旋转模型专题中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、旋转模型专题、等线段共点 二、按图形分类 1、等腰三角形，2、等边三角形，3、等腰直角三角形，4、正方形 三、按模型分类 1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型 4、与勾股定理结合 5、费马点问题 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系

2、式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有例题精讲 一、手拉手模型 1、已知：如图，点 C为线段 AB上一点，ACM、CBN 是等边三角形 常见结论：（1）AN BM （2）CD CE （3）CF 平分 AFB（4）CDE 是等边三角形（5）AFM=60 且保持不变 2、如图，在凸四边形 ABCD中，BCD 30,DAB 60，AD AB 求证：AC2 CD 2 BC2 3、已知 ABC，以 AC 为边在 ABC外作等腰

3、ACD，其中 AC AD。如图，若 DAC 2 ABC，AC BC，四边形 ABCD是平 行四边形，则 ABC _ 如图，若 ABC 30，ACD是等边三角形，AB 3，BC 4，求 BD的长；如图 ，若 ACD 为锐 角，作 AH BC于 H，当 BD2 4 AH2 BC2时，D AC 2 AB 是C 否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。B A 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为

4、线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点

5、分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有、角含半角模型 4、已知：如图 1在 Rt ABC 中，BAC 90，AB AC，点 D、E分别为线段 BC 上两动点，若 DAE 45 探究线段 BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把 AEC绕点

6、A顺时针旋转 90，得到 ABE，连结 ED，使问题 得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：猜想 BD、DE、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明；当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明 5、在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 EAF=CEF=45，（1）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，如图 1，求证：AEG AEF；（2）若直线 EF与 AB、AD 的延长线分别交于点 M,N，如图 2，求证：EF 2 M

7、E2 NF 2（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段 图1 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正

8、方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有EF，BE，DF 之间的数量关系 6、在等边 ABC的两边 AB，AC所在直线上分别有两点 M，N，D 为 ABC 外一 点，且 MDN 60，BDC 120，BD CD，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系及 AMN 的周长与等边 ABC 的周长 L 的关系 如图，当点 M，N在边 AB，AC上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的 数量关系式；此时 Q=如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM DN 时，猜想（1）问的两个结论

9、 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图，当点 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用 x，L 表示）图C 图含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转

10、得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有三、对角互补类 7、已知：MAN，AC平分 MAN 在图 1 中，若 MAN DCB 90，证明：AB AD 2AC 在图 2 中，若 MAN 120，DCB 60，探究 AB、AD、AC三者之间的数量 关系，并给出证明；在图 3中：若 MAN（0 180），DCB 180，则 AB AD _ AC（用含 的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）8、如图1，正方形ABCD和正方形 QMNP，M是正方形 ABCD的对称中心，MN交 AB于F，QM 交

11、AD于E 猜想：ME与MF 的数量关系 如图 2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且 M B，其它条件不变，探索线段 ME与线段 MF的数量关系，并加以证明 如图 3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且 AB:BC 1:2，其它条件不 变，探索线段 ME与线段 MF的数量关系，并说明理由 如图 4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且 M B，AB:BC m，其它条件不变，求出 ME:MF 的值（直接写出答案）N 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作

12、等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有 CB M F 图3 P 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图

13、在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有 四、直角三角形斜边中点 9、在等腰直角 ABC中，ACB 90，AC BC，M 是 AB的中点，点 P从 B出发 向C运动，MQ

14、MP 交AC于点 Q，试说明 MPQ 的形状和面积将如何变化 10、等腰直角三角形 ABC，ABC 90，AB 2，O为 AC 中点，BEF 的周长 11、已知 RtABC 中，AC=BC，C=90，D 为 AB 边的中点，EDF=90，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC、CB（或延长线）于 E、F 当EDF 绕 D点旋转到 DEAC于 E时（如图 1），易证 1 S DEF S CEF S ABC 当EDF 绕D 点旋转到 DE和 AC不垂直时，在图 2和图 3这两种情况下，上述 结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，SDEF,SCEF,SABC 又有怎 样的数量关系？请写出

15、你的猜想，不需证明 EOF 45，求 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线

16、段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有 图 1 图 2 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其

17、余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有五、等线段共点 12、如图所示，P是等边 ABC内部一点，PC 3，PA 4，PB 5，求 ABC的 边长.S BPC=,S ABP=,S APC=,S ABC=,13、P 为等边 ABC 内一点，APB 113，APC 123，求证：以 AP、BP、CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.14、如图，P为正方形 ABCD内一点，PA1，PD2，PC3，将 PAD绕着 D 点按逆时针旋转 90 到 DCM 的位置(1)求 APD 的度数。(2)求正方形的边长 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点

