江西吉安一中2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 吉安一中吉安一中 2024 届高三“九省联考”考后适应性测试届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题数学试题一一 本套试卷根据九省联考题型命制，题型为本套试卷根据九省联考题型命制，题型为 8+3+3+5 模式模式 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的求的 1（本题 5 分）某校高一年级 15 个班参加朗诵比赛的得分如下：85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93

2、93 94 96 98 则这组数据的 40%分位数为（）A90 B91 C90.5 D92 2（本题 5 分）已知圆 C：22414450 xyxy+=及点(2,3)Q，则下列说法正确的是（）A直线210kxyk+=与圆 C始终有两个交点 B若 M是圆 C上任一点，则|MQ|的取值范围为2 2,6 2 C若点(,1)P m m+在圆 C上，则直线 PQ的斜率为14 D圆 C 与x轴相切 3（本题 5 分）已知向量,a b满足()1,2,abttab=与a垂直，则ab的最小值为（）A2 B22 C1 D3 4（本题 5 分）高一（1）班有 8 名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐

3、的 2 排，每排4 人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）A1384 B34 C38 D116 5（本题 5 分）已知数列 nnab、的前 n 项和分别为nnAB、，记nnnnnnncaBbAab=+，则数列 nc的前 2021 项和为（）A20212021AB+B202120212AB+C20212021AB D20212021AB 6（本题 5 分）已知球O的直径4PQ=，A，B，C是球O球面上的三点，ABC是等边三角形，且30APQBPQCPQ=，则三棱锥PABC的体积为（）.A9 34 B27 34 C3 32 D3 34 7（本题 5 分）已知()0,，且3tan10cos

4、2=，则cos可能为（）A1010 B55 C1010 D55 试卷第 2 页，共 5 页 8（本题 5 分）已知 f(x)为奇函数，当 x0,1时，1()12|,2f xx=当1,1,()1(xxf xe =，若关于 x 的不等式 f(x+m)f(x)恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A(-1,0)(0,+)B12,2ln+C11(ln2,1)(2,22)ln+D(2,+)二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 6 分，部分选对的

5、得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9（本题 6 分）下列选项中的两个集合相等的有（）.A()2,21,=+Px xn nQx xnnZZ B21,21,+=+Px xnnQx xnnNN C21(1)0,2+=nPx xxQx xnZ D()1,1=+=+Px yxQx yyx 10（本题 6 分）如图，一个质点在半径为 2 的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离y是关于运动时间t的函数，则下列说法正确的是（）A函数y的最小正周期是32 B函数y的最小正周期是3 C22cos34yt=D22sin34yt=11（本题 6 分

6、）定义：对于定义在区间 I上的函数()f x和正数(01)，若存在正数 M，使得不等式试卷第 3 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司()()1212fxfxM xx对任意12,x xI恒成立，则称函数()f x在区间 I 上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（）A函数()f xx=在1,)+上满足12阶李普希兹条件 B若函数()lnf xxx=在1,e上满足一阶李普希兹条件，则 M的最小值为e C若函数()f x在,a b上满足(01)Mkk=，则 z在复平面内对应的点所在的象限为 象限.13（本题 5 分）已知函数()()2ln,f xmxx g xxmx=+=，若曲线()yf

7、x=与曲线()yg x=存在公切线，则实数m的最大值为 14（本题 5 分）地球仪是地理教学中的常用教具.如图 1 所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为 23.5.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为 4cm 的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱111ABCABC中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图 2 所示.此时平面1ABC恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱111ABCABC的外接球体积为 .(参考数据：tan23.50.43)四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应

8、写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本题 13 分）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励试卷第 4 页，共 5 页 学生自发组织各项体育比赛活动，甲乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记 1 分，失败方记 0 分，没有平局，首先获得 5 分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35.（1）求比赛结束时恰好打了 6 局的概率；（2）若甲以 3：1 的比分领先时，记 X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求 X的分布列及期望.16（本题 15 分）已知函数2()ln()f xx

