江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第四章第四节　等腰三角形与直角三角形.docx

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1、 基础过关1已知M，N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2215，AC2BC2AB2.ABC是直角三角形，且ACB90.答案：B2勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是()解析：“赵爽弦图”是由四个全等的

2、直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示答案：B3公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有40个则步道上总共使用的三角形地砖的个数是()A84 B86 C160 D162解析：3402184.答：步道上总共使用84个三角形地砖答案：A4如图，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是()AAE

3、AFAC BBEOOFC180COEOFBC DS四边形AEOFSABC解析：连接AO，如图所示ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，OAOC，AOC90，BAOACO45.EOAAOFEOF90，AOFFOCAOC90，EOAFOC.在EOA和FOC中，EOAFOC(ASA)EAFC.AEAFAFFCAC.选项A正确；BBEOEOBFOCCOFC180，BC90，EOBFOC180EOF90，BEOOFC180.选项B正确；EOAFOC，SEOASFOC.S四边形AEOFSEOASAOFSFOCSAOFSAOCSABC.选项D正确答案：C5如图，在ABC中，ABAC，点D，E都在边BC上

4、，BADCAE，若BD9，则CE的长为_解析：ABAC，BC.在BAD和CAE中，BADCAE.BDCE9.故答案为9.答案：96如图，直线ab，ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若BCD是等边三角形，A20，则1_.解析：BCD是等边三角形，BDC60.ab，2BDC60.由三角形的外角性质，可知12A40.故答案为40.答案：407在ABC中，ABAC，A40，则B_.解析：ABAC，BC.ABC180，B(18040)70.故答案为70.答案：708(2021黔西南州)如图，在RtABC中，C90，点D在线段BC上，且B30，ADC60，BC3，则BD的长度为_解析：C

5、90，ADC60，DAC30.CDAD.B30，ADC60，BAD30.BDAD.BD2CD.BC3，CD2CD3.CD.DB2.故答案为2.答案：29三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则CD的长度是_解析：如图，过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan 6010.ABCF，BMBCsin 30105.CMBCcos 3015，在EFD中，F90，E45，EDF45，MDBM5，CDCMMD155.故答案是155.答案：15510若实数m

6、，n满足|m3|0，且m，n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_解析：|m3|0，又|m3|0，0，m3，n4.当m，n是直角边时，直角三角形的斜边5.当n4是斜边时，斜边为4.故答案为5或4.答案：5或411如图所示的网格是正方形网格，则PABPBA_(点A，B，P是网格线交点)解析：如图，延长AP交格点于D，连接BD，则PD2BD21225，PB2123210，PD2DB2PB2，PDB90，DPBPABPBA45.故答案为45.答案：4512无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有_ cm.解析：由题意可得，

7、杯子内的筷子长度为15(cm)，则筷子露在杯子外面的筷子长度为20155(cm)故答案为5.答案：513如图，等腰直角三角板如图放置直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE直线m于点E，BD直线m于点D.(1)求证：ECBD；(2)若设AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理解：(1)证明：ACB90，ACEBCD90.ACECAE90，CAEBCD.在AEC与BCD中，CAEBCD(AAS)ECBD；(2)由(1)，知BDCEa，CDAEb，S梯形AEDB(ab)(ab)a2abb2.又S梯形AEDBSAECSBCDSABCababc2abc2.a2abb2abc2.整理，得a2b

8、2c2.14(2021江西模拟)问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中，ACB90，ABC30，则：ACAB.探究结论：小明同学对以上结论做了进一步研究(1)如图1，连接AB边上中线CP，由于CPAB，易得结论：ACP为等边三角形；BP与CP之间的数量关系为_；(2)如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段BE

9、与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论_；拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC，当C点在第一象限内，且B(2，0)时，求C点的坐标解：(1)ACB90，B30，A60.PAPB，PCPAPB.PAC是等边三角形故答案为CPPB.(2)结论：EDEB.理由：如图2，连接PE.ACP，ADE都是等边三角形，ACAP，ADAE，CAPDAE60.CADPAE.CADPAE(SAS)ACDAPE90.EPAB.PAPB，EAEB.DEAE，EDEB.(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证EDEB.故答案

10、为EDEB.拓展应用：如图3，作AHx轴于H，CFOB于F，连接OA.A(3，)，AOH30.由(2)可知，COCB，CFOB，OFFB.可以假设C(，n)OCBCAB，()2n2()2(32)2.n32.C(，32)能力提升15把两个同样大小含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上若AB2，则CD_.解析：如图，过点A作AFBC于F，在RtABC中，B45，BCAB2，BFAFAB.两个同样大小的含45角的三角尺，ADBC2.在RtADF中，根据勾股定理，得DF，CDBFDFBC2.故答案为.答

11、案：16公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾a6，弦c10，则小正方形ABCD的面积是_解析：勾a6，弦c10，股b8.小正方形的边长862.小正方形的面积224.故答案是4.答案：417腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_解析：如图1，当ABAC5，AD4时，则BDCD3，底边长为6；如图2，当ABAC5，CD4时，则AD3，BD2.BC2.此时底边长为2；如图3，当ABAC5，CD4时，则AD3，BD8.BC4.此时底边长为4.故答案为6或2或4.答案：6或2或418(2021九江一模)在ABC中，BCa，ACb，ABc，如图，若C90，则有a2b

12、2c2.若ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2b2c2.理由如下：如图，过点A作ADCB于点D，设CDx.在RtADC中，AD2b2x2，在RtADB中，AD2c2(ax)2，a2b2c22ax.a0，x0，2ax0，a2b2c2，当ABC为锐角三角形时，a2b2c2.小明的猜想是正确的(1)请你猜想，当ABC为钝角三角形时，a2b2与c2的大小关系(温馨提示：在图中，作BC边上的高)(2)证明你猜想的结论是否正确解：(1)当ABC为钝角三角形时，a2b2与c2的大小关系为a2b2c2；(2)证明：如图，过点A作ADBC于点D，设CDx，在RtADC中，AD2b2x2，在RtADB中，AD2c

13、2(ax)2，b2x2c2(ax)2.a2b2c22ax.a0，x0，2ax0.a2b2c2.即当ABC为钝角三角形时，a2b2c2.19(2021南昌模拟)如图，已知A(3,0)，B(0，1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BABC，连接AC.(1)如图1，求C点坐标；(2)如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上时，求证：PACQ；(3)在(2)的条件下，若C，P，Q三点共线，求此时APB的度数及P点坐标解：(1)如图，作CHy轴于H，则BCHCBH90，ABBC，ABOCBH90.ABOBCH.在ABO和BCH中，ABOBCH(AAS)BHOA3，CHOB1.OHOBBH4.C点坐标为(1，4)；(2)证明：PBQABC90，PBQABQABCABQ，即PBAQBC.在PBA和QBC中，PBAQBC(SAS)PACQ；(3)BPQ是等腰直角三角形，BQP45.当C，P，Q三点共线时，BQC135，由(2)可知，PBAQBC，BPABQC135.OPB45.OPOB1.P点坐标为(1,0)