第四课时 最值、范围问题.doc

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1、 第四课时最值、范围问题 题型一最值问题角度1基本不等式法求最值例1 (12分)(2023青岛调研)已知椭圆：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且ABF1的周长为4.(1)求的方程；(2)若AMx轴于点M，BNx轴于点N，直线AN与BM交于点C，求ABC面积的最大值思路分析由定义求方程设直线方程联立椭圆与直线方程由条件写出面积的表达方式通过换元，利用基本不等式求出面积的最大值规范解答解(1)由椭圆定义可知ABF1的周长为4a4，即a，在椭圆中求焦点三角形的周长,问题，常结合椭圆的定义求解因为离心率e，所以c2.又因为b2a2c2，所

2、以b22，(3分)故的方程为1.(4分)(2)依题意可知直线AB的斜率存在且不为0，在圆锥曲线中设直线方程时，若所设直线可以垂直于x轴，但不能垂直于y轴，则直接设直线为xmyn(m，n为常数)，这样可以避免分类讨论联立消去x整理得(m23)y24my20，易知16m28(m23)24(m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x2x1，则y1y2，y1y2.(5分)因为AMx轴，BNx轴，所以M(x1，0)，N(x2，0)所以直线AN：y(xx2)，直线BM：y(xx1)， (6分)联立，解得C点的横坐标xC23.因为SABC|BN|xCx1|y2|3x1|y2my1y2|，(9

3、分)且，所以SABC|y1y2|.(10分)设t，t1，则SABC，当且仅当t，即m1时，等号成立(12分)满分规则得步骤分：由准确运用椭圆定义，求出a，b，c可分别得1分，第一问共4分，由联立椭圆和直线方程，写出根与系数关系式得1分，设直线方程可得1分；得关键分：由联立两直线求出C点横坐标得2分，表示ABC面积得1分；得计算分：由通过根与系数关系化简面积表达式得1分，由利用换元后，由基本不等式求出最值得3分训练1 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积

4、最大时，求l的方程解(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意；设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.16(4k23)0，即k2，x1x2，x1x2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.角度2函数法求最值例2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，

5、以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过点(2，0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN的面积的最大值解(1)由题意，得椭圆E的焦点在x轴上设椭圆E的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1.椭圆E经过点，1，解得b21，椭圆E的标准方程为y21.(2)点(2，0)在椭圆E外，直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得(12k2)x28k2x8k220.x1x2，x1x2，64k44(12k2)(8k22)0，解得0k2

6、，|MN|x1x2|2.点F2(1，0)到直线l的距离d，F2MN的面积为S|MN|d3.令12k2t，t1，2)，得k2.S3333，当，即t时，S有最大值，Smax，此时k.F2MN的面积的最大值是.感悟提升圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解训练2 (2023济南联考节选)已知抛物线C：y24x，F为焦点，点Q在直线x1上，点P是抛物线上一点，且P点在

7、第一象限，满足FPFQ，记直线OP，OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k3，求k1k2k3的最小值解设P(x0，y0)(x00，y00)，Q(1，t)，则y4x0.因为FPFQ，所以2(x01)ty00，即ty02(x01)，因为k1，k2t，k3，所以k1k2k344.令x(x0)，则构造函数f(x)4x3x(x0)，所以f(x)12x21，令f(x)0，得x，令f(x)0，得0x，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf，即的最小值为，所以k1k2k3的最小值为.题型二范围问题例3 (2023辽宁省六校联考)在平面直角坐标xOy中，已知抛物线C：y22px(p0)的焦点

8、与椭圆：y21的右焦点重合(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)记P(4，0)，若抛物线C上存在两点B，D，且直线BD的斜率存在，使PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围解(1)由椭圆方程y21，得其右焦点为(1，0)，因为抛物线的焦点与椭圆右焦点重合，所以1，即p2.故抛物线C的方程为y24x，准线方程为x1.(2)设直线BD的方程为ykxm，由消去y，得k2x2(2km4)xm20，则(2km4)24k2m20，得km1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设BD中点为M(x0，y0)，则x0，y0kx0m.由PBD是以P为顶点的等腰三角形，

