10 分(ii)当直线 CD 不垂直于 x 轴时，22222251534513535104530MMMMMMMMCDyyyyyyyyk+=67533002043+=MMMyyy11 分 故直线CD的方程为）（224325153675330020510MMMMMMMyyxyyyyyy+=+12 分 令

14、y=0，则）（224225153675330251MMMMMyyxyyy+=+整理得231504022256032424=+=MMMMyyyyx，此时直线CD经过定点)0,23(14 分 综上，直线CD经过定点)0,23(15 分 另解：(ii)当直线 CD 不垂直于 x 轴时，由对称性知定点在x轴上，设)0,(tQ由 C、D、Q 三点共线知=+tyyyyMMMM2224513534530tyyyyMMMM+2225153510化简得：()06090462=+tytM，则23=t此时直线CD经过定点)0,23(14 分 综上，直线CD经过定点)0,23(15 分 解法二：(1)设),(11yx

15、C，则),9()3(11MyAMyxAC=+=，A、C、M 三点共线，3911+=xyyM，2 分 同理：3311=xyyN，9272121=xyyyNM4 分 又点),(11yxC在曲线 E 上，1592121=+yx，代入上式得：15=NMyy6 分(2)由ACBMMBMMACkkykyk339=得，又95331111=+=xyxykkBCAC，353=ACBCBDBCkkkk8 分 由题可得直线 CD 显然不与 x 轴平行 设直线 CD 的方程为：),(),()3(2211yxDyxCnnmyx，+=由=+=459522yxnmyx得045510)95(222=+nmnyym9 分+=+

16、=+95455951002221221mnyymmnyy得由11 分 又332211=xyxykkBDBC)3)(3(2121+=nmynmyyy96)(3)(2212121221+=nnyymyymnyymyy8154945522+=nnn13 分 江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 7 页 共 10 页 江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 8 页 共 10 页 由)(323358154945522舍去或得=+nnnnn14 分 直线 CD：23+=myx，直线CD经过定点)0,23(15 分 18.(17 分)解(1)若 n=2，X 的取

17、值为 0，1，2，Y 的取值为 0，1，2，1 分 则 P（X=0，Y=0）=91312=，2 分 P（X=0，Y=1）=，92313112=C3 分 P（X=0，Y=2）=91312=，P（X=1，Y=0）=，92313112=C4 分 P（X=1，Y=1）=，92313112=CP（X=2，Y=0）=91312=5 分 P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=06 分 故（X，Y）的联合分布列为（X，Y）0 1 2 0 9192911 92920 2 910 0 7 分(2)当，时0),(,=+mYkXPnmk9 分故=knmnmknknknmnmkCCmYkXP

18、mYkXPp00031),(),(11 分=knkknknmknnknmknnknCCCC=)32()31(233013 分 所以)32()31(00knknknkknkkCkp=，15 分 由二项分布的期望公式可得=nkknkp03.17 分19.(17 分)解(1)若1a=，则()2ln21f xxxx=+，所以()ln14fxxx=+，所以()1145f=+=，又()12 13f=+=，2 分所以()f x的图象在1x=处的切线方程为()351yx=，即520 xy=.3 分(2)(i)由题意知()ln14fxxax=+.令()()ln41g xfxxax=+，则()14gxax=.因为

19、()f x有两个极值点1x，()212xxx，所以()0g x=有两个不等正实根1x，()212xxx，则()g x在()0,+上递增，所以()g x在()0,+上至多有一个零点，不符合题意；5 分若0a，令()0gx=，解得14xa=，所以当104xa，当14xa时，()0gx，解得104a.7 分 当104a，又140eeag=，所以1104egga，由零点存在性定理知：存在唯一的111,e 4xa，使得()10g x=.8 分又2221114ln412ln1gaaaaaa=+=+，令()42ln1xxx=+，所以()222442xxxxx=+=，所以当02x，当2x 时，()0 x，所以

20、()x在()0,2上递增，在()2,+上递减，所以()()42ln122ln2 10aaa=+=，所以210ga，所以21104ggaa，由零点存在性定理知：存在唯一的2211,4xa a，使得()20g x=.10 分江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 9 页 共 10 页 江西省重点中学协作体 2024 届高三第一次联考数学试卷 第 10 页 共 10 页 所以当104a时，()0g x=有两个不等正实根1x，2x.综上，a的取值范围是10,4.11 分(ii)证明：由知104a，且12104xxa，因为()g x在10,4a上为增函数，及()1140ga=，所以11x，所以21114xxa.13 分因为()10g x=，()20g x=，所以11ln410 xax+=，22ln410 xax+=，所以()1212lnln4xxa xx=，所以121214lnlnxxaxx=.14 分 令()()()21ln011xh xxxx=+，所以()h x在()0,1上递增，因为12xx，所以121xx，所以()1210 xhhx=，即12112221ln01xxxxxx+，所以121212lnln2xxxxxx+，16 分 所以12121214lnln2xxxxaxx+=.所以()()211221111322222xxxxxxaaa=+=.17 分