2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量的分布列及数字特征.docx

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1、第六节离散型随机变量的分布列及数字特征考试要求：1掌握离散型随机变量分布列的性质2会利用随机变量的期望方差解决实际问题一、教材概念结论性质重现1随机变量的有关概念(1)随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量(1)离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的(2)若X是随机变量，则YaXb(a，b为常数)也是随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X取每一个值x

2、i的概率P(Xxi)pi，i1，2，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1，2，n；p1p2pn1判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi0，i1，2，n及p1p2pn1检验3离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xnPp1p2pn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xnpni=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望它反映了随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X)i=1nxiEX2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称DX为随机变量X的标准差，记为(X)随机变量的方差和标准差

3、都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态(3)E(X)x1p1x2p2xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加4均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b(a，b为常数)(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)5两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，那么E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np

4、，D(X)np(1p)1若X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)2均值与方差的关系：D(X)E(X2)(E(X)2二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“”(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1()(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(5)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是

5、一回事()2随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m则P(X2)()A0.1B0.2 C0.3D0.4C解析：由分布列的性质可得，0.1m0.32m1，可得m0.2，所以P(X2)P(X1)P(X2)0.10.20.33若随机变量XB3，13，则下列说法错误的是()AE(X)1BD(X)23CE(2X)2DD(2X)43D解析：因为随机变量XB3，13，对于A，E(X)3131故选项A正确对于B，D(X)31311323故选项B正确对于C，E(2X)2E(X)212故选项C正确对于D，D(2X)4D(X)42383故选项D错误4随机变量X的分布列如表，则E(5X4)等于()X

6、024P0.30.20.5A16B11 C2.2D2.3A解析：由表格可得E(X)00.320.240.52.4，故E(5X4)5E(X)452.44165已知随机变量X的分布如表，则D(X)_X01Pa2a29解析：由随机变量X的分布列得：0a1， 02a1，a+2a=1，解得a13，所以E(X)01312323D(X)023213 +12322329考点1离散型随机变量的分布列及性质基础性已知随机变量X的分布列如下：X123P0.20.5m若随机变量3X1，则E()为()A4.2 B18.9 C5.3 D随m变化而变化C解析：因为0.20.5m1，所以m0.3，所以E(X)10.220.5

7、30.32.1又3X1，所以E()3E(X)132.115.3故选C离散型随机变量的分布列的性质的应用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确1已知随机变量的分布列如下，则E()的最大值是()10aP1412a14bA58B1564C14D1954B解析：由题意可知：1412a14b1，即ab0，E()14a14b1414bb2b18215641564故选B2某射手射击所得环数的分布列下表：78910Px0.10.3y已知的数学期望E()

8、8.9，则y的值为()A0.2B0.5C0.4D0.3C解析：因为的数学期望E()8.9，所以由射手射击所得环数的分布列，得x+0.1+0.3+y=1， 7x+0.8+2.7+10y=8.9，解得x=0.2，y=0.4故选C考点2离散型随机变量的均值与方差基础性某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确

9、回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P(X0)10.80.2，P(X20)0.8(10.6)0.32，P(X100)0.80.60.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)小明应选择先回答B类问题理由如下：由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)00.2200.321000.4854.4，若小明先回答B类问

10、题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y0)10.60.4，P(Y80)0.6(10.8)0.12，P(Y100)0.60.80.48，则Y的期望为E(Y)00.4800.121000.4857.6因为E(Y)E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题求离散型随机变量的均值、方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值(2)求X的每个值的概率(3)写出X的分布列(4)由均值定义求出E(X)，D(X)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超

11、过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()、方差D()解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0元、40元、80元两人都付0元的概率为p11416124；两人都付40元的概率为p2122313；两人都付80元的概率为p311412116231416124所以，

12、两人所付费用相同的概率pp1p2p312413124512(2)的可能取值为0，40，80，120，160，且P(0)1416124，P(40)1423121614，P(80)141612231614512，P(120)1216142314，P(160)1416124，所以的分布列为04080120160P1241451214124E()01244014805121201416012480，D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003考点3均值与方差在实际问题中的应用综合性为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测