18、问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有 C 含半角模型对角互补模型与勾股定

19、理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有六、费马点问题 15、阅

20、读下列材料 对于任意的 ABC，若三角形内或三角形上有一点 P，若 PA PB PC有最小值，则取到最小值时，点 P 为该三角形的费马点。若三角形内有一个内角大于或等于 120，这个内角的顶点就是费马点 若三角形内角均小于 120，则满足条件 APB BPC APC 120 时，点 P 既 为费马点 解决问题：如图，ABC中，三个内角均小于 120，分别以 AB、AC为边向外作等边 ABD、ACE，连接CD、BE交于点 P，证明：点 P 为 ABC 的费马点。（即证明 APB BPC APC 120）且 PA PB PC CD 如图，点 Q为三角形内部异于点 P 的一点，证明：QA QC QB

21、 PA PB PC 若 ABC 30，AB 3，BC 4，直接写出 PA PB PC的最小值含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正

22、方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有16、如图，四边形 ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M 为对角线 BD上任意 一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 AM、CM、EN 求证：AMB ENB 当 M 点在何处时，AM CM 的值最小；当 M 点在何处时，AM BM CM 的值最小，并说明理由；当 AM BM CM 的最小值为 3 1 时，求正方形的边长 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求

23、证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有17、阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图 1,ABC中，ACB=30o，BC=6，AC=5，在ABC 内部有一点 P，连接 PA、PB、PC

24、，求 PA+PB+PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线 段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图 2，将 APC 绕点 C 顺时针旋转 60o，得到 EDC，连接 PD、BE，则 BE 的长即为所求（1）请你写出图 2 中，PA+PB+PC的最小值为；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，菱形 ABCD中，ABC=60o，在菱形 ABCD内部有一点 P，请 在图

25、 3 中画出并指明长度等于 PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形 ABCD 的边长为 4，请直接写出当 PA+PB+PC值最小时 PB的长图1 图2 AD 图3 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并

26、给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有七、最值问题 18、已知：PA 2，PB 4，以AB为一边作正方形 ABCD，使 P、D两点落在直 线 AB 的两侧.如图，当 APB 45 时，求 AB 及 PD 的长；当 APB变化，且其它条件不变时，求 PD的最大值及相应 APB的大小.19、如图，已知 ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，点 D是 BC的中点作 正方形 DEFG，使点 A、C分别在 DG 和DE 上，连接 AE、BG

27、试猜想线段 BG和 AE的数量关系，请直接写出你得到的结论 将正方形 DEFG绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或 等于 360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 若 BC DE 2，在的旋转过程中，当 AE为最大值时，求 AF 的值 D P B F B D C B D C 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别

28、为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有八、综合应用 20、已知：在 Rt ABC 中，AB BC，在Rt ADE 中，AD DE，连结 EC，取EC的 中点 M，连结 DM 和BM 若点 D在边 AC上，点 E在边 AB上且与点 B不重合，如图，探索 BM、D

29、M 的关系并给予证明；如果将图中的 ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45 的角，如图，那么中的 结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 21、已知：如图，OAB 与 OCD 为等腰直角三角形，AOB COD 90 如图，点 C、D分别在边 OA、OB上，联结 AD、BC，点 M为线段 BC的中 点，联结OM，请你猜想 OM 与 AD的数量关系：(直接写出答案，不必证明)；如图，在图 1的基础上，将 OCD绕点 O逆时针旋转一个角度(0 90)C C 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角

30、形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有 OM 与 AD 的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；求证：OM AD O 含半角模型对角互补模型与勾股定理结合费马点问题例题精讲一手拉手模型已知如图点为线段上一点是等边三角形常见结论平分是等边三角形且保持不变如图在凸四边形中求证已知以为边在外作等腰其中如图若四边形是平行四边形半角模型已知如图在中点分别为线段上两动点若探究线段三条线段之间的数量关系小明的思路是把绕点顺时针旋转得到连结使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题猜想三条线段之间存在的数量关系式并对你的猜想并给予证明图在正方形中点分别在边上且将绕着点顺时针旋转得到如图求证若直线与的延长线分别交于点如图求证将正方形改为长与宽不相等的矩形若其余条件不变请你直接写出线段之间的数量关系在等边的两边所在直线上分别有