【九省联考模式】临川一中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一含答案.pdf

《【九省联考模式】临川一中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【九省联考模式】临川一中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一含答案.pdf（19页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 临川一中临川一中 2024 届高三“九省联考”考后适应性测试届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题数学试题一一 本套试卷根据九省联考题型命制，题型为本套试卷根据九省联考题型命制，题型为 8+3+3+5 模式模式 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1（本题 5 分）某校高一年级 18 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了 10 个班的比赛得分如下：91，89，90，

2、92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A93 B93.5 C94 D94.5 2（本题 5 分）已知向量a，b满足1a b=，,3a b=，则2abab+的最小值为（）A62 2+B62+C8 D2 3（本题 5 分）过直线yx=上一点 M 作圆 C：()2221xy+=的两条切线，切点分别为 P，Q若直线 PQ过点()1,3，则直线 PQ 的方程为（）A520 xy=B5140 xy+=C580 xy+=D5160 xy+=4（本题 5 分）古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五

3、大城门的地理位置及历史意义进行调研若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（）A25 B13 C15 D45 5（本题 5 分）数列 na的前 n 项和为nS，满足1024nnSa+=，则数列 na的前 n 项积的最大值为（）A552 B452 C92 D102 6（本题 5 分）已知矩形 ABCD 中，2AB=，1BC=，将CBD沿 BD折起至C BD，当C B 与 AD所成角最大时，三棱锥CABD 的体积等于（）A36 B32 C2 515 D2 55 7（本题 5 分）已知()()()cos 140sin 1

4、10sin 130+=，求tan=（）A33 B33 C3 D3 8（本题 5 分）若存在aR，使得对于任意1,eex，不等式()22lne2e lnexaxbxx+恒成立，则试卷第 2 页，共 4 页 实数b的最小值为（）A32ee 1e1+B22eee1+C1 De 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9（本题 6 分）下列说法正确的是（）A0

5、 B集合|2,ZZ2xx xn nx=C函数()R1Q0Qxf xx=的值域为0,1 D()f xx x=在定义域内单调递增 10（本题 6 分）如图，点,A B C是函数()()sin(0)f xx=+的图象与直线32y=相邻的三个交点，且,0312BCABf=，则（）A4 B9182f=C函数()f x在,3 2上单调递减 D若将函数()f x的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为24 11（本题 6 分）已知定义在(0,)+的函数()f x满足：对(0,)+x恒有()()xfxf xx=；对任意的正数m，n恒有()()()f mnnf mmf nmn=+则下列结论中正

6、确的有（）A()11f=B过点()()e,ef的切线方程1yx=C对(0,)+x，不等式()ef xx恒成立 试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 D若0 x为函数()2yf xx=+的极值点，则()0030f xx+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12（本题 5 分）已知复平面上一个动点 Z 对应复数 z，若|4i|2z，其中 i 是虚数单位，则向量OZ 扫过的面积为 13（本题 5 分）已知实数 x，y 满足23ln0 xxy=，则()222R2mxymxmym+的最小值为 14（本题 5 分）如图，在直角

7、梯形 ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，动点 M在边 DC 上（不同于 D 点），P为边 AB上任意一点，沿 AM 将ADM 翻折成ADM，当平面 ADM垂直于平面 ABC时，线段 PD长度的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本题 13 分）某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是13，规定：每一局比赛中胜方记 1 分，负方记 0 分，先得 3 分者获胜，比赛结束(1)求进行 3 局比赛决出

8、冠亚军的概率；(2)若甲以2:1领先乙时，记X表示比赛结束时还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望 16（本题 15 分）设函数()lnf xxaxb=+，曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为63yx=.(1)求,a b；(2)证明：()35f xx.17（本题 15 分）如图，AB 是半球 O 的直径，4AB=，,M N依次是底面AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且60PON=试卷第 4 页，共 4 页 (1)证明：PBPM；(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值 18（本题 17 分）已知双曲线22:14xCy=，点(4,0)

9、M，经过点 M 的直线交双曲线 C于不同的两点 A、B，过点 A，B分别作双曲线 C的切线，两切线交于点 E（二次曲线221AxBy+=在曲线上某点()00,xy处的切线方程为001Ax xBy y+=）(1)求证：点 E恒在一条定直线 L 上；(2)若两直线与 L交于点 N，,ANMA BNMB=，求+的值；(3)若点 A、B 都在双曲线 C的右支上，过点 A、B 分别做直线 L的垂线，垂足分别为 P、Q，记AMP，BMQ，PMQ的面积分别为123,S SS，问：是否存在常数 m，使得2123S SmS=？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 19（本题 17 分）若各项为正的无穷数

10、列 na满足：对于*n N，221nnaad+=，其中d为非零常数，则称数列 na为D数列.记1nnnbaa+=.(1)判断无穷数列nan=和2nna=是否是D数列，并说明理由；(2)若 na是D数列，证明：数列 nb中存在小于 1 的项；(3)若 na是D数列，证明：存在正整数n，使得112024niia=.答案第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：1B【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为10 80%8=，所以这组数据的80%分位数第 8 个数与第 9 个数的平均值，即939493.52+=.