13、法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现有100人，已知其中2人感染病毒(1)若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)解：(1)若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，因此一共需要检查20次由题意可得X20，30P(X

14、20)111，P(X30)1011可得分布列：X2030P1111011E(X)2011130101132011(2)由题意可得：Y25，30P(Y25)20C22C983C1005499，P(Y30)9599可得分布列：Y2530P4999599所以E(Y)254993095992 95099因为2 950992 8809932011所以E(X)E(Y)利用期望与方差进行决策的方法(1)若我们比较两个随机变量的差别时，可先求随机变量1，2的期望，当E(1)E(2)时，需要用D(1)，D(2)来进一步比较这两个随机变量的偏离程度，从平均水平和离散程度两个方面进行比较(2)若我们希望比较稳定时，

15、应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近(2022揭阳模拟)小田开小汽车上班的道路A要经过5个红绿灯路口，若小田到达每一个路口是相互独立的，到达每一个路口遇到红灯的概率都为25，遇到绿灯的概率都为35(1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为2分钟，求小田从出门到办公室的时间的平均值；(2)小田骑电动车上班的道路B只要经过3个红绿灯路口(只有红灯或绿灯)，随机到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为12，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为23，求小田遇到红灯个

16、数的平均值；(3)若小田骑电动车走道路B，从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为5分钟从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？解：(1)设小田开车遇到红灯的个数为，则B5，25，设小田开车从出门到办公室的时间为X，则X52415，平均值E(X)18E()1852520(2)设小田骑车遇到红灯的个数为，则可能为0，1，2，3，P(0)P(绿绿绿)12232329，P(1)121323121313122313518，P(2)122313121313121323518，P(3)12232329，所以E()

17、02915182518329271832(3)设小田骑车从出门到办公室的时间为Y，则Y42514，平均值E(Y)18E()19.5E(X)，所以小田上班骑电动车较好课时质量评价(六十一)A组全考点巩固练1(2023聊城模拟)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数D取到的球的个数C解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，22已知某一随机变量的分布列如下表所示，若E()6.3，则a的值为()a79Pb0.10.4A4B5C6D7A解析：因为b0.10.41，所

18、以b0.5所以E()0.5a70.190.46.3，所以a43(2022东阳模拟)已知随机变量X，Y满足：XB(2，p)，Y2X1，且P(X1)59，则D(Y)()A49B73C169D179C解析：随机变量X满足：XB(2，p)，且P(X1)59，所以P(X0)1P(X1)C20(1p)249，解得p13，所以XB2，13，所以D(X)21311349因为Y2X1，D(Y)22D(X)169故选C4从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X已知E(X)3，则D(X)()A85B65 C45D25B解析：由题意可得，XB5，3m+3又E

19、(X)53m+33，所以m2，则XB5，35，故D(X)535135655(多选题)随机变量的分布列是：123Pab16若E()53，随机变量的方差为D()，则下列结论正确的有()Aa12，b13Ba13，b12CD()59DD()1918AC解析：由题意得a+b+16=1， 53=a+2b+316，所以a=12，b=13，D()153212 +253213 +35321659，故选AC6签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A5B5.25 C5.8D4.6B解析：由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X3)1C6

20、3120，P(X4)C32C63320，P(X5)C42C63310，P(X6)C52C6312由数学期望的定义可求得E(X)3120432053106125.257某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p_0.6解析：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布，则D(X)10p(1p)2.4，解得p0.4或p0.6，又P(X4)P(X6)，即C104p41p6C106p6(1p)4，化简得(1p)2p2，解得p12，所以p0.68某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在

21、第一个十字路口遇到红灯的概率为12若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为13；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为23记他在上学路上遇到红灯的次数为，则P(0)_，的数学期望为_161解析：由题意可知，P(0)112123121316的可能取值为0，1，2，所以P(0)16，P(1)1223+1122323，P(2)121316，所以的数学期望为E()01612321619某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数

