2024版高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时规范练43椭圆.docx

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1、课时规范练43基础巩固组1.(2022山东日照二模)已知曲线C:x2a+y2a-1=1,则“a0”是“曲线C是椭圆”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:若曲线C:x2a+y2a-1=1表示椭圆,则a0,a-10,解得a1,故“a0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.2.(2022河北秦皇岛二模)椭圆C:x2m+2+y2m=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点.若PF1F2的周长为6+22,则椭圆C的离心率为()A.26B.23C.33D.36答案:B解析:因为c2=m+2-m=2,所以c=2.因为PF1F2的周长为6+22,

2、所以2a+2c=6+22,所以2a=6,所以a=3.所以椭圆C的离心率为23.3.(2022湖北武汉二模)若椭圆x2a2+y2=1(a0)的离心率为22,则a的值为()A.2B.12C.2或22D.2或12答案:C解析:当a21,即a1时,则a2-1a2=222,解得a=2;当a21,即0ab0)的左焦点F(-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,C,F是线段AB的三等分点,则该椭圆的标准方程是()A.x26+y25=1B.x25+y24=1C.x23+y22=1D.x24+y23=1答案:B解析:不妨设A(xA,yA)在第一象限,由椭圆的左焦点F(-1,0),C,F是线段

3、AB的三等分点,可知C为AF的中点,F为BC的中点,所以xA=1,所以1a2+yA2b2=1,则yA=b2a,即A1,b2a,所以C0,b22a,B-2,-b22a.将点B的坐标代入椭圆方程得4a2+b44a2b2=1,即4a2+b24a2=1.又a2-b2=1,所以a2=5,b2=4.所以椭圆的标准方程是x25+y24=1.6.(2023江苏泰州模拟)我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球,并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为e.设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r

4、,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为()A.(1+e)r1-e+eR1-eB.(1+e)r1-e+2eR1-eC.(1-e)r1+e+eR1+eD.(1-e)r1+e+2eR1+e答案:B解析:椭圆的离心率e=ca(0,1),由题意,r=a-c-R,则r=a-ea-R,得a=r+R1-e.设“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为n,则n=a+c-R=a+ea-R=r+R1-e(1+e)-R=(1+e)r1-e+2eR1-e.7.(多选)已知点P是椭圆x249+y245=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=116与圆(x-2)2+y2=116上的动点,则()A.|PM|+|PN|的最

5、小值为272B.|PM|+|PN|的最小值为252C.|PM|+|PN|的最大值为252D.|PM|+|PN|的最大值为292答案:AD解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=116与圆(x-2)2+y2=116的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),且A,B是椭圆x249+y245=1的两个焦点,两圆的半径均为14,所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+214=2a+12=249+12=292,|PM|+|PN|的最小值为|PA|+|PB|-214=2a-12=24912=272.故选AD.8.(2022广东佛山二模)若椭圆x2k-1+y23-k=1的焦点在y轴上,则实数k的取

6、值范围是.答案:(1,2)解析:因为椭圆x2k-1+y23-k=1的焦点在y轴上,所以3-kk-1,3-k0,k-10,解得1kb0)上,若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F,则E的离心率是.答案:5-12解析:如图,不妨设AB经过右焦点F,由对称性可得CD经过另一个焦点,则|AD|=2c.又由c2a2+y2b2=1,解得y=b2a,则|AB|=2b2a.则2b2a=2c,即b2=ac=a2-c2,整理得ca2+ca-1=0,解得ca=-152.又离心率e(0,1),则离心率为5-12.11.(2022广东佛山三模)已知椭圆C:x225+y216=1,F1,F2为C的左、右焦点,P是椭圆

7、上的动点,则F1PF2内切圆半径的最大值为.答案:32解析:C:x225+y216=1,则a=5,b=4,c=3,F1PF2的周长LF1PF2=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.F1PF2内切圆半径r=2SF1PF2LF1PF2,当F1PF2内切圆半径最大时,SF1PF2最大,显然当P为短轴顶点时SF1PF2最大,此时F1PF2的面积为12b2c=bc=12,则rmax=32.综合提升组12.(2022辽宁沈阳三模)已知椭圆C:x2+4y2=m(m0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上一点,若PF1PF2的最小值为-1,则PF1PF2的最大值为()A.4B.2C.1

8、4D.12答案:D解析:设P(x0,y0),令F1-3m2,0,F23m2,0,PF1=-3m2-x0,-y0,PF2=3m2-x0,-y0,PF1PF2=-3m4+x02+y02=-3m4+14(4x02+m-x02)=3x02412m.-mx0m,当x0=0时,PF1PF2取最小值,最小值为-12m=-1,解得m=2.当x0=m时,PF1PF2取最大值,最大值为342-1=12.13.(多选)(2022山东济宁二模)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为A1,A2,P是C上异于A1,A2的一点,则下列结论正确的是()A.若C的离心率为12,

9、则直线PA1与PA2的斜率之积为-43B.若PF1PF2,则PF1F2的面积为b2C.若C上存在四个点P使得PF1PF2,则C的离心率的取值范围是0,22D.若|PF1|2b恒成立,则C的离心率的取值范围是0,35答案:BD解析:对于A,设P(x0,y0)(x00),则x02a2+y02b2=1,e=ca=12,a=2c,a2=43b2,x0243b2+y02b2=1,3x02+4y02=4b2,kPA1kPA2=y0-bx0y0+bx0=y02-b2x02=b2-34x02-b2x02=-34,故A错误;对于B,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c

10、2,|PF1|PF2|=2b2,则PF1F2的面积为12|PF1|PF2|=b2,故B正确;对于C,若C上存在四个点P使得PF1PF2,即C上存在四个点P使得PF1F2的面积为b2,则122cbb2,cb,c2a2-c2,e22,1,故C错误;对于D,若|PF1|2b恒成立,则a+c2b,a2+c2+2ac4b2=4(a2-c2),5e2+2e-30,0b10)和C2:x2a22+y2b22=1有相同的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,B为椭圆C1的上顶点,F2PF1B,且垂足P在椭圆C2上,则e1e2的最大值是.答案:1+22解析:由图知e1=ca1=|OF1|BF1|,e2=ca2=

11、2c2a2=2|OF1|PF1|+|PF2|,则e1e2=|PF1|+|PF2|2|BF1|,设PF1F2=,则|PF1|+|PF2|=2c(sin+cos),|BF1|=ccos,则e1e2=(sin+cos)cos=22sin2+4+121+22.创新应用组15.(多选)(2022山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是航天员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上

12、半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为42B.线段AB长度的取值范围是4,2+22C.ABF面积的最小值是4D.AFG的周长为4+42答案:ABD解析:由题知,椭圆中的几何量b=c=2,得a=22,则2a=42,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2|OA|22,所以4|AB|2+22,故B正确;记AOF=,则SABF=SAOF+SOBF=12|OA|OF|sin+12|OB|OF|sin(-)=|OA|sin+2sin=(|OA|+2)sin,取=6,则SABF=1+12|OA|1+12224,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=42,所以AFG的周长L=|FG|+42=4+42,故D正确.故选ABD.