11、故选：B.2A【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设,OAa OBb=且,OAm OBn=，因为,3a b=，可得13(,0),(,)22A mBnn，则13(,0),(,)22aOAmbOBnn=，所以1313(,),(,)2222abmnn abmnn+=+=，又因为向量,a b 满足1a b=，可得1cos,12a ba ba bmn=，解得2mn=，所以22222213()()222abmnnmnmnmn+=+=+=+，22222213()()222abmnnmnmnmn=+=+=+，则22222222ababmnmn+=+，设22tmn=+，因为2224tmnmn=+=，当且仅

12、当2mn=，所以2222ababtt+=+，又因为()222f ttt=+在4,)+上为单调递增函数，所以()()min462 2f tf=+，即2abab+的最小值为62 2+.故选：A.3C 答案第 2 页，共 15 页【详解】圆 C：()2221xy+=的圆心为()2,0C，设(),M t t，则以MC为直径的圆的方程为()()22222120224ttxytt+=+与圆 C的方程()2221xy+=两式相减可得直线 PQ的方程为()2230txtyt+=因为直线 PQ 过点()1,3，所以23230ttt+=，解得12t=所以直线 PQ 的方程为511 3022xy+=，即580 xy

13、+=故选：C 4A【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，共有2355CC20+=种不同的调研方法，其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为：其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有12C2=种方法；其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门，有1123C C6=种方法，共有268+=种不同的调研方法，所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为82205P=.故选：A.5B【详解】依题意，Nn，1024nnSa+=，则1512a=，当2n 时，111024nnSa+=，答案第 3 页，共 1

14、5 页 学科网（北京）股份有限公司 两式相减得12nnaa=，即112nnaa=，因此数列 na是以 512 为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22nnna=，显然数列 na单调递减，当10n 时，1na，当11n，1na，所以当9n=或10n=时，数列 na的前 n 项积最大，最大值为987204522222 22=.故选：B 6A【详解】因为异面直线所成角的范围是0,2，故当C BAD 时，C B 与 AD 所成角最大，因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD，而,ABC BB AB C B=平面ABC，所以AD 平面ABC，因为AC平面ABC，所以ADAC，在直角三角形A

15、DC中，1,2,3ADC DAC=，而2221,2,BCABBCACAB=+=，所以BCAC，所以111313 13326CABDD ABCABCVVSAD=.故选：A 7D【详解】由题意知，()()()cos 140sin 110sin 130+=即()()()cos 40cos 20cos 40+=，故()()()cos 20cos 40cos 40+=+，即cos20 cossin20 sin2cos40 cos=，故cos20 cos2cos40 cossin20 sin=，即sincos202cos40cos(3010)2cos(3010)tancossin20sin20+=33co

16、s10sin103sin(1030)3sin20223sin20sin20sin20+=，答案第 4 页，共 15 页 故选：D 8C【详解】令()ln xf xx=，其中1,eex，则()21 ln xfxx=，当1eex，()1e0eg=，所以，存在01,eex，使得()00gx=，当01exx，此时函数()g x单调递增，当0exx时，()0gx，1 2ln3x+，所以，()()e2 e 112ln0 xxx+，所以当1,eex时，()0h x，则函数()h x在1,ee上单调递增，所以()h x有唯一的零点1，所以01x=，此时直线方程为1yx=，故min1b=.故选：C.9BD【详解

17、】对于 A：0 或0，故 A 错误；对于 B：|2,Z,6,4,2,0,2,4,6,8,x xn n=，又Z2x，令Z2xk=，所以2xk=，Zk，即Z2,Z,6,4,2,0,2,4,6,8,2xxx xk k=，所以|2,ZZ2xx xn nx=，故 B 正确；对于 C：因为()R1Q0Qxf xx=，所以()f x的值域为0,1，故 C 错误；对于 D：()22,0,0 xxf xx xxx=，因为2yx在)0,+上单调递增，2yx=在(),0上单调递增，且()f x为连续函数，所以()f x在R上单调递增，故 D 正确；故选：BD 10ACD【详解】令()()3sin2f xx=+=得，

