2020年高考真题——数学（全国卷III）（文科）.docx

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1、2020年高考真题数学（全国卷III）（文科）1. 已知集合，则中元素的个数为（）A.B.C.D.知识点：交集答案：B解析：由题意，故中元素的个数为故选B.总结：本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解2. 若，则（）A.B.C.D.知识点：共轭复数复数的除法答案：D解析：因为，所以故选D.总结：本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念3. 设一组样本数据的方差为，则数据的方差为 （）A.B.C.D.知识点：方差与标准差答案：C解析：因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为.故选C.总结：本题考查方差，考查基本分析求解能力.4. 模型是常用数学模型之一，可应用于流

2、行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数当(时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）A.B.C.D.知识点：指数与对数的关系对数型函数模型的应用答案：C解析：，所以，则，所以，解得故选C.总结：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力.5. 已知，则（）A.B.C.D.知识点：辅助角公式两角和与差的正弦公式答案：B解析：由题意可得：，则：，从而有：，即故选B.总结：本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用.6. 在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线知识点：圆锥曲线中求轨迹方程

3、向量坐标与向量的数量积答案：A解析：连接设的中点为以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系(图略).设则由得故点的轨迹为圆.总结：本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力7. 设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若则的焦点坐标为（）A.B.C.D.知识点：抛物线的定义抛物线的对称性答案：B解析：因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选B.总结：该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线

4、的焦点坐标.8. 点，到直线距离的最大值为 （）A.B.C.D.知识点：两点间的距离直线系方程答案：B解析：由可得直线过定点易知当点与的连线与直线垂直时，所求距离最大，所以点到直线距离的最大值为.故选B.总结：该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键.9. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （）A.B.C.D.知识点：三视图棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积答案：C解析：根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：，根据勾股定理可得：是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：，该几何体的表面积是：.故选C.

5、总结：本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力.10. 设，则（）A.B.C.D.知识点：对数式的大小的比较对数（型）函数的单调性答案：A解析：因为，所以故选A .总结：本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想11. 在中，则（）A.B.C.D.知识点：余弦定理及其应用同角三角函数的商数关系同角三角函数的平方关系答案：C解析：则故.故选.总结：本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力12. 已知函数，则（）A.的最小值为B.的图象关于轴对称C.的图象关于直线对称D.的图象关于直线对称知识点：函

6、数奇、偶性的图象特征函数奇、偶性的定义函数的对称性正弦（型）函数的定义域和值域答案：D解析：可以为负，所以A错；，关于原点对称；，故B错；关于直线对称，故C错，D对，故选D .总结：本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力13. 若，满足约束条件，则的最大值为知识点：简单的线性规划问题答案：7解析：不等式组所表示的可行域如图，因为，所以，易知截距越大，则越大，平移直线，当经过点时截距最大，此时最大，由，得，所以故答案为7.14. 设双曲线：，的一条渐近线为，则的离心率为知识点：双曲线的离心率双曲线的渐近线答案：解析：由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，

7、故答案为.15. 设函数若，则知识点：一元二次方程的解集导数的四则运算法则答案：解析：由函数的解析式可得，则，据此可得：，整理可得，解得故答案为16. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为知识点：与球有关的切、接问题球的体积圆锥的结构特征及其性质答案：解析：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得，其体积.故答案为.17. 设等比数列满足，(1) 求的通项公式；(2) 记为数列的前项和若，求知识点：等比数列的通项公式等比数列的基本量等差数列的前项和的应用答案：(1) 设等

8、比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；(2) 令，所以，根据，可得整理得，因为，所以，解析：(1) 设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；(2) 由（）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果总结：(2) 本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级（优）（良）（轻度污染）（中度污染）(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为，的概

9、率；(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3) 若某天的空气质量等级为或，则称这天空气质量好；若某天的空气质量等级为或，则称这天空气质量不好根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：， 知识点：众数、中位数和平均数独立性检验及其应用用频率估计概率频数分布表和频数分布直方图答案：(1) 由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为.(2) 由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的

10、平均数为.(3) 列联表如下：人次人次空气质量好空气质量不好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.解析：(1) 根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为，的概率；(2) 利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；(3) 根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.总结：(3) 本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，证明：(1) 当时，；(2) 点在平面内知识点：立体几何中的四点共面、三点共线异面直线垂直直线与平面平行

11、的判定定理直线与平面平行的性质定理答案：(1) 因为长方体,所以平面，,因为长方体,所以四边形为正方形，因为、平面,因此平面，因为平面，所以；(2) 在上取点使得，连,因为,所以，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为平行四边形，因此在平面内.解析：(1) 根据正方形性质得，根据长方体性质得，进而可证平面，即得结果；(2) 只需证明即可，在上取点使得，再通过平行四边形性质进行证明即可20. 已知函数(1) 讨论的单调性；(2) 若有三个零点，求的取值范围知识点：导数与单调性利用导数求参数的取值范围利用导数讨论函数单调性利用导数解决函数零点问题答案：(1) 由题，当时，恒成立，所以在上单调递

12、增；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增.(2) 由（）知，有三个零点，则，且即，解得，当时，且，所以在上有唯一一个零点，同理，所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为解析：(1) ，对分和两种情况讨论即可；(2) 有三个零点，由（）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可总结：(2) 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题21. 已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点(1) 求的方程；(2) 若点在上，点在直线上，且，求的

13、面积知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的定义直线与椭圆的综合应用三角形的面积（公式）直线与圆锥曲线的其他应用答案：(1) ，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；(2) 点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图又，根据三角形全等条件“”，可得：，设点为，可得点纵坐标为将其代入，可得：，解得：或点为或，当点为时，故，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：；当点时，故，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为

14、：，根据两点间距离公式可得：，面积为综上所述，面积为.解析：(1) 因为，可得，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；(2) 点在上，点在直线上，且，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于两点.(1) 求；(2) 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程知识点：简单曲线的参数方程极坐标和直角坐标的互化直线的点斜式方程答案：(1) 令，则，解得或（舍），则，即令，则，解得或（舍），则，即；(2) 由（）可知，则直线的

15、方程为，即由可得，直线的极坐标方程为解析：(1) 由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；(2) 由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可总结：(2) 本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题23. 设，(1) 证明：；(2) 用表示，中的最大值，证明：知识点：基本不等式的综合应用证明不等式的方法利用基本不等式证明不等式答案：(1) ，.均不为，则，(2) 不妨设，由可知，.当且仅当时，取等号，即.解析：(1) 由结合不等式的性质，即可得出证明；(2) 不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.总结：(2) 本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.