18微积分公式高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、 1.8无穷小的比较 一、无穷小的阶 阶的定义 二、关于等价无穷小的定理 定理1、定理2、用等价无穷小求极限sinx 、无穷小的阶 观察与比较:观察两个无穷小比值的极限:V2 3r lim=0,lim =oo,lim XT。3X XT。x x-0 两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无 穷小趋于零的“快慢”程度.在兀-0的过程中，兀20比3兀-0“快些”,反过来3%-0 比 兀2-0“慢些”,而sin XT 0与x-(r快慢相仿”.较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一

2、无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计 一、无穷小的阶 阶的定义：设。及0都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小.如果lin上=0,就说0是比Q高阶的无穷小，记为0=o(a)；a 如果

3、ling=oo,就说0是比cd氐阶的无穷小.a 如果lim=cH0,就说0与a是同阶无穷小；a 如果=CHO,k0,就说0是关于Q的阶无穷小.a 如果lin上=1,就说0与Q是等价无穷小，记为tz0 a 较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时

4、与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计举例:3r2 因为lim二匚=0,所以当兀-0时，3兀2是比兀高阶的无穷小，XT0兀 即 3x 2=o(x)(x 0).因为lim半=00，所以当H-OO时丄 是上洁 低阶的无穷小 nT8 1 n n x-9 因为lim -=6,所以当%-3时，兀2_9与兀一3是同阶无 23 X-3 穷小.较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀

5、的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计 因为lim =,所以当-0时，1-cosx是关于兀的二 5 兀2 2 阶无穷小.因为lim

6、岂亡=1,所以当x-0时，sinx与x是等价无穷小，2%即sin x兀(x 0)较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小

7、之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计证明必要性设Q0，则(P 二、关于等价无穷小的定理 定理1 0与。是等价无穷小的充分必要条件为 p=a+o(a).lim 口 a 因此严a=o(tz),即 ft=a+oa)充分性设0=Q+O(Q),则 v P a+o(a)lim=lim-a a 因此a0 较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀

8、是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计 例1因为当兀一0时sin兀x,所以当兀一0时，有 sin%=x+o(x)因为当XTO时tan x A:,所以当x0时，有 tan x=o(x)因为当XTO时1-cosx x1 2,所以当兀一0时，有 2 1 C C 1-cos X=X+o(x)2 较

9、观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可

10、使计 定理2设/,00，,且lim存在，贝IJ 0 lim=lim彳 a a 证明 lin/a a a)=Iim lim lim =lim 0 af a ar 定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可 用等价无穷小来代替.因此，如果用来代替的无穷小选取得适 当，则可使计算简化.较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无

11、穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计举例:亠，tan 2x 例2 求lim XTO sin5x 解 当兀TO时,tan 2x2x,sin 5%5x,所以“tan 2x lim-XTO sin 5兀 兀TO 5x 所以 求 lim 2 X sin x 3+3x 当x 0时sin兀x,无穷小x3+3兀它本身显然是等价,lim x-0 sinx

12、 十 x=lim i 5%+3 3 较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的快慢程度在兀的过程中兀比兀快些反过来比兀慢些而与快慢相仿阶的定义一无穷小的阶设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷穷小如果上就说与是等价无穷小记为举例因为二匚所以当兀时兀是比兀高阶的无穷小兀即因为半所以当时丄是上洁低阶的无穷小因为所以当时兀与兀一是同阶无穷小因为所以当时是关于兀的二兀阶无穷小因为岂亡所以当时与是等价则因此例因为当兀一时兀所以当兀一时有因为当时所以当时有因为当时所以当兀一时有定理设且存在贝彳证明定理表明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替因此如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计