2020年山东省高考数学试卷(新高考全国ⅰ卷)(解析版).pdf

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

2、回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=（）A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B.若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC.若 mn0，则 C 是两条直线【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0mn时表示椭圆，0mn时表示圆，0mn 时表示双曲线，0,0mn时表示两条直线.【详解】对于

3、 A，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，若0mn，则221mxny可化为221xyn，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，若0mn，则221mxny可化为22111xymn，此时曲线C表示双曲线，由220mxny可得myxn ，故 C 正确；对于 D，若0,0mn，则221mxny可化为21yn，nyn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心

4、素养.10.下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A.sin(3x）B.sin(2)3xC.cos(26x）D.5cos(2)6x【答案】BC【解析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选 A,当2536212x时，1y 5322122kkZ，解得：223kk Z，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin236263yxkxxx.而5cos 2cos(2)66xx,故选：BC.【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式

5、时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由2T即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对 A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11.已知 a0，b0，且 a+b=1，则（）A.2212abB.122a bC.22loglog2ab D.2ab【答案】ABD【解析】根据1ab，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于 A，222221221abaaaa2121

6、1222a，当且仅当12ab时，等号成立，故 A 正确；对于 B，211aba ，所以11222a b，故 B 正确；对于 C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，故 C 不正确；对于 D，因为21212ababab ，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故 D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X 所有可能的取值为1,2,n，且1()0(1,2,),1niiiP Xipinp，定义 X 的

7、信息熵21()logniiiH Xpp.（）A.若 n=1，则 H(X)=0B.若 n=2，则 H(X)随着1p的增大而增大C.若1(1,2,)ipinn，则 H(X)随着 n 的增大而增大D.若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且21()(1,2,)jmjP Yjppjm，则 H(X)H(Y)【答案】AC【解析】对于 A 选项，求得H X，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B 选项，利用特殊值法进行排除；对于 C 选项，计算出H X，利用对数函数的性质可判断出 C 选项的正确性；对于 D 选项，计算出,H XH Y，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性

8、.【详解】对于 A 选项，若1n，则11,1ip，所以21 log 10H X ，所以 A 选项正确.对于 B 选项，若2n，则1,2i，211pp，所以 121121Xlog1log1Hpppp，当114p 时，221133loglog4444H X，当13p4时，223311loglog4444H X，两者相等，所以 B 选项错误.对于 C 选项，若11,2,ipinn，则222111logloglogH Xnnnnn ，则H X随着n的增大而增大，所以 C 选项正确.对于 D 选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m，且21jmjP Yjpp（1,2,jm）.2222111

9、loglogmmiiiiiiH Xpppp 122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp.H Y 122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp由于01,2,2ipim，所以2111iimippp，所以222111loglogiimippp，所以222111loglogiiiimippppp，所以 H XH Y，所以 D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析

10、、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为24yx，抛物线的焦点 F 坐标为(1,0)F，又直线 AB 过焦点 F 且斜率为3，直线 AB 的

11、方程为：3(1)yx代入抛物线方程消去 y 并化简得231030 xx，解法一：解得121,33xx所以212116|1|1 3|3|33ABkxx 解法二：10036640 设1122(,),(,)A x yB xy，则12103xx,过,A B分别作准线1x 的垂线，设垂足分别为,C D如图所示.12|11ABAFBFACBDxx 1216+2=3xx故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_【答案】232nn【解析】首先判断出数列21n与32n项的特

12、征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列21n是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列32n是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以 na的前n项和为2(1)16322n nnnn，故答案为：232nn.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是

13、圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】542【解析】利用3tan5ODC求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF，所以5NF，因为5AP,所以45AGP，因为/BHDG，所以45AHO，

14、因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OAAG，即OAH为等腰直角三角形；在直角OQD中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCDQ，所以3 25 2212522rr，解得2 2r；等腰直角OAH的面积为112 22 242S；扇形AOB的面积22132 2324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2，BAD=60 以1D为球心，5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_【答案】22

