离散数学离散数学 (1).pdf

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1、Chapter 4代数系统Algebra System4.1 代数系统的引入一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合S；（2）有一些建立在S上的运算；（3）这些运算在集合S上是封闭的。4.2 运算4 4.2 2.1 1 运算的概念运算的概念定义定义假设A是一个集合，AA 到A的映射称为A上的二元运算。一般地，An 到 A 的映射称为A上的n元运算。4.2 运算4 4.2 2.2 2 运算的性质运算的性质（1 1）封闭性封闭性如果如果 SA，对任意的对任意的 a,bS，有有a*bS，则称则称 S 对运算对运算*是封闭的是封闭的。假设*,+都是集合 A 上的运算4.2 运算4 4.2

2、 2.2 2 运算的性质运算的性质（2 2）交换律交换律如果对任意的如果对任意的 a,bA，都有，都有 a*b=b*a，则，则称运算称运算*是可交换的。是可交换的。（3 3）结合律结合律如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有，都有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算，则称运算*是可结合的。是可结合的。4.2 运算（4 4）分配律分配律如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，都有都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)则称则称*对对+运算满足左分配；运算满足左分配；如果对任意的如果对任意的a,b,c A，都有，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)则称则称*对对+运算满足右分配。

3、运算满足右分配。如果运算如果运算*对对+既满足左分配又满足右分配，既满足左分配又满足右分配，则称运算则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。4.2 运算（5 5）消去律消去律如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 a*b=a*c，必，必有有 b=c，则称运算，则称运算*满足左消去律；满足左消去律；如果对任意的如果对任意的 a,b,cA，当，当 b*a=c*a，必，必有有 b=c，则称运算，则称运算*满足右消去律；满足右消去律；如果运算如果运算*既满足左消去律又满足右消去律，既满足左消去律又满足右消去律，则称运算则称运算*满足消去律。满足消去律。4.2 运算（6 6）吸收律吸收律如果对任

4、意的如果对任意的 a,bA，都有，都有a*(a+b)=a，则称运算则称运算*关于运算关于运算+满足吸收律。满足吸收律。（7 7）等幂律等幂律如果对任意的如果对任意的 aA，都有，都有 a*a=a，则称运算则称运算*满足等幂律。满足等幂律。4.2 运算 b a c a b c c b a a c b b a c（1 1）封闭性封闭性（2 2）交换律交换律（3 3）结合律结合律（4 4）分配律分配律（5 5）消去律消去律（6 6）吸收律吸收律（7 7）等幂律等幂律 4.3 代数系统4 4.3 3.1 1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义假设假设 A A 是一个非空集合是一个非空集合，f1,f2

5、,fn是是 A上的运算上的运算（运算的元素可以是不相同的运算的元素可以是不相同的），则称则称A 在运算在运算 f1,f2,fn下构成一个代数系统下构成一个代数系统，记记为：为：4.3 代数系统4 4.3 3.1 1 代数系统的概念代数系统的概念定义定义假设假设 是一个代数系统是一个代数系统，SA，如果如果 S 对对*是封闭的是封闭的，则称则称 为为的子代数系统的子代数系统。4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元单位元（幺元幺元）假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 eLA,对于对于任意元素任意元素 xA，都有，都有 eL*

6、x=x,则称则称 eL为为 A 中关于运中关于运算算*的左单位元的左单位元;如果如果 erA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*er=x,则称则称 er 为为 A 中关于运算中关于运算*的右单位元的右单位元;如果如果 A 中一个元素中一个元素 e 既是左单位元又是右单位元，既是左单位元又是右单位元，则称则称 e 为为 A 中关于运算中关于运算*的单位元。的单位元。4.3 代数系统 b a c a b c c b a a c b b a c b a c a b c c b a c b a c b a b a c a b c a a a b b b c c c eL=a,b,cer=

7、a,b,ceL=a er=a4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（1 1）单位元单位元（幺元幺元）定理定理假设假设 是代数系统是代数系统，并且并且 A 关于运关于运算算*有左单位元有左单位元 eL和右单位元和右单位元 er，则则eL=er=e 并且单位元唯一并且单位元唯一。4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元零元假设假设 是一个代数系统，如果是一个代数系统，如果 LA,对于任意对于任意元素元素 xA，都有，都有 L*x=L,则称则称 L为为 A 中关于运算中关于运算*的的左零元左零元;如果如果

8、 rA,对于任意元素对于任意元素 xA，都有，都有 x*r=r,则称则称 r为为 A 中关于运算中关于运算*的右零元的右零元;如果如果 A 中一个元素中一个元素 既是左零元又是右零元，则称既是左零元又是右零元，则称 为为 A 中关于运算中关于运算*的零元。的零元。b a c a b c c b a b b b b b c b a c a b c c b a c b a c b a b a c a b c a a a b b b c c c 4.3 代数系统r=a,b,cL=a,b,cr=bL=b找出下列代数系统的左零元，右零元，零元。找出下列代数系统的左零元，右零元，零元。4.3 代数系统4

9、4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（2 2）零元零元定理定理假设假设 是代数系统是代数系统，并且并且 A 关于运算关于运算*有左零元有左零元 L和右零元和右零元r，则则L=r=并且零元并且零元唯一唯一。4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元逆元假设假设 是一个代数系统是一个代数系统，e 是是 的单位元的单位元。对于元素对于元素 aA，如果存在如果存在 bA，使得使得 b*a=e，则称则称 a为左可逆的为左可逆的，b 为为 a 的左逆元；如果存在的左逆元；如果存在 cA，使得使得a*c=e，则称元素则称元素 a 是

10、右可逆的是右可逆的，c 为为 a 的右逆元的右逆元。如如果存在果存在 a A，使得使得 a*a=a*a=e，则称则称 a 是可逆的是可逆的，a 为为 a 的逆元的逆元。a 的逆元记为：的逆元记为：a-1。b a c a b c c b a a c b b a c 4.3 代数系统a*a=a*a=e系统的单位元 e=aa*a=ea-1=ab*c=c*b=eb-1=cc-1=b分析下列代数系统中各元素的逆元情况。分析下列代数系统中各元素的逆元情况。单位元自身为逆元4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（3 3）逆元逆元定理定理设设 是一个代数系统是一个代数

11、系统，且且 A 中存在单位元中存在单位元e，每个元素都存在左逆元每个元素都存在左逆元。如果运算如果运算*是可结合的是可结合的，那么那么，任何一个元素的左逆元也一定是该元素的右逆任何一个元素的左逆元也一定是该元素的右逆元元，且每个元素的逆元唯一且每个元素的逆元唯一。4.3 代数系统4 4.3 3.2 2 代数系统中的特殊元素代数系统中的特殊元素（4 4）幂等元幂等元定义：定义：在代数系统在代数系统中，如果元素中，如果元素 a 满足满足a*a=a，那么称那么称 a 是是 A 中的幂等元。中的幂等元。运算 4 运算 3 运算 2 运算 1 b a*c a b c c b a a c b b a c b a*c a b c c b a c a b c c c b a*c a b c c b a c b a c b a b a*c a b c c b a c b b b c c 4.3 代数系统分析下列代数系统中幂等元的情况。分析下列代数系统中幂等元的情况。运算运算1 幂等元幂等元 a运算运算2 幂等元幂等元 a，c运算运算3 幂等元幂等元 a，b，c运算运算4 幂等元幂等元 a，b1、运算及运算的性质：封闭性，交换律，结合律，分配律，消去律，吸收律，等幂律2、，代数系统3、，单位元（幺元），零元，逆元，幂等元小结