2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考Ⅰ).pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考/)数学一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(2021新高 考/-1)设集合 A=n-2 4,8=2,3,4,5,贝 1 4n8=()A.2 B.2,3C.3,4 D.2,3,4)命题意图考查集合的交集运算,考查运算求解能力.解析 B：=卜 2Vx 4,2=2,3,4,5,.：AnB=2,3.故选 B.2.(2021新高 考/-2)已 矢 口 z=2-i,贝 Uz叵+i)=()A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i命题意图考查复数的运算,考查运算求解能力.解析

2、 C:z=2-i,:.z=2+i.:.z+i=2+2i.：z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2i.故选C.解题规律复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.3.(2021新高考/3)已知圆锥的底面半径为遮，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2 B.2V2 C.4 D.4V2命题意图考查空间几何体的结构、侧面展开图，考查直观想象、数学运算能力.解析B设圆锥底面半径为八,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为n.由条件得,2兀 门 二 g2兀 及，则 7*2=2门=2鱼,故该圆锥

3、的母线长为2V2.故选B.4.（2021.新高考人4）下列区间中,函数式x）=7sinQ-U 单调递增的区间是（）6A.（喝 B.&n）C （崂）口 卷 如）命题意图考查三角函数的性质，考查逻辑推理、数学运算能力.解析 A 由题意知 -+2 kn,+2kn,ZWZ,即 x 4+2/cn,-y+2/cnj,/：G Z.当 k=Q 时，函数x）=7sin（x 5）的单调递增区间为楂，乳（0 1）是函数/（x）的一个单调递增区间.故选A.解题方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（s+0）形式，再求y=Asin（ox+9）的单调区间，只需把蛆+夕看作一个整体代入y=siar的相

4、应单调区间内即可，注意要先把G 化为正数.5.（2021新高考/-5）已知Q,尸 2是 椭 圆 若+*1 的两个焦点，点 M在 C 上，则的最大值为（）A.13 B.12 C.9 D.6命题意图考查椭圆的性质、基本不等式，考查逻辑推理、数学运算能力.解析C由题意知|W|+|M B|=2a=6,则 JIMFJIMF2I IMFil；|MFzl=3,则IMF#IW9,当 且 仅 当|=IMF?I =3时，等号成立.故的最大值为9.故选C.6.（2021 新 高 考/若 tan 8=-2,则 独 陪 呼=（）smJ+cosGA-lB-lc-lDl命题意图考查三角恒等变换、弦切互化，考查数学运算、逻辑

5、推理能力.A,n+r-sinJ（l+sin2。）sin0（sin0+cos）2.八，八、，八，八 八 sin2+sin0cos0 tan20+tan0解析 C sin i=一飞而E=s m 6（s m，+c o s O）=s m 2 0+s m 6c o s，=二 小。/=BTF=4-2 24+1=5故选C.7.（2 0 2 1新高考/-7）若过点伍,力可以作曲线产e，的两条切线厕（）A.ef c a B.e“6C.0 a e&D.0 0,得 ea b.结合4个选项，可知选D.8.（2 02 1.新高考/-8）有 6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次

6、取1 个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7 ,则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立命题意图考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理、数学运算能力.解 析 B由已知得P（甲）=（乙 足（丙）=与=总产（丁 尸 盘=:，o o oxo OO oXo oP（甲丙）=0,P（甲 丁 尸 白=白,P（乙丙）=E =白（丙丁）=0.OXO 3。oxo 3b由于P（甲丁尸P（甲）/（丁）=2,根据相互独立事件的性质，知事件甲与丁相互独立，故选

7、B.3 6二、选择题:本题共4小题,每小题5 分，共 2 0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2 分.有选错的得0 分。9.(2021新高 考/9)有一组样本数据x g,即 由这组数据得到新样本数据y02,9,其中、户为+以广松为非零常数则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同命题意图考查根据样本的特征数据估计总体的特征数据，考查数据分析、逻辑推理能力.解析CD 土 =工的歹=(f；/+nc)=M+c,故 A 错误酒组样本数据的样本中位数相差c,故 B 错ni