9、xaxa aR=+.（1）若函数()f x在1x=处的切线与直线210 xy+=垂直，求实数a的值.（2）若函数()f x存在两个极值点，求实数a的取值范围.17（本题 15 分）如图，在正三棱锥PABC中，有一半径为 1 的半球，其底面圆 O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切设点 D 为 BC 的中点，ADP=(1)用分别表示线段 BC和 PD 长度；(2)当0,2时，求三棱锥的侧面积 S的最小值 试卷第 5 页，共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 18（本题 17 分）如图，D为圆 O：221xy+=上一动点，过点 D分别作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为 A，B，连接

10、BA并延长至点 W，使得1WA=，点 W的轨迹记为曲线C (1)求曲线 C 的方程；(2)若过点()2,0K 的两条直线1l，2l分别交曲线 C于 M，N两点，且12ll，求证：直线 MN过定点；(3)若曲线 C 交 y 轴正半轴于点 S，直线0 xx=与曲线 C 交于不同的两点 G，H，直线 SH，SG分别交 x 轴于 P，Q两点请探究：y轴上是否存在点 R，使得2+=ORPORQ？若存在，求出点 R 坐标；若不存在，请说明理由 19（本题 17 分）对于无穷数列na，“若存在()*,mkaat m kNmk=，必有11mkaat+=”，则称数列na具有()P t性质.（1）若数列na满足(

11、)*2(1,2)253,nnnannnN=，判断数列na是否具有(1)P性质？是否具有(4)P性质？（2）对于无穷数列na，设|,jiTx xaa ij=时，()f xm+的图象向左平移，如图，当0()f xm+的图象与()f x在12x 相切时，10()xmfxme+=，此时对应直线斜率2k=，由012xme+=，即012xmln+=，得021xlnm=+此时002 11ln211211lnmmyee+=，又切点在直线2yx=上，所以切点坐标为1(,1)2，即01212xlnm=+=，答案第 5 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 解得01ln22m=+，所以当01ln22mm=+

12、时，不等式()()f xmf x+恒成立.当0m 不恒成立.综上m的取值范围是12,2ln+，故选：B 9AC【详解】解：对于 A：集合2,Px xn n=Z表示偶数集，集合()21,Qx xnn=+Z也表示偶数集，所以PQ=，故 A 正确；对于 B：21,1,3,5,7,Px xnn+=N，21,3,5,7,9,Qx xnn+=+=N，所以PQ，故 B 错误；对于 C：200,1Px xx=，又1,(1)=1,nnn为偶数为奇数，所以1,1+(1)=20,nnxn为偶数为奇数，即1(1),0,12nQx xn+=Z，所以PQ=，故 C 正确；对于 D：集合1RPx yx=+=为数集，集合()

13、,1Qx yyx=+为点集，所以PQ，故 D 错误；故选：AC 10AD【详解】由题可知，该质点的角速度为23rad/s，由于起始位置为点P，沿逆时针方向运动，答案第 6 页，共 14 页 设经过时间ts 之后所成的角为，则234t=，根据三角函数定义可知点P的纵坐标为22sin34pyt=，所以该质点到x轴的距离22sin34yt=，可得 D 正确，C 错误；由解析式22sin34yt=可知其最小正周期为3223=，即 A 正确，B 错误；故选：AD 11ACD【详解】A 选项：不妨设12xx，()()1212f xf xxx=，即()()()()12121211122212121f xf

14、xxxxxxxxxxx=，()lnf xxx=在1,e单调递增，()()()()1212f xf xf xf x=，()()1212f xf xM xx，即()()()1212f xf xM xx，即()()1122f xMxf xMx对12xx，12,1,ex x 恒成立，即()f xMx在1,e上单调递减，()0fxM对1,ex 恒成立，所以1 lnMx+对1,ex 恒成立，即2M，即M的最小值为2，B 选项错误；C 选项：假设方程()f xx=在区间,a b上有两个解0 x，t，则()()000f xf tk xtxt，当1212xx时，()()121212f xf xxx，当1212x

