2024届新高考数学小题微点特训11 函数模型及其应用含答案.pdf

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1、 函数模型及其应用 考点对点练 保分必拿 考点一利用图象刻画实际问题某罐头加工厂库存芒果m(k g),今年又购进n(k g)新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐头被加工为罐头的新芒果最多为f(k g),最少为f(k g),则下列选项中最能准确描述f,f分别与n的关系的是()广州市综合检测 如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数hf(t)的图象大致是()列车从A地出发直达 k m外的B地,途中要经过离A地 k m的C地,假设列车匀速前进,h后从A地到达B地,则列车与C地距离y(单

2、位:k m)与行驶时间t(单位;h)的函数图象为()考点二已知函数模型求解实际问题在一次为期 天的大型运动会期间,每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛,每辆大巴车可乘坐 人,已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)t,t,tZ,t t,t,tZ,为了保证赛会期间运动员都能按时参赛,主办方应至少准备大巴车的数量是()A B C D 中国高速铁路技术世界领先,高速列车运行时不仅速度比普通列车快而且噪声更小我们用声强I(单位:W/m)表示声音在传播途径中每平方米面积上声能流密度,声强级L(单位:d B)与声强I的函数关系式为:L l gI ()若 普 通 列 车 的 声

3、强 级 是 d B,高速列车的声强级是 d B,则普通列车的声强是高速列车声强的()A 倍B 倍C 倍D 倍把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是,空气的温度是那么tm i n后物体的温度(单位:)可由公式()ek t求得,其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数现有 的物体,放在 的空气中冷却,m i n以后物体的温度是,则k的值约为(l n,l n )()A B C D (昆明模拟)某种物质在时刻t(m i n)的浓度M(m g/L)与t的函数关系为M(t)a rt(a,r为常数)在tm i n和tm i n测得该物质的浓度分别为 m g/L和 m g/L,那么在tm i n时

4、,该物质的浓度为m g/L;若该 物 质 的浓 度 小 于 m g/L,则最小的整数t的值为 考点三建立数学模型解决实际问题某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有处阀门(AE)发生有害气体泄漏,每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等,约为 立方米阀门的修复工作在不停产的情况下实施由于各阀门所处的位置不同,因此修复所需的 时间不同,且检修时必须遵从一定的顺序关系,具体情况如下表:泄露阀门ABCDE修复时间(小时)需先修复好的阀门CB微点特训数学(新)微 点 特 训 1 1 函 数 模 型 及 其 应 用在只有一个阀门修复设备的情况下,合理安排修复顺序,泄露的有害气体总量最小为()A 立方

5、米B 立方米C 立方米D 立方米近些年,我国在治理生态环境方面推出了很多政策,习总书记明确提出大力推进生态文明建设,努力建设美丽中国!某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染,因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置,废水每通过一次该装置,可回收 的该重金属若当废水中该重金属含量低于最原始的时,至少需要经过该装置的次数为()(参考数据:l g )A B C D 某校甲、乙两食堂某年月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同已知本年月份两食堂的营业额又相等,则本年月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲

6、、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害 道路交通安全法的违法行为,将受到法律处罚检测标准:“饮酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 m g/m l,小于 m g/m l的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于 m g/m l的驾驶行为”据统计,停止饮酒后,血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低 某 人 饮 酒 后 测 得 血 液 中 的 酒 精 含 量 为 m g/m l,若经过n(nN)小时,该人血液中的酒精含量小于 m g/m l,则n的最小值为(参考数据:l g )()A B C D 李明自主创业,在网

7、上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为 元/盒、元/盒、元/盒、元/盒为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到 元,顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的 当x 时,顾客一次购买草莓和西瓜各盒,需要支付元;在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 素养提升练 高分必抢一、单项选择题某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨 ),又经历了n次跌停(每次下跌 ),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利B略有亏损C没有盈利也没有

8、亏损D无法判断盈亏情况某房地产公司计划出租 套相同的公寓房当每套房月租金定为 元时,这 套公寓能全租出去;当月租金每增加 元时(设月租金均为 元的整数倍),就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费 元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A 元B 元C 元D 元某地一年的气温Q(t)(单位:)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为 ,令C(t)表示时间段,t 的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()在今年的全国政协、人大两会上,代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题,国家

9、决定对某药品分两次降价,假设平均每次降价的百分率为x已知该药品的原价是m元,降价后的价格是y元,则y与x的函数关系是()Aym(x)Bym(x)Cym(x)Dym(x)某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:m g/L)与时间t(单位:h)间的关系式为PPek t,其中P,k为正常数如果一定量的废气在前 h的过滤过程中污染物被消除了,微点特训数学(新)那么污染物减少到最初含量的 还需要经过多长时间?(结果四舍五入取整数,参考数据:l n ,l n )()A nB hC hD h当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时透光度T的数学表达式为l gTk c l,