8、=l n i=i/1 n _ i n _误 =-E(Xi-X)2,Sy=-2 (为+C)-(元+c)2=s3 故 C 正确x 极 差=XmaxXmin,y 彼 差 二(Xmax+C)(Xmin+C)=Xmaxni=l ni=lXmin,故 D 正确.10.(2021 新高考 I 0)已知。为坐标原点，点 Pi(cos a,sin a),P2(cos)ff,-sin份,P3(cos(a+0,sin(a+A),A(1,0),则()A.西二|西B.|耐|二|瓯|C.OA-OP=OP-OPD.OA-OP=OPOP命题意图考查向量的坐标运算,考查数学运算能力.解析 AC:，|OP；|=Vcos2a+si

9、n2a=1,|OP；|=Jcos2/?+(-sinj9)2=l,.：|函 j=|理I,故 A 正确；一 ，v APr=(cosa-1 ,sina),AP2=(cosy8-1 ,-sinff),/APr=y/(cos2a-2cosa+1)+sin2a=V2-2cosa,AP =A/(cos2/?-2cosy?+1)+sin2?=j2-2cosA，：|丽 团 丽 I,故 B 不正确；v OA 0P3=(l,0)-(cos(a+y?),sin(a4-/?)=cos(a+/?),0P1-OP2=(cosa,sina)-(cosy?,-sin/)=cosc(cos/?-sinasin/?=cos(a 邛

10、),瓦？西=恒 函，故 C 正确；，0A-=(1,0)-(cosa,sina)=cosa,0P2,OP3=(cosQ,sin/?(cos(Q+/0,sin(a+Q)=cos/teos(Q+p)-sinQsin(a+/0=cosS+Q+/0=cos(2/Ha),.OA-OK OK-两.故 D 不正确.规律方法解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形;也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a-b=xiX2+yi”求解，较为简捷、明了.11.(2021新高考/11)已知点尸在圆(片5)2+(广5)2=16上，点 A(4,0),8(0,2),则()A.点

11、P 到直线A B 的距离小于10B.点 P 到直线A 8的距离大于2C.当/P BA最小时尸3|=3企D.当NPB4最大时,|P8|=3立命题意图考查直线和圆的位置关系，考查数形结合、数学运算能力.解析ACD 如图，记圆心为M,半径为K则M(5,5),r=4.由条件得，直线AB的方程为*+=1,整理得x+2)，-4=0,过点M作M N垂直于直线A8,垂足为N,直线M N与圆M分别交于点Pi,P2,圆心M(5,5)到直线4 B的距离|MN|=竿 空0 =于是点p到直JI2+22.11 11线AB的距离最小值为仍2川=阳川-广=容4,最大值为|PN|=|MV|+r=4+4.V5 V5又强42,净4

12、 BP-西=吊尸=口前，则瓦尸与瓦共线，故 点P在线段BiG（包括端点）上，如 图所示.由图可知BiG 平面A山C,即BiG上的每一点到平面A18C的距离都相等，因此三棱锥P-A iBC的体积为定值，故B正确；图C项中，当/1日时，分别取线段8 C,BQ的中点D O i,连 接 可 知 点P在线段001（包括端点）上,如图所示.取A C的中点。,建立如图所示的空间直角坐标系0肛z,则B（y,0,0）,C W,1,0A,（0,-T，1），俘，“从 而 罚=（条 3，-1），丽=（4；由41P-BP=（“-1）=O,得 u-Q 或 w=l.当点P与点。或。重合时，满足APVBP,故C错误；D项中，

13、当 它 时，分别取线段BBiCCi的中点M N,连 接MN,可知点、P在线段MN（包括端点）上,如图所示.图 建系同选项C,则4（0,3,0）4（0,3，1）,8（桨 0,0）,尸（除 一 品,工）,从 而 砧=（桨/）刀=（苧-苧 +另）,四边形A B B A i为正方形，显然A tB A B i.要使A/_L平面ASP,只需A/_LAP,即不了-AP=-白0,解得A=1.当且仅当点尸与点N 重合时4 山_L平面ABIP,故 D 正确.综上所述，选 BD.三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分。13.（2021.新高考/13）已知函数人工尸班”，*?*）是偶函数，则a=.命题意