15、x时，()()()()()()()()()()1212121010f xf xf xfff xf xff xf=+()121211012xxxx+=，可知10a，故 z 在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.答案第 7 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：第二.1312【详解】()()1,2fxmgxxmx=+=，假设两曲线在同一点()00,xy处相切，则002000012lnmxmxmxxxmx+=+=，可得2001 ln xx=，即200ln10 xx+=，因为函数2ln1yxx=+单调递增，且1x=时0y=，所以01x=，则12m=，此时两曲线在11,2处相切，根据

16、曲线的变化趋势，若12m，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以m的最大值为12.故答案为：12.14790【详解】由题设可知平面1ABC与面111ABC的夹角为23.5，取AC中点 M，11AC中点 N，连接 MN 由二面角的定义可知1MB N为平面1ABC与面111ABC的夹角，即123.5MB N=设正三棱柱的底面边长为2a，高为 h，则13B Na=所以1tantan23.50.433hMB Na=，则0.43 3ha 又地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，即地球仪的最大圆与底面正三角形内切，所以内切圆的半径13222222=43 2aaSrCa=，解得4 3a=答案第 8 页，共

17、14 页 所以三棱柱的高0.43 34 35.16h=，底面边长为8 3 设三棱柱111ABCABC上、下底面中心,E F，连线的中点 O为球心，在直角OEB，2.582hOE=，22334 3833EBa=所以三棱柱外接球的半径2282.5870.65648.4R=+=所以体积33448.479033VR=故答案为：790 15（1）5823125；（2）分布列答案见解析，数学期望：1966625.【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了 6 局，甲获胜的概率为44153234865553125PC=，恰好打了 6 局，乙获胜的概率为14125322965553125PC=，所以比赛结束时恰好打

18、了 6 局的概率为1248696582312531253125PPP=+=+=.（2）X的可能取值为 2，3，4，5，()2392525P X=，()12233363555125P XC=，()2413323212445555625P XC=+=，()331344323232965555555625P XCC=+=.答案第 9 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 所以 X的分布列如下：X 2 3 4 5 P 925 36125 124625 96625 故()936124961966234525125625625625E X=+=.16（1）34a=；（2）10,2.【详解】（1）(

19、)ln12fxxax=+，(1)12fa=，则(12)21a=，解得34a=.（2）()ln12fxxax=+，由题设可知()0fx=有两个不同的零点，且()fx在零点的附近()fx的符号发生变化.令()ln12g xxax=+，则1()2g xax=，若0a，则()0g x，则()g x为()0,+上为增函数，()g x在()0,+上至多有一个零点.当0a 时，若102xa，故()g x在10,2a上为增函数，若12xa，则()0g x，故102a.又112ea且12()0agee=时，总有2lntt时，()2210th ttt=，故()h t为()2,+上的减函数，故()(2)2ln220

20、h th=，故2lntt，则ln xx4x时，有()12g xxax时，有11 811 81 22044aaxaxaxxaa+=，故()0g x，故在1,2a+上，存在实数x，使得()0g x，由零点存在定理及()g x的单调性可知可得()g x在1,2a+上存在一个零点.综上可知，实数a的取值范围是10,2.17(1)2 3sinBC=；1sincosPD=(2)272 【详解】（1）连接 OP，由题意 O为ABC的中心，且PO面 ABC，又AD 面 ABC，所以POAD，所以POD为直角三角形 设半球与面 PBC 的切点为 E，则1OE=且OEPD 在RtODE中，13sin32OEODB

21、C=，所以2 3sinBC=在Rt POD中，1cossincosODPD=（2）由题知，132 313322sinsincosPBCSSBCPD=，化简得23 3sincosS=，0,2，令cost=，则上述函数变形为()33 3S ttt=，()0,1t，所以()()()2233 3 31tS ttt=，令()0S t=，得33t=当30,3t时，答案第 11 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司()0S t，()S t单调递增，所以当33t=时，三棱锥的侧面积 S的最小值为32732S=18(1)2214xy+=(2)证明见解析，6,05(3)存在，(0,2)R 【详解】（1）设