10、其中系数k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关,c为吸光物质的浓度(单位:m o l/L),l为吸收介质的厚度(单位:c m)已知吸光物质及入射光线保持恒定,当吸收介质的厚度为 c m时,透光度为,则当吸收介质的厚度增加 c m时,透光度为原来的()ABC D 高压 k V输电线路电压损失估算口诀:架空铝线十千伏,电压损失百分数;输距电流积六折,再被导线截面除;输距千米电流安,截面毫方记清楚其意义为“对于高压 k V的架空铝线,若输电线路的输距为xk m,电流为yA,导线截面为zmm,则电压损失百分数U x yz”据此可知,对于一条长度为 k m,高压为 k V的输电线路,若当导线截面为 mm

11、,电流为 A时的电压损失百分数为U,当导线截面为 mm,电流为 A时的电压损失百分数为U,则UU()A B C D 著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微数形结合百般好,隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的L O G O,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是()Af(x)s i n xxxBf(x)c o sxxxCf(x)c o s x|xx|Df(x)s i n x|xx|二、多项选择题下面对函数f(x)l o gx

12、与g(x)()x在区间(,)上的衰减情况的说法中错误的有()Af(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快Bf(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢Cf(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢Df(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快 某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过 ,而这种溶液最初的杂质含量为,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:l g ,l g )()A B C D 三、填空题 冈珀茨模型(ykabt)是由冈珀茨(G o m p e r t z)提出,可作为动物种群数量变化

13、的模型,并用于描述种群的消亡规律已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:yke e t(当t时,表示 年初的种群数量),若m(mN)年后,该物种的种群数量将不足 年初种群数量的一半,则m的最小值为(l n )声强级L(单位:d B)由公式LI l gI ()给出,其中I为声强(单位:W/m)()平时常人交谈时的声强约为 W/m,则其声强级为d B;()一般正常人听觉能忍受的最高声强为W/m,能听到的最低声强为 W/m,则正常人听觉的声强级范围为d B 真题体验练 实战抢分(全国甲卷,)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据

14、,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L l gV已知某同学视力的五分记录法的数据为 ,则其视力的小数记录法的数据约为()()A B C D (新高考卷,)函数f(x)xx的图象在点(,f()处的切线方程为()AyxByxCyxDyx微点特训数学(新)(,(,函数yx的零点为 当a时,函数yf(x)在区间(,a)上无零点,则函数yf(x)在区间a,)上有零点a,可得aa,解得a,此时a;当a时,函数yf(x)在区间(,a)上有零点,则函数yf(x)在区间a,)上无零点,则aa,解得a,此时a;当a时,函数yf(x)在区间(,a)上的零点为,不合乎题意综上所述,实数a的取值范围是(,(,(

15、,由题意,函数g(x)f(x),且函数yf(x)g(x)恰有个不同的零点,即f(x)恰有个实数根,当x 时,由a|x|,即|x|a ,解得xa或xa,所以aaaa,解得a;当x时,由(xa),解得xa或xa,所以aa,解得a,综上可得:实数a的取值范围为(,真题体验练 实战抢分 D 本题主要考查函数与方程的应用,考查数形结合思想,转化与化归思想,注意到g(),所以要使g(x)恰有个零点,只需方程|k x|f(x)|x|恰有个实根即可,令h(x)f(x)|x|,即y|k x|与h(x)f(x)|x|的图象有个不同交点因为h(x)f(x)|x|x,x,x,当k时,此时y,如图,y与h(x)f(x)

16、|x|有个交点,不满足题意;当k时,如图,此时y|k x|与h(x)f(x)|x|恒有个不同交点,满足题意;当k时,如图,当yk x与yx相切时,联立方程得xk x,令得k,解得k(负值舍去),所以k 综上,k的取值范围为(,)(,)零点问题,转化成两个函数的交点来分析令f(x)|l gx|k x,可 转 化 成 两 个 函 数y|l gx|,yk x的交点问题对于,当k时,|l gx|,两个交点,正确;对于,存在k,使y|l gx|与yk x相切,正确;对于,若k,y|l gx|与yk x最多有个交点,错误;对于,当k时,过点(,)存在函数g(x)l gx(x)的切线,此时共有两个交点,当直

17、线斜率稍微小于相切 时 的 斜 率 时,就 会 有个 交 点,故正 确填微点特训 函数模型及其应用考点对点练 保分必拿 A 要使得被加工为罐头的新芒果最少,尽量使用库存芒果,即当mnm,nm时,f,当nm时,fnmmnm,对照图象舍去C,D;要使得被加工为罐头的新芒果最多,则尽量使用新芒果,即当mnn,nm时fmn,当mnn,nm时fn,因为mm,所以A符合题意 B 水位由高变低,排除C、D半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故选B C列 车 匀 速 前 进列 车 行 驶 速 度v k m/h,列车 h h后到达C地,此时距离C地 k m,即函数图象经过点(,)由此可排除A,B,D

