2024届高考数学一轮总复习单元质检卷十计数原理概率随机变量及其分布.docx

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1、单元质检卷十计数原理、概率、随机变量及其分布(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某省高考改革,实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物学四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A为“该同学选择政治和地理”,事件B为“该同学选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件2.(2022重庆三模)抛掷两枚质地均匀的骰子.在掷出的两枚

2、骰子点数之和为6的条件下,点数均为奇数的概率为()A.35B.12C.25D.233.(2022河北沧州二模)x-2x-15的展开式中的常数项为()A.-81B.-80C.80D.1614.袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,取出后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止.用X表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量X的数学期望E(X)是()A.115B.125C.135D.1455.一块试验田某种作物一株生长的果实个数x服从正态分布N(90,2),且P(xp2p10.记该棋手连胜两盘的概率为p,则()A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B

3、.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两

4、两互斥的事件10.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.至少有1个红球的概率为23D.2个球不都是红球的概率为1311.在2x-x6的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项为160B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为6412.(2022河北衡水高三检测)已知某商场一种商品的单件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验可得0a2,随机变量X的分布列为X0a2P12b16其中结论正确的是()A.b=13B.若该商场销售该商品5

5、件,其中3件销售利润为0的概率为516C.D(X)min=12D.当D(X)min最小时,E(X)=13三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(3x-1)6=a0+a1x+a6x6,则a1+a2+a6=.14.(2022山东菏泽二模)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验,其中天和核心舱安排2人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人,则甲、乙两人安排在同一个舱内的概率为.15.(2022广东汕头三模)某省2021年开始全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中,物理、历史这两门科目采用原始分计分;思想政治、地

6、理、化学、生物学这4门科目采用等级转换赋分,将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级,各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试,并对思想政治、地理、化学、生物学这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布N(76.3,64).若YN(,2),令=Y-,则N(0,1).请解决下面问题:若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分,试估计该划线分大约为分.(结果保留1位小数)附:若N(0,1),P(2.05)0.98.16.已知甲、乙两

7、所大学的笔试环节都设有三门考试科目,且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率分别为13,23,12,该考生报考乙大学,每门科目通过的概率均为12.设A为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过两门科目”,则事件A发生的概率为,设X为该考生通过甲大学的笔试环节科目数,则随机变量X的均值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)为了增进学生对党史的了解,某班级开展党史知识竞赛活动,现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计这50名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(

8、2)用分层随机抽样的方法从成绩在80,90),90,100两组学生中抽取5人进行培训,再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛,求这2人来自不同小组的概率.18.(12分)(2022山东枣庄一模)已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题,小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案,就做随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12,在他做完单项选择题

9、后,从卷面上看,在题答对的情况下,求他知道单项选择题正确答案的概率.(2)假设小明在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为12,选择两个选项的概率为13,选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求:P(X=0);X的分布列及均值.19.(12分)某学校组织某知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该

10、同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.20.(12分)某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色

11、互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及均值;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.21.(12分)在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层随机抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:表一:男生男生等级优秀合格尚待改进频数15x5表二:女生女生等级优秀合格尚待改进频数153y(1)求x,y的值;

12、(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为X,求随机变量X的分布列及均值;(3)由表中统计数据填写下列22列联表,依据=0.10的独立性检验,能否认为测评结果优秀与性别有关联.测评结果性别合计男生女生优秀非优秀合计45参考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:0.100.050.01x2.7063.8416.63522.(12分)(2022山东青岛模拟改编)为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:“盲拍”,即所有参与竞拍的人都是网络

13、报价,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加今年10月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的公告,统计了最近5个月参与竞拍的人数(见表):月份56789月份编号t12345竞拍人数y(万人)1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程:y=bt+a,并预测今年10月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加今年10月份车牌竞拍人员的报价进行了一个抽样调查

14、,得到如下的一份频数表:报价区间(万元)1,2)2,3)3,4)4,5)5,6)6,7频数206060302010求这200位竞拍人员报价X的平均数x和样本方差s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N(,2),且与2可分别由中所求的样本平均数x及s2估值.若今年10月份实际发放车牌数量是5 000,请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.参考公式及数据:经验回归方程y=bx+a,其中b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=ybx;i=15tiyi=41.6,1.71.3;若XN(,2),令Y=X-,则YN(0,1),