22、(),W x y，00(,)D xy，则00(,0),(0,)A xBy，由题意知1AB=，所以WAAB=，得(000,)(,)xxyxy=，所以002xxyy=，因为22001xy+=，得2214xy+=，故曲线 C的方程为2214xy+=（2）由题意可知，直线12,l l不平行坐标轴，则可设1l的方程为：2xmy=，此时直线2l的方程为12xym=由22214xmyxy=+=，消去x得：22(4)40mymy+=，解得：244mym=+或0y=(舍去)，所以222428244mmxmmm=+，所以222284(,)44mmMmm+，同理可得：222284(,)4141mmNmm+当1m 时

23、，直线MN的斜率存在，222224222444(55)54412828161644414MNmmmmmmmkmmmmmm+=+，则直线MN的方程为256445myxm=+，所以直线MN过定点6,05 当1m=时，直线MN斜率不存在，此时直线MN方程为：65x=，也过定点6,05，答案第 12 页，共 14 页 综上所述：直线MN过定点6,05（3）假设存在点 R 使得2+=ORPORQ，设()0,Rt，因为2+=ORPORQ，所以ORQOPR=，即tantanORQOPR=，所以|OQOROROP=，所以2|OROPOQ=，直线0 xx=与曲线 C 交于不同的两点 G、H，易知 G、H关于x轴

24、对称，设000000(,),(,)(1,)0G xyH xyyy，易知点()0,1S，直线SG方程是0011yyxx=+，令0y=得点 P 横坐标001Pxxy=，直线SH方程是0011yyxx+=+，令0y=得点 Q 横坐标001Qxxy=+，由2|OROPOQ=，得22020|1|xty=，又00(,)G xy在椭圆上，所以220014xy+=，所以24t=，解得2t=，所以存在点(0,2)R，使得2+=ORPORQ成立 19（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.可证得存在整数N，使得12,NNNN kaaaa+是等差数列.【详解】（1）因为()*2(1,2)253,nnnannnN=

25、，52541aa=，但637 161aa=，所以数列na不具有性质(1)P，答案第 13 页，共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 同理可得数列na具有性质(4)P；（2）因为数列na具有性质(0)P，所以一定存在一组最小的且mk，满足0mkaa=，即mkaa=，由性质(0)P的含义可得11mkaa+=，22mkaa+=，2112,m kmm kmaaaa=，所以数列na中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：11,kkma aa+为一个周期中的各项，所以数列na中最多有1m个不同的项，所以T最多有21mC个元素，即T为有限集；（3）因为数列na具有(2)P性质，又具有(3)P性质，所以存在

26、,MN，使得2,3MPMNqNaaaa+=，其中,p q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质(2),(3)PP的含义可得+2,3Mp kMkNq kNkaaaa+=，若MN，则取kMN=，可得3MqMaa+=，记max,MMN=，则对于Ma，有2,3MpMMqMaaaa+=，显然pq，由性质(2),(3)PP的含义可得：2,3Mp kMkN q kN kaaaa+=，所以(1)(1)(2)()()()MpqMMpqMqpMqpMqpMpMaaaaaaaa+=+(1)(1)(2)2()()()3MpqMMpqMpqMpqMpqMqMqaaaaaaaap+=+=，所以23qp=，又,p q满足2,3MpMMqMaaaa+=的最小的正整数，所以3,2qp=，232,3MMMMaaaa+=，所以232,3MkMkMkMkaaaa+=，答案第 14 页，共 14 页 所以22(1)233(1)32,3MkMkMMkMkMaaak aaak+=+=+，取3NM=+，所以，若k是偶数，则N kNaak+=+，若k是奇数，则3(3)3(3)3(3)N kNkNNNaaakakak+=+=+=+，所以，N kNaak+=+，所以12,NNNN kaaaa+是公差为 1 的等差数列.