18、2 3xk+=+或22 3xk+=+，Zk，答案第 6 页，共 15 页 由图可知：2 3Axk+=+，2+23Cxk+=+，22 3Bxk+=+，所以123CBBCxx=+，1 3BAABxx=，所以12233BCAB=+，所以4，故 A 选项正确，所以()()sin 4f xx=+，由012f=得sin03+=，所以2 3k+=+，Zk，所以42 3k=+，Zk，所以()44sin 42 sin 4sin 4333f xxkxx=+=+=+，991sin8232f=+=，故 B 错误.当,3 2x时，54,2333x+，因为sinyt=在5,233t+为减函数，故()f x在,3 2上单调

19、递减，故 C 正确；将函数()f x的图象沿x轴平移个单位得()sin 443g xx=+，（0时向左平移），()g x为偶函数得432k+=+，Zk，所以244k=+，Zk，则的最小值为24，故 D 正确.故选：ACD.11ACD【详解】()0,x+恒有()()xfxf xx=，2()()()1f xxfxf xxxx=，可设()lnf xxCx=+（其中 C 为常数），又对任意的正数,m n恒有()()()f mnnf mmf nmn=+，对任意的正数,m n恒有()()()1f mnf mf nmnmn=+，()lnlnln1mnCmCnC+=+，1C=，答案第 7 页，共 15 页 学

20、科网（北京）股份有限公司()ln1f xxx=，即()lnf xxxx=，对于 A，由上式可得()11f=，故 A 正确；对于 B，()lnfxx=，设切点为()()00,xf x，则切线斜率为0lnkx=，()()0000000elnlneef xfxxxxxx=，化简得00eln xx=，解0ex=，所以点()()e,ef就是切点，所以切线方程为eyx=，故 B 错误；对于 C，令()()eln2eg xf xxxxx=+=+，0 x，则()ln1gxx=，令()0gx，可得ex，()0gx，可得0ex，所以函数()g x在()0,e上单调递减，在()e,+上单调递增，()()eelne2

21、ee0g xg=+=，所以()ef xx，对()0,x+恒成立，故 C 正确；对于 D，设22()()lnp xf xxxxxx=+=+，()ln2p xxx=+，()p x在()0+，上单调递增，且12()10eep=+，所以01,1ex使()p x在()00,x上单调递减，()p x在()0,x+上单调递增，oxx=为函数()p x的极小值点且满足00ln20 xx+=，01,1xe，()2000000003ln2222(1)0of xxxxxxxxx+=+=+=，故 D 正确.故选：ACD.1284 33+【详解】因为|4i|2z，根据复数的几何意义，可得复数z表示以(0,4)C为圆心，

22、以2为半径的圆C的圆面，如图所示，过原点O作圆C的切线，切点为,A B，在直角OBC中，可得4,2OCBC=，所以3OCB=，且2 3OB=，所以23ACB=，所以复数向量OZ 扫过的面积为2112822 32(2)24 32233S=+=+.答案第 8 页，共 15 页 故答案为：84 33+.132【详解】由题意得，22222222mmmxymxmyxy+=+，即求曲线23lnyxx=上一点到,22mm距离最小值，又因为,22mm在直线yx=上，所以当曲线与直线yx=平行时，距离取得最小值，令321yxx=，解得1x=或32x=（舍去），当1x=时，点()1,1到直线0 xy+=距离为22

23、2=，即所求曲线23lnyxx=上一点到,22mm距离最小值为2.故答案为：2 14152【详解】作DH 直线AM于点H，连接PH，则翻折后D HAM，平面AD M平面ABC，AM为两平面的交线，答案第 9 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 D H平面ABC，22PDD HPH=+设DAH=，由2DA=，得2sinDH=，2cosAH=，设APx=，则0 x，1 由2ACCDDA=知ACD为正三角形，则23BAD=，23BAM=，在PAH中，2222cosPHAPAHAPAHPAH=+，即22224coscos()4cos3PHxx=+，222224coscos()4cos4sin

