考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用.docx

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1、 考点41 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用1.(2022新高考卷T21)(12分)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若tanPAQ=22,求PAQ的面积.【命题意图】本题考查了直线与双曲线的综合.【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,所以4a2-1a2-1=1,解得a2=2,即双曲线C:x22-y2=1,易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx+mx22-y2=1可得,(1-2k2)x2-4

2、mkx-2m2-2=0,所以,x1+x2=-4mk2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1,=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)0m2+1-2k20.所以由kAP+kAQ=0可得,y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,所以2k2m2+22k2-1+(m-1-2k)-4mk2k2-1-4(m-1)=0,化简得,8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0,所以k=-1或m=1-2k,当m=1-2k时,直线l:y=kx+m=

3、k(x-2)+1过点A(2,1),与题意不符,舍去,故k=-1.(2)不妨设直线AP,AQ的倾斜角为,(),因为kAP+kAQ=0,所以+=,因为tanPAQ=22,所以tan(-)=22,即tan 2=-22,即2tan2-tan -2=0,解得tan =2,于是,直线AP:y=2(x-2)+1,直线AQ:y=-2(x-2)+1,联立y=2(x-2)+1x22-y2=1可得,32x2+2(2-4)x+10-42=0,因为方程有一个根为2,所以xP=10423,yP=42-53,同理可得,xQ=10+423,yQ=-42-53.所以PQ:x+y-53=0,|PQ|=163,点A到直线PQ的距离d=2+1532=223,故PAQ的面积为12163223=1629.