9、则PMBD，则kPM，整理得km22k2.由km1，则22k21，解得k或k，故直线BD的斜率的取值范围为.感悟提升解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围训练3 (2023武汉调研)过双曲线：1(a0，b0)的左焦点F1的

10、动直线l与的左支交于A，B两点，设的右焦点为F2.(1)若ABF2可以是边长4的正三角形，求此时的标准方程；(2)若存在直线l，使得AF2BF2，求的离心率的取值范围解(1)依题意得|AF1|2，|AF2|4，|F1F2|2.2a|AF2|AF1|2，a1，2c|F1F2|2，c，b2c2a22，此时的标准方程为x21.(2)设l的方程为xmyc，与1联立，得(b2m2a2)y22b2cmyb40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由AF2BF2，得0，(x1c)(x2c)y1y20，即(my12c)(my22c)y1y20，(m21)b44m2c2b24c2(b2m

11、2a2)0，(m21)b44a2c2，m211，4a2c2(c2a2)2，c4a46a2c20，e46e210，又e1，1e232，1e1，又A，B在左支且l过F1，y1y20，0，m2，m211，4a2b2c2a2，e25.综上所述，e1.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1如图所示，点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解(1)由已知可得点A(6，0)，F(4，0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x

12、4，y)PAPF，0，则可得2x29x180，得x或x6.由于y0，故x，得y.点P的坐标是.(2)由(1)可得直线AP的方程是xy60，点B(6，0)设点M的坐标是(m，0)则点M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得m2.由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，得d2(x2)2y2x24x420x215，由于6x6，由f(x)15的图象可知，当x时，d取最小值，且最小值为.2(2023广州模拟)已知椭圆C：1(ab0)过点A，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(0，2)的直线l(直线l不与x轴垂直)与椭圆C交于不同的两点M，N，且O为坐标原点求MON的面积的最大值解

13、(1)依题意得1，而b1，则1，所以1，所以a22，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)因为直线l不与x轴垂直，则l的斜率k存在，设l的方程为ykx2，由得(2k21)x28kx60，因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，则有(8k)24(2k21)616k2240，得k2，即k或k，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|，而原点O到直线l：kxy20的距离d，MON的面积S|MN|d，令t，得2k2t23(t0)，S，因为t24，当且仅当t，即t2时取“”，此时k2，即k，符合要求，从而有S，故当k时，MON的面积的最大值为.3(2021北京卷

14、)已知椭圆E：1(ab0)过点A(0，2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0，3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y3于点M，N，若|PM|PN|15，求k的取值范围解(1)因为椭圆E过点A(0，2)，所以b2.以四个顶点围成的四边形面积为4，故2a2b2ab4.由解得故椭圆E的标准方程为1.(2)由题意可得，直线l的斜率存在，且直线l的方程为ykx3，设B(x1，y1)，C(x2，y2)联立消去y整理得(5k24)x230kx250，(30k)24(5k24)25400(k21)0，故k1或k0)的焦点为F，点D(p，0

15、)，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，|MF|3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程解(1)当MDx轴时，有|MF|p3，得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)根据(1)知F(1，0)，D(2，0)当MNx轴时，易得，此时0.当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则直线MN的方程为yy1(xx1)，即yy1(xx1)，即yy1(xx1)，即y(y1y2)y1(y1y2)4(xx1)，所以直线MN的方程为y(y1y2)

16、y1y24x，tan .同理，可得直线AM的方程为y(y3y1)y3y14x，直线BN的方程为y(y4y2)y4y24x，直线AB的方程为y(y4y3)y4y34x.因为F(1，0)在MN上，所以y1y24.因为D(2，0)在AM，BN上，所以y3y18，y4y28，所以y3，y4.所以y3y42(y1y2)，y3y416，所以直线AB的方程y(y4y3)y4y34x可化为(y1y2)y82x，所以tan ，所以tan()2.当y2y10时，tan()0时，(y2y1)4，tan()2，当且仅当y2y1，即y2y12时取等号，此时取得最大值，直线AB的方程为xy40.综上，当取得最大值时，直线AB的方程为xy40.