离散数学离散数学 (4).pdf

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1、5.2 群的概念及其性质5 5.2 2.2 2 群的性质群的性质(1)(1)任何群都没有零元。任何群都没有零元。(2)(2)设设 是群，则是群，则 G 中消去律成立。中消去律成立。证明：证明：a,b,cG,a*b=a*c群中任何元素的逆元都存在，设群中任何元素的逆元都存在，设a的逆元是的逆元是a-1 a-1*(a*b)=a-1*(a*c)即即(a-1*a)*b=(a-1*a)*c)e*b=e*c b=c 同理 若 b*a=c*a 则则 b=c群群中消去律成立中消去律成立5.2 群的概念及其性质5 5.2 2.2 2 群的性质群的性质(3)(3)设设 是群，单位元是群，单位元e是是 G 中的唯一

2、中的唯一幂等元。幂等元。证明：证明：e*e=e e是群中是群中幂等元，幂等元，又设又设aG，且，且 a*a=a，a是群中另一幂等元是群中另一幂等元 a-1*a*a=a-1*a a=e e是群是群中唯一中唯一幂等元幂等元5 5.2 2.2 2 群的性质群的性质(4)设设,是群，是群，f是是 G 到到 H 的同态，若的同态，若e 为为的单位元，则的单位元，则 f(e)是是 的单位元，的单位元，并且对任意并且对任意 aG，有，有 f(a-1)=f(a)-1。证明：证明：f是是 G 到到 H 的同态的同态 f(e)。f(e)=f(e*e)=f(e)从而从而f(e)是群是群中中幂等元，幂等元，f(e)是

3、群是群的单位元的单位元又又f(a)。f(a-1)=f(a*a-1)=f(e)f(a-1)。f(a)=f(a-1*a)=f(e)f(a)与与f(a-1)互为逆元互为逆元5 5.2 2.2 2 群的性质群的性质(5)设设是群，是群，是任意代数系统，若存在是任意代数系统，若存在G 到到 H 的满同态映射，则的满同态映射，则必是群。必是群。证明：证明：满同态映射具有“满同态映射具有“6保持”保持”H必是群，必是群，5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质定理：设设 是一个是一个 n 阶有限群阶有限群，它的运算表中的每一它的运算表中的每一行行（每一列每一列）都是都是 G 中元素的一个全排列中元素

4、的一个全排列。证明：设证明：设G中的n个不同元素为a1,a2,an即即 G=a1,a2,an 其中任意其中任意ai aj（i j）其运算表中的第其运算表中的第i行为行为 aia1,aia2,aian要说明是一个全排列，只要说明每个元素都不相同要说明是一个全排列，只要说明每个元素都不相同，若若 aiaj=aiak（j k）由群众消去律成立由群众消去律成立 则则aj=ak，矛盾矛盾 aia1,aia2,aian是是n个元素的全排列个元素的全排列5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质 e e e*a a a e e e*a e a b b b a a b a e e e*b e e a 一

5、阶群一阶群二阶群二阶群是唯一的吗？是唯一的吗？三阶群三阶群依据群的运算表中的每一行运算表中的每一行（每一列每一列）都是都是 G 中元素的一个中元素的一个全排列全排列。分析分析1，2，3阶群的运算表阶群的运算表。5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质 a b b b a a b a e e e*e?e a b b b a a b a e e e*a?表表1 填填e表表2 填填a若若a*b=b 则则a*b*b-1=b*b-1=e,a=e若若a*b=a 则则a-1*a*b=a-1*a=e,b=e5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质 a b b b a a b a e e e*b

6、 e e a 三阶群的运算表是唯一三阶群的运算表是唯一表表3 填填b只有只有 a*b=e,b*a=b*a*e=b*a*（b*b-1）=b*（a*b）*b-1）=b*e*b-1=b*b-1=ea*b=b*a5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质 e c c b a c c a b b a a b a e e e*a e b c c e b 第一类：每个元素自身第一类：每个元素自身为逆元为逆元 a c c b e c c e b b a a b a e e e*a e b c c a b b c c e a c c a b b a a b a e e e*a b b c c e e e