14、图考查函数的性质,考查数学运算能力.解 析 1 :函数X）=3（02，-2-，）是偶函数，,VWM-x）,即 X3（G2 J2）=（-x）3a2X-2x）.整理得,。2-2=-922丫），即（a-l）2+（a-l）2=0.3 1）（2+2）=0.a=l.14.（2021新高考/J4）已知O 为坐标原点,抛物线C：V=2px（p0）的焦点为 P 为 C 上一点尸与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点，且PQ OP.FQ=6 M C 的准线方程为.命题意图考查抛物线的标准方程，考查逻辑推理、数学运算能力.解析x=-|:，.:XP=XF苦，将 xp=2代入V=2px,得 y=p.不妨设点尸在x 轴的上方，

15、则0）,即1 所 招2如图，由条件得,P“）SZQEP,.玛=剧 即 j=E解得p=3.故C的准线方程为x=-|.规律总结求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向.在方程类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.1 5.（2 0 2 1 新高考/1 5）函数,/（X）=|2 x-2 1 n x 的最小值为.命题意图考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理、数学运算能力.（2 x-l-2 1 n x,x g,2 1l-2 x-2 1 n x,0 x -.当 X,时/（x）=2-：=罕，令八x）=0,则 x=,所 以 当

16、 C，时/（x）0 次此单调递增，所以函数7 U）在区间G,+8）内的最小值为41）=1；当0树/（x）=-2-：l.综上/X）m i n =7 0）=1.解题技巧1.利用导数求函数/（X）在吊,句上的最值的一般步骤：（1）求函数在（4,份内的极值;（2）求函数在区间端点处的函数值负。）力勿;将函数 X）的各极值与人”）/x八 r 2 cc 3，八 八 12 288E(r)=0 x-+80 x+100 x.因为E(X)sin/ABC=tzsin C.(1)证明:8。=匕;若 4O=2OC,求 cosZ ABC.命题意图考查正弦定理、余弦定理，考查数学运算、逻辑推理能力.证明由正弦定理，得BD

17、b-ac=b2,BD-b.(2)解由(1)知 BD=h,：AD=2DC,.ADb,DC=h.在A A B D中，由余弦定理，得COS/8 D 4=BD2+4D2-4B2 _ 庐+你）-3 _ 13#-9c22BDAD 2b-b 12fc2在AC BO中，由余弦定理，得COSNBOC=_ 庐+.b）也2 _ 10庐9a22BDCD 2b-b 6Z2:NBDA+NBDC=n,Z c o sZ BDA+c o s ZBDC=0.即替1；：产=0,得 3 3=9 c 2+1 8式：/二QC,.：9c2-33ac+1 8 2=0.：c=3 或 c=|a在 A A B C 中，由余弦定理知,cos=a2；

18、：ac,7当 c=3 时,c o sN A 3 C=：l（舍）；67 7当 c二 目 时,c o sN A 3 C=适.7综上所述,co s Z ABC2 0.（2 0 2 1新曲考/2 0）（1 2分）如图，在三棱锥A-BCD中，平面A 8 O _ L平面B C D,A B=A D Q为B D的中点.（1）证明:0 4 _ 1 _。；（2）若 O C Z）是边长为1的等边三角形，点E在棱A D上,O E=2 E 4,且二面角E-BC-D的大小为4 5 ,求三棱锥A-BCD的体积.命题意图考查空间线线垂直的位置关系、几何体的体积，考查直观想象、逻辑推理能力.解（1）在 A B O中，：N 8=

19、A O,O为 的 中 点，/.AOVBD.:,平面A B O _ L平面BCD,平面A B O n平面B C C=8。工Ou平面ABD,.：A O _ L 平面 BCD.:,C O u平面 BCD,/.AOLCD.（2）如图，过 点E作EN/A O丈BD于N,过 点N 作 N M/C D 交BC于 M.：N O _ L 平面 B C D,ENA O,；.EN1平面 B C D.：E N 工 B C.在 B C D 中，：,0 8=。=。=1,.：ZfiCD=90,5P D C LB C.；NM C D,，NM1.B C.又 ENC NM=N,.：B C _ L平面 EMN,.：B C-LME.