15、.【解析】根据已知条件易得1D E3，1D E 侧面11BCCB，可得侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，可得侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为BAD60，直四棱柱1111ABCDABC D的棱长均为 2，所以111D BC为等边三角形，所以1D E3，111D EBC，又四棱柱1111ABCDABC D为直四棱柱，所以1BB 平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1D E 侧面11BCCB，设P为侧面11BCCB与球面的交线上的点

16、，则1DEEP，因为球的半径为5，13D E，所以2211|532EPD PD E，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为|2EFEG，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114B EFC EG，所以2FEG，所以根据弧长公式可得2222FG.故答案为：22.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在3ac，

17、sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【解析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角,A B C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】解法一：解法

18、一：由sin3sinAB=可得：3ab，不妨设3,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm，即cm.选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：2333acm mm，1m，此时1cm.选择条件选择条件的解析：的解析：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm，则：213sin122A，此时：3sin32cAm，则：2 3cm.选择条件选择条件的解析：的解析：可得1cmbm，cb，与条件3cb矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA,313sin3322sinAACsinAcosA

19、，3sinAcosA,3tanA ,23A,6BC,若选，3ac,33abc,233c,c=1;若选，3csinA,则332c,2 3c;若选,与条件3cb矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18.已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa（1）求na的通项公式；（2）记mb为na在区间*(0,()m mN中的项的个数，求数列mb的前100项和100S【答案】（1）2nna；（2）100480S.

20、【解析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q的形式，求解出1,a q，由此求得数列 na的通项公式.（2）通过分析数列mb的规律，由此求得数列mb的前100项和100S.【详解】（1）由于数列 na是公比大于1的等比数列，设首项为1a，公比为q，依题意有31121208a qa qa q，解得解得12,2aq，或1132,2aq(舍)，所以2nna，所以数列 na的通项公式为2nna.（2）由于123456722,24,28,216,232,264,2128，所以1b对应的区间为：0,1，则10b；23,b b对应的区间分别为：0,2,0,3，则231bb，即有2个1；4567,

21、b b b b对应的区间分别为：0,4,0,5,0,6,0,7，则45672bbbb，即有22个2；8915,b bb对应的区间分别为：0,8,0,9,0,15，则89153bbb，即有32个3；161731,bbb对应的区间分别为：0,16,0,17,0,31，则1617314bbb，即有42个4；323363,bbb对应的区间分别为：0,32,0,33,0,63，则3233635bbb，即有52个5；6465100,bbb对应的区间分别为：0,64,0,65,0,100，则64651006bbb，即有37个6.所以23451001 22 23 24 25 26 37480S .【点睛】本小

22、题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO浓度（单位：3g/m），得下表：2SOPM2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：2SOPM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中P

23、M2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，2()P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得22列联表；（3）计算出2K，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市 100 天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且2SO浓度不超过 150 的天数有326 18864天，所以该市一天中，空气中的2.5PM浓度不超过 75，且2SO浓度不超过 150 的概率为

24、640.64100；（2）由所给数据，可得22列联表为：2SO2.5PM0,150150,475合计0,7564168075,115101020合计7426100（3）根据22列联表中的数据可得222()100(64 10 16 10)()()()()80 20 74 26n adbcKab cd ac bd36007.48446.635481，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与2SO浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善22列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面

25、PAD 与平面 PBC 的交线为 l（1）证明：l平面 PDC；（2）已知 PD=AD=1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得/AD l，从而得到l 平面PDC；（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos,n PB 的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，/AD BC，因

26、为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以/AD l，因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD所以l 平面PDC；（2）如图建立空间直角坐标系Dxyz，因为1PDAD，则有(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)DCAPB，设(,0,1)Q m，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DCDQmPB，设平面QCD的法向量为(,)nx y z，则00DC nDQ n，即00ymxz，令1x，则zm