18、,知C正确故选C D 当t时,函数为一次函数,单调递增,当t时取得最大值,即 当t 时,函数为开口向下的二次函数,其对称轴为t,由于t为整数,故当t 时取得最大值,即 ,故选D B 由题意,l gI普 (),l gI高 (),则 l gI普 ()l gI高 ()l gI普I高,即 l gI普I高,所以I普I高,即 普 通 列 车 的 声 强 是 高 速 列 车 声 强 的 倍 A 由题意可知:()ek t,当,t时,代入公式得:()ek即ek ,则k l n l n l n 故选:A 根据条件:a r ,a r ;所以a ,r;所以M(t)()t;所以M()();由 ()t 得:()t();所

19、以l g()t l g();所以tl g();所以tl g(l g);所 以t(l g),将l g 代入得:t,解得t ;所以最小的整数t的值是 C 由表知,根据需先修复好的阀门的要求,可确定A,D顺序无要求,其中三个阀门的先后顺序必须是C,B,E,要使泄露的有害气体总量最小,修复时间长的因尽量靠后,故修复顺序为C,B,E,D,A,则C,B,E,D,A各阀门泄露有害气体的时间分别为,小时,泄露有害气体的时间共 小时,故泄露的有害气体总量最小为 立方米 D 设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过x次该装置过滤后,该重金属含量为a()xa()x,根据 题 意 知a()x a,即()x ,两边取常

20、用对数得xl g l g l gl g l g 所以x取最小整数为 故选D 微点特训数学(新)A设甲、乙两食堂月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得mam(x),则月份甲食堂的营业额yma,乙食堂的营业额ym(x)m(ma),因为yy(ma)m(ma)a,所以yy,故本年月份甲食堂的营业额较高 B 经过n(nN)小时,该人血液中的酒精含量为 nm g/m l,由题意得,n,即 n,解得:n l o g l g l g l gl gl g l g ,所以n的最小值为故选:B 价格为 元,达到 元,少付 元,所以需支付 元 设促销前总价为

21、a元,由题意知,当a 时,x;当a 时,李明得到金额l(x)(ax)a,x ,即xa恒成立,又a最小值为 ,所以x最大值为 素养提升练 高分必抢 B 设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a()na n,经历n次跌停后的价格为a n()na n na()n naa,故 该 股 民 这 只 股 票 略 有亏损 B 由题意,设利润为y元,租金定为 x元(x,xN)则y(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)x x(),当且仅当 x x,即x时,等号成立,故每月租金定为 (元)时,公司获得最大利润故选B A 若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平

22、均数减小因为 个月的平均气温为,所以当t 时,平均气温应该为,故排除B;因为在靠近 月份时其温度小于,因此 月份前的一小段时间内的平均气温应该大于,排除C;月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D A 由题意,药品的原价是m元,分两次降价,每次降价的百分率为x,则降价后的价格为ym(x)(x)m(x)B 由已知得e k,方程两边取自然对数得l n k,所以k l n l n ,设污染物减少 到 最 初 含 量 的 需 要 经 过t小 时,则e t,两边取自然对数得l n t,解得t,所以还需要经过 个小时的时间使污染物减少到最初含量的 C 因

23、为l 时,T,所以 k c l g,k c,所以T 设吸收介质的厚度增加 c m时,透光度 为T,则T l l T故选C C 本题考查高压输电线路电压损失估算口诀的应用,由 题 知U ,U ,所以UU C 观察图象可知,函数的图象关于y轴对称,对于A选项,f(x)s i nxxxs i nxxxf(x),为偶函数,对于B选项,f(x)c o s(x)xxc o sxxxf(x),为奇 函 数,对 于C选 项,f(x)c o s(x)|xx|c o s(x)|xx|f(x),为偶函数,对于D选项,f(x)s i n x|xx|s i n x|xx|f(x),为奇函数,而选项B,D为奇函数,其图象

24、关于原点对称,不合题意;对选项A而言,当x,()时,如取x,则有f()s i n,f(x),不合题意 A B D 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象如下图所示:由图象可判断出衰减情况为:f(x)衰减速度越来越慢;g(x)衰减速度越来越慢 B C 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则 ()n ,即()n,由nl gl g ,即n(l g l g)(l g),得n l gl g l g 令tm由题意知,ke e mke eke,所 以e e m得(e m)l n,则e m,所以e m,解得ml n ,所以m的最小值为,故答案为 ,()当I W/m时,LI l g ()l g ;()当IW/m时,LI l g ()l g ,当I W/m时,LI l g (),则正常人听觉的声强级范围为,d B 真题体验练 实战抢分 C 将L 代入L l gV得l gV ,所以V ,故选C B 先求函数的导函数f(x)xx,则由导数的几何意义知在点(,f()处的切线的斜率为kf(),又因为f(),由直线方程的点斜式得切线方程为:y()(x),化简得yx微点特训数学(新)