15、且P(Xa)=P(Ya-,P(Y1.11)=0.866 0,P(Y1.12)=0.868 6;方差s2=1ni=1n(xi-x)2=i=1n(xi-x)2pi.单元质检卷十计数原理、概率、随机变量及其分布1.A解析:事件A与事件B不能同时发生,是互斥事件.该同学还可以选择化学和政治,故事件A与事件B不是对立事件.故选A.2.A解析:设掷出的两枚骰子点数之和为6为事件A,点数均为奇数为事件B,则P(A)=536,P(AB)=336=112,则P(B|A)=P(AB)P(A)=35.3.A解析:x-2x-15=x-2x-1x-2x-1x-2x-1x-2x-1x-2x-1,所以展开式中的常数项为(-

16、1)5+C51C41(-2)(-1)3+C52C32(-2)2(-1)=-81.4.A解析:X的可能取值为2,3,P(X=3)=2514+2514=15,P(X=2)=1-P(X=3)=45,E(X)=452+153=115,故选A.5.B解析:xN(90,2),且P(x110)=0.2,P(90x110)=0.5-0.2=0.3,XB(10,0.3),X的方差为100.3(1-0.3)=2.1.故选B.6.A解析:分两种情况.若选2个国内媒体和1个国外媒体,有C62C31A22=90种不同的提问方式;若选2个国外媒体和1个国内媒体,有C61C32A33=108种不同的提问方式.根据分类加法计

17、数原理,共有90+108=198种不同的提问方式.故选A.7.B解析:将A,B,C分别记为第1,第2,第3个品牌,设事件Mi表示“取到的球是第i个品牌(i=1,2,3)”,事件N表示“取到的是一个合格品”,其中M1,M2,M3两两互斥,所以P(N)=P(M1N)+P(M2N)+P(M3N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.980.2+0.990.6+0.970.2=0.984,所以这只随机取出的球是合格品的概率为0.984.故选B.8.D解析:当该棋手在第二盘与甲比赛时,p=2p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=2p1p2+2p1p3-

18、4p1p2p3;当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=2p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3;当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=2p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.由p3p2p10,可知该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.9.BD解析:易知A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(B|A1)=511,故B正确;P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510511+210411+310411=922,故A不正确;事件B与事件A1不相互独立,故C不正确.故选BD.10.ABC解析:对于A,2个球都

19、是红球的概率为1312=16,故选项A正确;对于B,2个球中恰有1个红球的概率为131-12+1-1312=12,故选项B正确;对于C,至少有一个红球包括两个都是红球和恰有1个红球,结合选项A,B可知,至少有一个红球的概率为16+12=23,故选项C正确;对于D,2个球不都是红球的对立事件为2个球都是红球,所以2个球不都是红球的概率为1-16=56,故选项D不正确.故选ABC.11.BC解析:展开式的通项为Tr+1=C6r2x6-r(-x)r=26-r(-1)rC6rx2r-6.由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23(-1)3C63=-160,故A错误;展开式共有7项,所以第4项二项式系数

20、最大,故B正确;由通项公式可得r为偶数时,系数才有可能取到最大值,当r=2时,该项系数最大为240,故C正确;令x=1,得a0+a1+a2+a6=(2-1)6=1,所有项的系数和为1,故D错误.故选BC.12.ABC解析:由题意,12+b+16=1,解得b=13,故选项A正确;该商场销售该商品5件,其中3件销售利润为0的概率为C53123122=516,故选项B正确;随机变量X的期望值E(X)=012+13a+216=13(a+1),可知方差D(X)=0-13(a+1)212+a-13(a+1)213+2-13(a+1)216=29a2-a+52=29a-122+94,当a=12时,D(X)m

21、in=12,故选项C正确;当D(X)min=12时,E(X)=1312+1=12,故选项D错误.13.63解析:令x=0,可得a0=1.令x=1,可得a0+a1+a2+a6=(31-1)6=64,所以a1+a2+a6=64-1=63.14.16解析:从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱,剩下两人去剩下的两个舱位,则有C42A22=62=12种可能.要使得甲、乙在同一个舱内,由题意,甲、乙只能同时在天和核心舱,在这种安排下,剩下两人去剩下的两个舱位,则有A22=2种可能.所以甲、乙两人安排在同一个舱内的概率P=212=16.15.59.9解析:因为=Y-,由P(2.05)0.98可得

22、P(Y92.7)0.98,从而P(Y92.7)0.02.又=76.3,根据正态分布的对称性可知P(Y59.9)0.02,由题意可知划线分大约为59.9分.16.1232解析:由题知,事件A为该考生报考乙大学在笔试环节通过两门科目或通过三门科目,所以P(A)=C3212212+C33123=12.由题意可得,X的值可能为0,1,2,3.P(X=0)=231312=19;P(X=1)=131312+232312+231312=718;P(X=2)=132312+131312+232312=718;P(X=3)=132312=19.即随机变量X的均值为E(X)=019+1718+2718+319=3