22、X的概率分布列与数学期望E(X)解：(1)所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的情况有C4222种，从而恰有2人申请A大学的概率为C422234827(2)由题意可知，随机变量的可能取值为1，2，3，则P(X1)334127，P(X2)C43A32+C42A322341427，P(X3)C42A333449所以随机变量X的分布列为X123P127142749E(X)112721427349652710从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2

23、)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X0)11211311414，P(X1)12113114+11213114+112113141124，P(X2)11213141211314121311414，P(X3)121314124所以随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)0141112421431241312(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)

24、1411241124141148所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148B组新高考培优练11(2022重庆模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析()A不更换设备B更换为A设备C更换为B设备D更换为A或B设备均可C解析：设更换为A品牌设备使用年限为X，则E(X)20.430.340.250.1

25、3年，更换为A品牌设备年均收益为310060240万元；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则E(Y)20.130.340.450.23.7年，更换为B品牌设备年均收益为3.710090280万元所以更换为B品牌设备12一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X4)的值为()A715B815C730D830A解析：因为从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X4，即旧球的个数增加了2个，所以取出的3个球中必有2个新球，即取出的3个球必为1个旧球2个新球，所以P(X4)C21C8

26、2C10371513(2022宁波二模)设0a1，随机变量X的分布列是：X01a1a2P14bc14则当b在0，12内增大时，()AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先减小再增大DD(X)先增大再减小D解：0a1，由随机变量X的分布列，知：14bc141，所以bc12，E(X)014(1a)b(1a)c214bab(1a)12b1212aba2，E(X2)014(1a)2b(1a)2c414(1a)2b(1a)212b1112(1+a)24ab，所以D(X)E(X2)(E(X)24a2b22a2b14a212a22b12212a212，所以当b在0，12内增大时，D(X)先增大再减小14某商

27、场举行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形状、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则奖励10元；若只有1个黄球则奖励3元，其余情况都无奖励则每次抽奖所得奖励的数学期望是_元3415解析：设一次抽奖所得奖励是X元，随机变量X的可能取值为0，3，10，则P(X0)C42C62615，P(X3)C41C21C62815，P(X10)C22C62115，所以E(X)0615381510115341515在1，2，3，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是_(用数字作答)，记为这3个数中两数相邻

28、的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2)，则E(21)_102173解析：(1)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)C41C52C931021(2)随机变量的取值为0，1，2，2的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能，1的情况：12(49)，89(16)，有6212种；23(59)，34(1，69)，78(15)，有5630种；总共42种，0的情况：C9374235种，故P(0)35C93512，P(1)42C9312，P(2)7C93112，所以的分布列为012P51212112所以的数学期望为E()

29、0512112211223所以E(21)22317316甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110(1)求n的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；(3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和E()解：(1)Cn2Cn+32nn1n+3n+2110，解得n2或n13(舍去)(2)记“一个标号是1”为事件A，“另一个标号也是1”为事件B，所以P(B|A)PABPAC22C52C3217(3)0，1，2，3，

30、4，P(0)1515125，P(1)15252515425，P(2)152525252515825，P(3)25252525825，P(4)2525425，所以随机变量的分布列为01234P125425825825425E()012514252825382544252.417在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分、20分、20分竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1，0.5，0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2，0.4，0.4，且回答各题时

31、相互之间没有影响(1)求甲通过测试的概率；(2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望；(3)请根据测试结果来分析，甲、乙两人谁通过测试的概率更大？解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X为40或50，P(X40)0.90.50.50.225，P(X50)0.10.50.10.50.50.075，所以甲通过测试的概率PP(X40)P(X50)0.2250.0750.3(2)Y的可能取值为0，20，30，40，50P(Y0)0.80.60.60.288，P(Y20)0.80.40.60.80.60.40.384，P(Y30)0.20.60.60.072，P(Y40)0.80.40.40.128，P(Y50)0.20.60.40.20.40.128Y的分布列为Y020304050P0.2880.3840.0720.1280.128则E(Y)00.288200.384300.072400.128500.12821.36(3)甲通过测试的概率更大理由如下：乙通过测试的概率为PP(Y40)P(Y50)0.1280.1280.256，甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率