中考中以正方形为背景的旋转问题中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、正方形探索题 1、如图 1，正方形 ABCD 中对角线 AC、BD相交于 O，E为 AC上一点，AG EB交 EB于G，AG交 BD于 F。(1)说明 OE=OF 的道理；(2)在（1）中，若 E为 AC延长线上，AG EB交 EB的延长线于 G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图 2，则结论：“OE=OF”还成立吗请说明理由。2、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转。（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BEEF，相交于点GH，时，如图 3，通过

2、观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论并证明你的结论。（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点GH，时（如图 4），你在图 3 中得到的结论还成立吗简要说明理由。图 1 图 2 A B G C E H F D 图 3 A B G C E H F D 图 4 3、如图，将一把三角尺放在正方形 ABCD 上，并把它的直角顶点 P在对角线 AC上滑动，直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 OC相交于点 Q，探究：当点 Q在 DC上时（图 5），线段 PQ与线段 PB有怎样的大小关系试说明你观察到的结论 当点 Q在 DC的延长线上时（图 6），中观察到的结论还成立吗

3、说明理由。4、如图 7，在ABC中，ACB为锐角，点 D为射线 BC上一动点，连接 AD，以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF。解答下列问题：（1）如果 AB=AC，BAC=90。当点 D在线段 BC上时（与点 B不重合），如图 8，线段 CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。当点 D在线段 BC延长线上时，如图 9，中的结论是否仍然成立，为什么（2）如果 AB AC，BAC 90，点 D在线段 BC上运动时。试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点 C、F 重合除外）画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）（初二）图 5 图 6 交于其他条件不变如图则结论还成立吗

4、请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当（3）若 AC 4 2，BC

5、=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE与线段 CF相交于点 P，求线段 CP长的最大值（初三）解：（1）CF与 BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；当点 D在 BC的延长线上时的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF，DAF=90 BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又 AB=AC，DABFAC ，CF=BD ACF=ABD BAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90即 CFBD （2）画图正确 当BCA=45 时，CFBD（如图丁）理由是：过点 A作 AGAC 交 BC于点 G，AC=AG 可证：GADCAF A

6、CF=AGD=45 BCF=ACB+ACF=90 即 CFBD （3）当具备BCA=45 时，过点 A作 AQBC 交 BC的延长线于点 Q，（如图戊）DE与 CF交于点 P时，此时点 D位于线段 CQ上，BCA=45，可求出 AQ=CQ=4 设 CD=x，DQ=4x，容易说明AQDDCP，CPCDDQAQ，44CPxx，图 8 图 9 图 7 图丁 GABCDEF图戊 PQABCDEF交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与

7、的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当221(2)144xCPxx 0 x3 当 x=2 时，CP有最大值 1 5、(2008 黑龙江黑河)已知：正方形中，交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个

8、足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当绕点顺 时 针 旋 转，它 的 两 边 分 别 交（或 它 们 的 延 长 线）

9、于 点交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运

10、动时试探究当 当绕点旋转到交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为

11、什么如果点在线段上运动时试探究当时（如图1），易证（1）当绕点交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段

12、延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当旋转到时（如图2），线段和交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间

13、的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明（2）当绕点交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作

14、正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当旋 转 到 如 图3的 位 置 时，线 段和之间又有怎样的数量关系请直接写出你的交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边

15、与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当猜想 .解：（1）成立 交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上

16、滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当如图，把绕点顺时针，得到交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方

17、形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当，则可证得三点共线（图形画正确）证明过程中，交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到

18、的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当证得：证得：交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点

19、时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当 （2）交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的

20、延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当 交于其他条件不变如图则结论还成立吗请说明理由图图用两个全等的正方形和拼成一个矩形把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边的中点重合且将直角三角尺绕点按逆时针方向旋转图图当直角三角尺的两直角边分别边分别与的延长线的延长线相交于点时如图你在图中得到的结论还成立吗简要说明理由如图将一把三角尺放在正方形上并把它的直角顶点在对角线上滑动直角的一边始终经过点另一边与射线相交于点探究当点在上时图线段与线段有锐角点为射线上一动点连接以为一边且在的右侧作正方形解答下列问题如果当点在线段上时与点不重合如图线段之间的位置关系为数量关系为当点在线段延长线上时如图中的结论是否仍然成立为什么如果点在线段上运动时试探究当