23、2.17.解(1)根据频率分布直方图得(0.004+0.006+a+0.030+0.024+0.016)10=1,解得a=0.020.平均成绩为(450.004+550.006+650.020+750.030+850.024+950.016)10=76.2.(2)易知来自80,90)小组的有3人,记为a1,a2,a3,来自90,100小组的有2人,记为b1,b2,从5人中随机抽取2人,样本空间包含的样本点为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10个,这2人来自不同组的样

24、本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个,所以这2人来自不同小组的概率为P=610=35.18.解 (1)记事件A为“题目答对了”,事件B为“知道正确答案”,则P(A|B)=1,P(A|B)=14,P(B)=P(B)=12.由全概率公式:P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=121+1214=58,所求概率为P(B|A)=P(BA)P(A)=P(B)P(A|B)P(A)=12158=45.(2)设事件Ai表示小明选择了i个选项,i=1,2,3,C表示选到的选项都是正确的.则P(X=2)=P(A1C)=P(A1)

25、P(C|A1)=1212=14,P(X=5)=P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=131C42=118,P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=2536.P(X=0)=2536.随机变量X的分布列为X025P253614118E(X)=02536+214+5118=79.19.解 (1)X=0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.2=15,P(X=20)=0.8(1-0.6)=4525=825,P(X=100)=0.80.6=4535=1225.所以X的分布列为X020100P158251225(2)若小明先回答A类问题,均值为E(X).则E(X)=015+20825+100

26、1225=2725.若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,Y=0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4=25,P(Y=80)=0.6(1-0.8)=3515=325,P(Y=100)=0.60.8=3545=1225.E(Y)=025+80325+1001225=2885.因为E(X)E(Y),所以小明应选择先回答B类问题.20.解 (1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.P(X=300)=C33C63=120,P(X=200)=C31C21C11C63=620=310,P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=1320,

27、或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=1320所以奖金数X的概率分布列为X100200300P1320310120奖金数X的均值E(X)=1001320+200310+300120=140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y,则YB3,310,所以P(Y=k)=C3k310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A,则P(A)=P(Y=2)+P(Y=3)=C323102710+C333103=27125.则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27125.21.解 (1)设从高一年级男生中抽取m人,则m500=4

28、5500+400,解得m=25,则从女生中抽取20人,所以x=25-15-5=5,y=20-15-3=2.(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人,其中女生有2人,则X的所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)=C53C73=1035=27,P(X=1)=C52C21C73=2035=47,P(X=2)=C51C22C73=535=17.则随机变量X的分布列为X012P274717所以X的均值E(X)=270+471+172=67.(3)22列联表如下:测评结果男生女生合计优秀151530非优秀10515合计252045零假设为H0:测评结果优秀与性别无关联.2=45(155-1510)23

29、0152520=451525230152520=98=1.1252.706=x0.10.依据=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可认为H0成立,即认为测评结果优秀与性别无关联.22.解 (1)t=15(1+2+3+4+5)=3,y=15(1.7+2.1+2.5+2.8+3.4)=2.5,i=15ti2=1+4+9+16+25=55,i=15tiyi=1.7+4.2+7.5+11.2+17=41.6,b=41.6-532.555-532=0.41,a=2.5-0.413=1.27.故y关于t的经验回归方程为y=0.41t+1.27.由已知今年10月份对应的t=6,y=0.41

30、6+1.27=3.73,故预测今年10月份参与竞拍的人数为3.73万.(2)依题意可得这200人报价的平均值为x=1.50.1+2.50.3+3.50.3+4.50.15+5.50.1+6.50.05=3.5.这200人报价的方差为s2=(1.5-3.5)20.1+(2.5-3.5)20.3+(3.5-3.5)20.3+(4.5-3.5)20.15+(5.5-3.5)20.1+(6.5-3.5)20.05=1.7.今年10月份实际发放车牌数量是5 000,设预测竞拍的最低成交价为a万元.根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数占总人数的比例为500037300100%13.40%.根据假设报价X可视为服从正态分布N(,2),=3.5,2=1.7,=1.71.3,令Y=X-=X-3.51.3,由P(Y1.11)=0.866 0,得1-P(Y1.11)=0.134 0,故P(Xa)=PYa-3.51.3=1.11=0.866 0.由a-3.51.3=1.11,解得a=4.943.故预测竞拍的最低成交价为4.943万元.