7、c c b a c c a b b a a b a e e e*a c b e e c b 第二类：两个元素第二类：两个元素（包括（包括e）自身为）自身为逆元另两个元素互逆元另两个元素互为逆元为逆元四阶群的运算表四阶群的运算表？例：例：G,*是可交换是可交换(ABEL)群的充要条件是群的充要条件是 a,b G 有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)解：充分性解：充分性 a,b G 有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)则则 G,*是可交换是可交换(ABEL)群。群。必必要性要性 G,*是可交换是可交换(ABEL)群则有群则有a,b G 有有(a*b)*(a*b)=(a*

8、a)*(b*b)5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质例：任何阶数是例：任何阶数是1,2,3,4阶的群都是可交换阶的群都是可交换(ABEL)群。群。1阶群是可交换阶群是可交换(ABEL)群，群，G=e a b b b a a b a e e e*b e e a 2阶群是可交换阶群是可交换(ABEL)群，群，G=e,a3阶群是可交换阶群是可交换(ABEL)群，群，G=e,a,b若若a*b=a 则则a-1*a*b=a-1*a=e,b=e若若a*b=b 则则a*b*b-1=b*b-1=e,a=e只有只有 a*b=e,b*a=b*a*e=b*a*（b*b-1）=b*（a*b）*b-1）=b*

9、e*b-1=b*b-1=ea*b=b*a5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质4阶的群都是可交换阶的群都是可交换(ABEL)群。群。4阶群是可交换阶群是可交换(ABEL)群，群，G=e,a,b,c(1)a,b,c自为逆元自为逆元,则则a*b=b*a=c;b*c=c*b=a;c*a=a*c=b 交换律满足交换律满足(2)a,b,c两个元素互为逆元，如两个元素互为逆元，如a,b互为逆元互为逆元若若a*b=b*a=e 则则c*c=e,a*ce,a*c=b同理同理c*a=b 所以所以a*c=c*a,同理同理 b*c=c*b5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质例：假设例：假设是一个

10、二阶群是一个二阶群，则则是一个是一个Klein群群。且是可交换且是可交换（abel）群群。G=e,aGG=,*=*=*=5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质 *e c c b a c c a b b a a b a e e e*a e b c c e b 同同构构e ,a ,b ,c G GG;定义如下双射 5 5.2 2.4 4 有限群的性质有限群的性质5.2 群的概念及其性质5 5.2 2.3 3 半群与群半群与群(1)(1)假设假设是半群，并且是半群，并且 中有一左单位元中有一左单位元 e，使得对任意的，使得对任意的 aG，有，有 e*a=a；中任意元素中任意元素 a 都有“

11、左逆元”都有“左逆元”a-1，使得使得 a-1*a=e。则则 是群。是群。a-1*a=e，有，有a-1G,a-1的左逆元左逆元(a-1)-1G即(a-1)-1a-1=e推证右逆元存在 aa-1=eaa-1=(a-1)-1a-1)aa-1=e推证右单位存在 ae=a(a-1a)=ea=e5 5.2 2.3 3 半群与群半群与群(2)有限半群，如果消去律成立，则必为群。有限半群，如果消去律成立，则必为群。分析分析:(1)封闭性封闭性(2)结合律结合律(3)单位元单位元(4)逆元逆元（消去律成立消去律成立）群小结群小结（2 2）1 1、任何群都没有零元。、任何群都没有零元。2、群中消去律成立。、群中消去律成立。3、单位元、单位元e是是 群中的唯一幂等元。中的唯一幂等元。4、设设,是群，是群，f是是 G 到到 H 的同态，单位元的的同态，单位元的同态像是单位元，逆元的同态像也是逆元同态像是单位元，逆元的同态像也是逆元。定理：设设 是一个是一个 n 阶有限群，它的运算表中的每一阶有限群，它的运算表中的每一行（每一列）都是行（每一列）都是 G 中元素的一个全排列。中元素的一个全排列。