高一数学人教a版必修1第一章《集合与函数基本概念》达标检测.pdf

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1、人教 A 版高中数学第一章 集合与函数概念本章达标检测(满分:150 分;时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合 A=aN|-1a2,B=bZ|-2b0 且 a0 B.b=2a0 D.a,b 的符号不确定7.已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2)=()A.-1B.1C.-5D.58.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(1

2、0)9.如图所示,在直角梯形 ABCD 中,A=90,B=45,AB=5,AD=3,点 E 由点 B 沿折线 B-C-D 向点 D 移动,EMAB 于 M,ENAD 于 N,设 MB=x,矩形 AMEN 的面积为 y,那么 y 与 x 的函数关系图象大致是()10.若函数 f(x+1)的定义域为-1,15,则函数 g(x)=的定义域是()A.1,4B.(1,4C.1,D.(1,11.已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果对于0 xf(y),那么不等式 f(-x)+f(3-x)-2 的解集为()A.-4,0)B.-1,0)C.(-,0D.-1,4

3、12.已知函数 f(x)=的定义域是一切实数,则实数 m 的取值范围是()A.00 时,f(x)=-1.(1)用定义法证明 f(x)在(0,+)上是减函数;(2)当 x0 时,求函数 f(x)的解析式.20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a0),满足 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)的单调区间;(3)当 x-1,2时,求函数 f(x)的最大值和最小值.21.(本小题满分 12 分)设 a,bR,若函数 f(x)在定义域内的任意一个 x 都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数 f(x)的图

4、象关于点(a,b)对称;反之,若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数 f(x)的定义域内的任意一个 x 都满足 f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数 g(x)=.(1)证明:函数 g(x)的图象关于点(-1,5)对称;(2)已知函数 h(x)的图象关于点(1,2)对称,当 x0,1时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的 x10,2,总存在 x2,使得 h(x1)=g(x2)成立,求实数 m 的取值范围.22.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量 y(百件)与销售单价 x(元)之间的关系用下图的一折线表示,职工每人每月

5、工资为 1 000 元,该店还应支付的其他费用为每月 10 000 元.(1)把 y 表示为 x 的函数;(2)当销售价为每件 50 元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;(3)若该店只有 20 名职工,问销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?(注:利润=收入-支出).答案全解全析第一章 集合与函数概念本章达标检测一、选择题1.C A=aN|-1a2=0,1,2,B=bZ|-2b3=-2,-1,0,1,2,所以 AB=0,1,2.故选 C.2.A 因为 M=x|y=x2+1=R,N=y|y=x2+1=1,+),所以 MN=1,+),故选 A.3.A B 中函数非奇非

6、偶,C 中函数是奇函数,均不正确,A、D 中函数均为偶函数,A 中函数在(0,+)上递增,D 中函数在(0,+)上递减,因此 A 正确,故选 A.4.B 由分段函数可知 f(3)=f(2)-f(1),而 f(2)=f(1)-f(0),f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0)=-1,故选 B.5.C 由空集不是它本身的真子集知,错误;由 f(x)与 f(x+1)的值域相同知,错误;设 f(x)=0,且 xD,D 是关于原点对称的区间,则 f(x)既是奇函数又是偶函数,由于 D 有无数个,故 f(x)有无数个,正确;由 AB=B,得 AB,从而 AB=A,正确.故选

7、C.6.B 由已知可得,函数 y=ax2+bx+3 的图象开口向下,且图象的对称轴方程为 x=-1,所以所以 b=2a0.故选 B.7.D 令 y=g(x)=f(x)+x,f(2)=1,g(2)=f(2)+2=1+2=3.函数 g(x)=f(x)+x 是偶函数,g(-2)=3=f(-2)+(-2),解得 f(-2)=5.8.D 因为函数 y=f(x+8)为偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,所以 f(x)的图象关于直线 x=8 对称.又 f(x)在(8,+)上为减函数,所以 f(x)在(-,8)上为增函数,所以f(x)在x=8处取得最大值,并且f(6)f(7),f(6)f(10).故选 D.9

8、.C EMAB,B=45,EM=MB=x,AM=5-x.当点 E 在 BC 上运动时,即当 0 x3 时,y=x(5-x)=-+;当点 E 在 CD 上运动时,矩形 AMEN 即为矩形 AMED,此时 y=-3x+15,3x5.y 与 x 的函数关系为y=画出大致图象如选项 C 所示.故选 C.10.B 设 x+1=t,则 f(x+1)=f(t).f(x+1)的定义域为-1,15,0 x+116,即 0t16,y=f(t)的定义域为0,16,要使函数 g(x)=有意义,必须满足即解得 1x4,故选 B.11.B 令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),即 f(1)=0;令 x=,y=2,得

9、f(1)=f(2)+f,即f(2)=-1;令 x=y=2,得 f(4)=2f(2)=-2.又由 f(-x)+f(3-x)-2,可得 f(x2-3x)f(4),又因为函数 f(x)的定义域是(0,+),且对于 0 xf(y),所以即解得-1x0,符合题意;当 m0 时,由二次函数 y=mx2+mx+1 的图象上的点均不在 x 轴下方知:解得 0m4.综上所述,0m4,故选 D.二、填空题13.答案 f(x)=x2-1(x-1)解析 令 t=-1,得=t+1,且 t-1,因此 f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1(t-1).故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-1(x-1).14.

