江苏省四校联合2024届高三新题型适应性考试数学含答案.pdf

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1、江苏省四校联合 2024 届高三新题型适应性考试数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1使用斜二测画法作一个五边形的直观图，则直观图的面积是原来五边形面积的A12倍B22倍C14倍D24倍 2已知a，b是两个不共线的单位向量，向量(,)ca

2、b R，则“0且0”是“()0cab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3已知等差数列na的前n项和为nS，41S，84S，则17181920aaaaA7B8C9D10 4设i为虚数单位，若复数1i1 ia为纯虚数，则a A1B1C0D2 5甲、乙、丙、丁四人参加书法比赛，四人对于成绩排名的说法如下甲说：“乙在丙之前”，乙说：“我在第三名”，丙说：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁说：“乙在第四名”若四人中只有一个人的说法是错误的，则甲的成绩排名为A第一名B第二名C第三名D第四名 6已知P为抛物线24xy上一点，过P作圆22(3)1xy的两条切线，切点分别为A

3、，B，则cosAPB的最小值为A12 B23C34D78 7 若 全 集 为U，定 义 集 合A与B的 运 算：|ABx xABxAB且，则()ABBAABBCUABDUBA 8设14a，112ln(sincos)88b，55ln44c，则AabcBacbCcbaDbac二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9若m，n为正整数且1nm，则A3588CC B3377AC4!C11C(1)CmmnnmnD11AAAmmmnnnm10设函数2()2sin3sin|1f xxx

4、，则A()f x是偶函数B()f x在(,0)4上单调递增C()f x的最小值为18D()f x在,上有4个零点11已知圆M：22(1)16xy，点A是M所在平面内一定点，点P是M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则Q的轨迹可能为A椭圆B双曲线C抛物线D圆三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12有一组从小到大排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_13围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算假设大小为n的眼有

5、na口气，大小为1n的眼有1na口气，则na与1na满足的关系是11a，22a，*11(2,)nnanannN则na的通项公式为_14若A，B，C，D四点均在同一球面上，23BAC，BCD是边长为2的等边三角形，则ABC面积的最大值为_，四面体ABCD体积取最大值时，球的表面积为_四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PCPD，二面角ACDP为直二面角（1）证明：PBPD；（2）若PCPD，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值16（15 分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和

6、新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率00.006p；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数（1）求X的概率分布；（2）求X的数学期望参考数据：900.9940.58217（15 分）已知函数()elogexaf xax，其中1a（1）若ea，证明()0f x；（2）讨论()f x的极值点的个数18（17 分）已知等轴双曲线C的顶点分别为椭圆：22162xy的焦点1F，2F（1）求C的方程；（2）若Q为C上异于顶点的任意一

7、点，直线1QF，2QF与椭圆的交点分别为P，R与M，N，求|4|PRMN的最小值19（17 分）交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称AC BDBCAD（分式中各项均为有向线段长度，例如ABBA）为A，B，C，D四点的交比，记为(,;,)A B C D（1）证明：11(,;,)(,;,)D B C AB A C D；（2）若1l，2l，3l，4l为平面上过定点P且互异的四条直线，1L，2L为不过点P且互异的两条直线，1L与1l，2l，3l，4l的交点分别为1A，1B，1C，1D，2L与1l，2l，3l，4l的交点分别为2A，2B

8、，2C，2D，证明：11112222(,;,)(,;,)A B C DA B C D；（3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若EFG与E F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则EFG与E F G 对应边的交点在一条直线上江苏省四校联合 2024 届新题型适应性考试数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D2A3C4B5B6C7A8D二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9、9AD10ABC11ABD三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。127.513236 221 1nnnnan，1433；203四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15解：（1）在四棱锥PABCD中，因为二面角ACDP为直二面角，所以平面PCD 平面ABCD，因为底面ABCD为正方形，所以BCDC，而BC 平面ABCD，DC 平面PCD平面ABCD，所以BC 平面PCD，而PD 平面PCD，所以BCPD，又因为PCPD，BC，PC 平面PBC，BCPCC，所以PD 平面PBC，又因为PB 平面PBC，所以PBPD；（2）分别取

10、CD，AB中点为O，E，连接OP，OE，因为PCPD，所以OPDC，又因为平面PCD 平面ABCD，DC 平面PCD平面ABCD，OP 平面PCD，所以OP 平面ABCD，以O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,0)O，(1,0,0)C，(1,2,0)B，(0,0,1)P，(0,2,0)E，(1,2,0)A，(1,2,1)AP ，(2,0,0)AB ，(1,0,1)PC ，设(,)nx y z是 平 面PAB的 一 个 法 向 量，则00n APn AB ，即2020 xyzx，不妨取1y，2z，则(0,1,2)n 是平面P