27、，所以平面QCD的一个法向量为(1,0,)nm，则21 0cos,31n PBmn PBn PBm 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于2|1|cos,|31mn PBmr uur2231231mmm223232|36111 1313133mmmm，当且仅当1m 时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.21.已知函数1()elnlnxf

28、xaxa（1）当ae时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【答案】（1）21e（2）1,)【解析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x得导函数 fx的单调递增，当 a=1 时由 10f得 11minf xf,符合题意；当 a1 时，可证1()(1)0ffa，从而 fx存在零点00 x，使得01001()0 xfxaex，得到min()fx，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基

29、本不等式可以证得 1x 恒成立；当01a时，研究 f 1.即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将 111lna xlnxf xelnaxelnx 转化为,令 xg xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx,注意到 g x的单调性，进一步等价转化为1lnalnxx，令 1h xlnxx,利用导数求得 maxh x，进而根据不等式恒成立的意义得到关于 a的对数不等式，解得 a 的取值范围.【详解】（1）()ln1xf xexQ，1()xfxex，(1)1kfe.(1)1fe Q，切点坐标为(1,1+e),函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为1

30、(1)(1)yeex ,即12yex,切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e,所求三角形面积为1222|=211ee;（2）解法一：1()lnlnxf xaexaQ,11()xfxaex，且0a.设()()g xfx,则121()0,xg xaexg(x)在(0,)上单调递增，即()fx在(0,)上单调递增，当1a 时，()01f,11minf xf,1f x 成立.当1a 时，11a，111ae，111()(1)(1)(1)0affa eaa,存在唯一00 x，使得01001()0 xfxaex，且当0(0,)xx时()0fx，当0(,)xx时()0fx，0101xaex，00

31、ln1lnaxx ，因此01min00()()lnlnxf xf xaexa000011ln1ln2ln122ln1axaaxaxx 1,1,f x 1f x 恒成立；当01a时，(1)ln1,faaa(1)1,()1ff x不是恒成立.综上所述，实数 a 的取值范围是1,+).解法二：111xlna xf xaelnxlnaelnxlna 等价于11lna xlnxelnaxlnxxelnx ,令 xg xex,上述不等式等价于1g lnaxg lnx,显然 g x为单调增函数，又等价于1lnaxlnx，即1lnalnxx，令 1h xlnxx,则 111xhxxx 在0,1上 h(x)0,

32、h(x)单调递增；在(1,+)上 h(x)0,h(x)单调递减，10maxh xh,01lnaa，即，a 的取值范围是1,+).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.22.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点 A（2，1）（1）求 C 的方程：（2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值【答案】（1）22163xy；（2）详见解析.【解析】(1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点 M

33、，N 的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到 m,k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点 Q 的位置.【详解】(1)由题意可得：2222232411caababc，解得：2226,3abc，故椭圆方程为：22163xy.(2)设点1122,M x yN xy.因为 AMAN，0AM AN ，即 121222110 xxyy,当直线 MN 的斜率存在时，设方程为ykxm,如图 1.代入椭圆方程消去y并整理得：22212k4260 xkmxm,2121222426,1212kmm

34、xxx xkk,根据1122,ykxm ykxm,代入整理可得：221212k1 x2140 xkmkxxm将代入，22222264k121401 21 2mkmkmkmkk，整理化简得231 210kmkm,2,1A（）不在直线MN上，210km，23101kmk，于是 MN 的方程为2133yk x，所以直线过定点直线过定点21,33E.当直线 MN 的斜率不存在时，可得11,N xy,如图 2.代入 121222110 xxyy得2212210 xy,结合2211163xy,解得1122,3xx舍,此时直线 MN 过点21,33E,由于 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以 AE 中点 Q 满足QD为定值（AE 长度的一半221214 2212333）.由于21,32,13,AE，故由中点坐标公式可得4 1,3 3Q.故存在点4 1,3 3Q，使得|DQ|为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.