24、3PDxx=+，记22cos cos()3t=，则222()4PDxtt=+，由212coscos()sin(2),03623t=，得112t ，又0 x，1，若10t 等价于23ln525x xxx+.设函数()lng xx x=，则()1 lngxx=+.所以当10,ex时，()0gx.故()g x在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增，从而()g x在()0,+上的最小值为11eeg=.设函数()22312525555h xxxx=+=，从而()h x在()0,+上的最大值为12155eh=g xh x，即()35f xx.17(1)证明见解析(2)105【详解】（1）连接,AM O

25、M MN PN，因为,M N依次是底面AB上的两个三等分点，所以四边形OMNB是菱形，设MBONQ=，则Q为ON中点，且ONMB，答案第 11 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 又因为,60OPONPON=，故OPN是等边三角形，连接PQ，则ONPQ，又因为,MB PQ 面PMB，MBPQQ=，所以ON 面PMB，因为PB 面PMB，所以ONPB，因为,M N依次是底面AB上的两个三等分点，所以/ONAM，所以AMPB，又因为 AB是半球 O 的直径，P 是半球面上一点，所以PBPA，因为,AM PA面PAM，AMPAA=，所以PB 面PAM，又因为PM 面PAM，所以PBPM（2

26、）因为点P在底面圆上的射影为ON中点，所以PQ面AMB，因为,QM QN 面AMB，所以,PQQM PQQN，又因为QMQN，所以以,QM QN QP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,3,3,0,0,3,0,0,3,2,0PMBA，所以()()()3,0,3,3,2,3,2 3,2,0PMPABA=，设平面PAB的法向量(),nx y z=，则32302 320n PAxyzn BAxy=，令1x=，则()1,3,1n=，设直线PM与平面PAB所成角为02，则2 310sincos,565PM nPM nPMn=所以直线PM与平面PAB所成角的正弦值为105

27、 答案第 12 页，共 15 页 18(1)证明见解析(2)0(3)存在14m=【详解】（1）证明：设()()()001122,E xyA x yB xy，由题意得：切线 EA的方程为：1114x xy y=，将点 E 带入得：101014x xy y=，同理可得：202014x xy y=，易知点 A，B都在直线0014x xy y=上，所以直线 l的方程为：0014x xy y=，因为直线 l过点(4,0)M，所以01x=，所以点 E 恒在定直线:1L x=上（2）法一：设()31,Ny，因为ANMA=，所以()1131114,xxyyy=整理得13114,11xyy+=+=+，因为点()

28、11,A x y在双曲线上，所以223141141y+=+，整理得22312430y=，同理可得22312430y=，所以，,是关于 x 的方程22312430 xy=的两个实根，所以0+=法二：由题意知，l的斜率存在，设 l的方程：(4)yk x=，联立()22414yk xxy=得：()()222214326440kxk xk+=，()()()2222324 146440kkk=+所以2212122232644,4141kkxxx xkk+=，答案第 13 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 设()31,Ny，因为ANMA=，所以()1114xx=，所以1114xx=，同理221

29、4xx=，所以()()1212121212122581144416x xxxxxxxx xxx+=+=+2222221288 1603280644 1286416kkkkkk+=+.（3）设:4l xty=+，与22:14xCy=联立得：()2248120tyty+=，121222812,44tyyy ytt+=，因为直线 L 的方程为1x=，所以()()121,1,PyQy，所以11111111113222SAPyxytyy=+，同理222312133,22StyySyy=+=，所以()()2222221212121222231222121224193944414948489444tty y

30、t y yt yytttS SmStyytt+=，故存在14m=，使得212314S SS=19(1)nan=是D数列，2nna=不是D数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）nan=是D数列，2nna=不是D数列，理由如下：当nan=时，2nan=，211nan+=+，答案第 14 页，共 15 页 则22111nnaann+=+=，故是D数列；当2nna=时，222nna=，22212nna+=，则2222221223 2nnnnnaa+=，故不是D数列；（2）若 na是D数列，则0na 且221nnaad+=，此时数列 2na是以21a为首项，d为公差的等差数列，故

31、()2121nanda=+，当0d 时，则总存在正整数n，使()2110and+矛盾，故0d 恒成立，2210nnaad+=，有()()21211nandnda=+，1221nandnda+=+，即()1nand，+1nand，有()()+111nnndndnndaa=+，则()1+111nnnnndddbaaaannnnd+=+，由1nn+随n的增大而增大，故总存在正整数n使11dnn+=+()()221112andandd+=，则()()22222211111111221niiadaadadandandad=+()2112adnda+=，由211anda+随n的增大而增大，且+n 时，()2112+andda+，答案第 15 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 故对任意的0d，总存在正整数n使()21122024andad+，即总存在正整数n，使得112024niia=.