11、AB的一个法向量设直线PC与平面PAB的夹角为，则|10sin|cos,|5|n PCn PCn PC 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为10516解：（1）将每次祈愿获取五星角色的概率记为0p，X的所有可能取值为1，2，3，90从而0(1)P Xp，00(2)(1)P Xpp，200(3)(1)P Xpp，8800(89)(1)P Xpp，890(90)(1)P Xp所以X的概率分布为100*890(1),189(),(1),90kppkP XkkpkN（2）X的数学期望()1(1)2(2)3(3)90(90)E XP XP XP XP X 28900000012(1)3(1)90(

12、1)pppppp ，239000000000(1)()1(1)2(1)3(1)90(1)p E Xppppppp ，288898900000000000()(1)(1)(1)90(1)89(1)p E Xpppppppppp90090(1)p，8990288890000000090(1)90(1)()1(1)(1)(1)89(1)ppE Xpppppp 8928889000000090(1)1(1)(1)(1)1(1)89(1)ppppppp 90288890000001(1)1(1)(1)(1)(1)pppppp，因为00.006p，所以9090001(1)1 0.9941 0.582()6

13、9.670.0060.006pE Xp17解：（1）当ea 时，()eelnexf xx，e()exfxx，(1)0f，(1)0f，当1x 时，()0fx，()f x单调递减；当1x 时，()0fx，()f x单调递增，从而()(1)0f xf；（2）由题意知，函数()f x的定义域为(0,)，2elnelnln)ln(xxfxxaaaaxaxa，设2()lnexg xxaa，1a，显然函数()g x在(0,)上单调递增，()g x与()fx同号，当ea 时，e(0)0g ，2(1)lne0gaa，所以函数()g x在(0,1)内有一个零点，所以函数()f x在(0,)上有且仅有一个极值点；当

14、ea 时，由第（1）问知，函数()f x在(0,)上有且仅有一个极值点；当1ea时，21ln1a，21ln2()el1nagaa，因 为2ln21ln1lnlnln1aaaaa，所 以21lneaa，2)1(0lnga，又2(1)lne0gaa，所以函数()g x在2l1(,n1)a内有一个零点，所以函数()f x在(0,)上有且仅有一个极值点；综上所述，函数()f x在(0,)上有且仅有一个极值点18解：（1）椭圆的2224cab，故1(2,0)F，2(2,0)F，设等轴双曲线C的方程为22xyd，将2F带入求得4d，故等轴双曲线C的方程为224xy；（2）设直线1QF的方程为2xmy，直线

15、2QF的方程为2xny，点P，R，M，N的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，33(,)xy，44(,)xy，联立直线1QF与椭圆：22236xmyxy，得22(3)420mymy，12243myym，12223y ym，从而221212|()()PRxxyy2222212122224211()41()4()2 6333mmmyyy ymmmm，联立直线2QF与椭圆：22236xnyxy，得22(3)420nyny，34243nyyn，34223y yn，从而222222343434342242|()()1()41()4()33nMNxxyynyyy ynnn2212 63nn，联立直

16、线1QF与2QF：22xmyxny，得224(,)mnQmnmn，又Q在双曲线C上，带入得22224()()4mnmnmn，化简得1nm从而222211|4|2 6()33mnPRMNmn22422242221014472013732 6()2 62 6()9768104331310333()95525()5mmmmmmmmmm1079 632 6()327681042 3255，当且仅当2297683()9525()5mm，即5m 时取等，故|4|PRMN的最小值为9 6219解：（1）()1(,;,)1DC BABC ADDC BABCACCDCD ABD B C ABC DABC ADB

17、C AD 1(,;,)BC ACBC CDCD ABBC ACAC CDAC BDBC ADBC ADBC ADB A C D；（2）1 1111 111111111111111(,;,)PACPB DPB CPA DSSACB DA B C DBCADSS11111111111111111111111111sinsinsinsin2211sinsinsinsin22PA PCAPCPB PDB PDAPCB PDB PCAPDPB PCB PCPA PDAPD2222222222222222222222222222sinsin(,;,)sinsinPA CPB DPB CPA DSSA PC

18、B PDA CB DA B C DB PCA PDSSB CA D；第（2）问图第（3）问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF与XY交于L，EE与XY交于M，GG与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上考虑线束XP，XE，XM，XE，由第（2）问知(,;,)(,;,)P F L FP E M E，再考虑线束YP，YF，YL，YF，由第（2）问知(,;,)(,;,)P F L FP G N G，从而得到(,;,)(,;,)P E M EP G N G，于是由第（2）问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线