20、：二面角E-8 C-。的平面丽是/E M V=4 5 ,即 E M N是等腰直痢三角形.丁 D E=2 A E,：ND=2 0 N,：M N 卷C D、=EN.：EN=ND=/.A 0=0 D=.V BC BD2-C D2=V 2 M 2 =低*VA-BCD=SBCDAO=x；X1X V 5 x l=g5 D L O规律总结求体积的两种方法:（1）割补法:求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体枳公式的几何体进行解决.（2）等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高（或几何体的高）.

21、2 1.（2 0 2 1.新高考/2 1）（1 2分）在平面直角坐标系x O），中,已知点F（g,0）,F 2（g,0）,点M满足|M Q|-|M F 2 l=2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设 点T在直线xg上，过7的两条直线分别交C于 两 点 和P,Q两点，且|771|T B|=|7P H T Q,求直线A8的斜率与直线P Q的斜率之和.命题意图考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理、数学运算能力.解 ：1MRHMF2|=2,且人（-旧,0）/2（旧,0）,（2 a=2,.:点M的轨迹为双曲线的右支,且满足 c=,（c2=a2+b2,仅2=i,*b2=1 6

22、,c2=1 7.：C 的方程为 -4=1（X 1）.设2,机），显然直线AB的斜率与直线P Q的斜率都存在.设直线 AB 的方程为 y=k(x-0 +m,A(xi,y),B(X2,y2),由 卜=后 )+皿(16x2-y2=16,得 16x2-/ci(/-%+：)+2攵 1 M x-g)+L =16,即(16-fci)x2+(fci-2k/n)x-好6=0.Z|7|.|TB|=(l+/ci)Q-?Q-g)=(1 +fci)xjX2-1(xi+X2)+J=(1+fci)抬 加2-16 1161 22klm-状16-/ci+?=好)招M+劭 器 设无2=心,同理可得17nlTQ=(1+k分 喏?丁

23、|加|阳=|研股|,.:(l+k分m24-12 Z1,2、k(第病+12后-16 1-16般=k 16kz.好=k 2：21#&2,二/二1：M+-2=0.22.(2021 新高考/22)(12 分)已知函数加:)=M 1 -In x).(1)讨论於)的单调性;设a,h为两个不相等的正数，且bin a-an/?=也证明:21+101Ax)单调递增；当xe(l,+oo)时/(x)0 x)单调递减.即在区间(0,1)内，函数y(x)单调递增;在区间(1,+8)内，函数式x)单调递减.(2)证明由 blnaalnb=a-b,得，=器 一人 1 、令 X=-a,X 2=Tbl/X2,不妨设 X%2,令

24、.1(x)=0,得 x=1 .且 Xe)=0.结合(1)中的7U)的单调性,易知,0汨 I X2e.待证结论0 2 Vxi+X2 2.令 g(x)=J(x)-J(2-x)e(0,1),则 g=-ln(x(2-x)0,所 以g(x)在区间(0,1)内单调递增，所 以0=g(l)g(xi)=/xi)；/(2-),即 fi2-X)J(X)=J(X2 又八无)在区间(1,+8)上单调递减，所 以2XVX2,即Xl+X22.再证明x+X2e.方法一 当xzW e-l时，结论显然成立；当X2仁(e-l,e)Bt,xi 匕双钝”)v式e-2)u次 尤2)勺(e-X2)/2 (e-1 ,e),令 ft(x)=y(x)e-x),xe(e-1,e),/f(x)=ln(x(e-x),则力(x)在区间(e-l,e)内先单调递减后单调递增，故 (x)0.对x(e-l,e),则/?(%2)0,即.人检)勺0及).故/Ui)勺结合当x(0,l)时1y(x)单调递增，有xieX2,即x)+x20,所 以F(x)在区间(0,e)内单调递增，即 F(x)F(e)=0,所以当工(0而时)8。).令，力UD力(X 2),则 f=y(X2)+X2xi,即 X|+X2/+X2e.综上,2xi+x2e.故2+k e成立.a b