10、答案 4解析 由 AB=1,2,3知,3B,所以满足题意的集合 B 可以是3,1,3,2,3,1,2,3.共 4 个.15.答案-1解析 当 x0 时,f(x)=x(x+1)0.因为 f(a)=-2,所以 a0,又因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(a)=-f(-a)=-2,即f(-a)=-a(-a+1)=2,解得 a=-1 或 a=2(舍),所以 a=-1.16.答案 4解析 当 x时,02x1,g(x)=x+2x=0;当 x时,12x2m+3,即 m-2,符合题意;当 B时,要满足 BA,则-2m-.综上所述,当 AB=A 时,实数 m 的取值范围是(-,-2)=.18.解析(1)

11、因为函数 f(x)=是 R 上的偶函数,所以 f(-x)=f(x),即=对任意实数 x 恒成立,解得 m=0.(2)由(1)得 f(x)=,此函数在(-,0)上为增函数.证明:任取 x1,x2(-,0)且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=-=,因为 x1,x2(-,0),且 x10,x2+x10,即 f(x1)-f(x2)0,所以函数 f(x)=在(-,0)上单调递增.19.解析(1)证明:在(0,+)上任取 x1,x2,且 0 x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=.0 x10,x2-x10,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2),f(x)在(0,+)上是减函数.(2

12、)若 x0,f(-x)=-1,又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-1,即 f(x)=-1(x0).20.解析(1)由 f(0)=2,得 c=2,又由 f(x+1)-f(x)=2x-1,得 2ax+a+b=2x-1,故解得所以 f(x)=x2-2x+2.(2)由(1)得 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以其图象的对称轴方程为 x=1,且其图象的开口向上,所以 f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(-,1).(3)因为 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴 x=1 在区间-1,2内,所以 f(x)min=f(1)=1,又 f(-1)=5,

13、f(2)=2,所以 f(x)max=f(-1)=5.21.解析(1)证明:g(x)=,x(-,-1)(-1,+),a=-1,b=5,g(-2-x)=.g(x)+g(-2-x)=+=10,即对任意的 x(-,-1)(-1,+),都有 g(x)+g(-2-x)=10 成立.函数 g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(2)g(x)=5-,易知 g(x)在-,1 上单调递增,g(x)在 x-,1 时的值域为-1,4.记函数 y=h(x),x0,2的值域为 A.若对任意的 x10,2,总存在 x2,使得 h(x1)=g(x2)成立,则 A-1,4.x0,1时,h(x)=x2-mx+m+1,h(1)=2

14、,即函数 h(x)的图象过对称中心点(1,2).(i)当 0,即 m0 时,函数 h(x)在(0,1)上单调递增.由对称性知,h(x)在(1,2)上单调递增,函数 h(x)在(0,2)上单调递增.易知 h(0)=m+1,又 h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则 A=m+1,3-m.由 A-1,4,得解得-1m0.(ii)当0 1,即0m2时,函数h(x)在 0,上单调递减,在,1 上单调递增.由对称性,知 h(x)在 1,2-上单调递增,在 2-,2 上单调递减.函数 h(x)在 0,上单调递减,在,2-上单调递增,在 2-,2 上单调递减.结合对称性,知 A=h(2),h(0)或 A

15、=h,h 2-.0m2,h(0)=m+1(1,3).又 h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m(1,3).易知 h=-+m+1(1,2).又 h+h 2-=4,h 2-(2,3).当 0m2 时,A-1,4成立.(iii)当 1,即 m2 时,函数 h(x)在(0,1)上单调递减.由对称性,知 h(x)在(1,2)上单调递减.函数 h(x)在(0,2)上单调递减.易知 h(0)=m+1.又 h(0)+h(2)=4,h(2)=3-m,则 A=3-m,m+1.由 A-1,4,得解得 2m3.综上可知,实数 m 的取值范围为-1,3.22.解析(1)当40 x60 时,设AB 的方程为y=k1x+

16、b1,将 A,B 两点坐标代入方程得解得所以 AB 的方程为 y=-2x+140;当 60 x80 时,同理可得 BC 的方程为 y=-x+50.所以 y=(2)设该店有职工 m 名,当 x=50 时,该店总收入为 100(-2x+140)(x-40)=40 000(元),又该店的总支出为(1 000m+10 000)元,所以依题意得 40 000=1 000m+10 000,解得 m=30.所以此时该店有 30 名职工.(3)设月利润用 S 表示,若该店只有 20 名职工,则月利润S=当 40 x60 时,S=-200(x-55)2+15 000,所以当 x=55 时,S 取最大值 15 000 元;当 60 x80 时,S=-50(x-70)2+15 000,所以当 x=70 时,S 取最大值 15 000 元.故当 x=55 或 x=70 时,S 取最大值 15 000 元,即销售单价定为 55 或 70 元时,该专卖店月利润最大.