17微积分公式高等教育微积分高等教育微积分.pdf

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1、 1.7极限存在准则 两个重要极限 一、准则 I 准则I、准则r 二、第一个重要极限 第一个重要极限 三、准则 II 单调数列、准则II 四、第二个重要极限 第二个重要极限 五、求极限小结 一、准则 I 准则I:如果数列、儿及0满足下列条件：(1)ynxts ns 那么数列/的极限存在，且lim x=a.ns 证明 因为lim y=a,lim zn=a,由极限的定义，V0,ns ns 32V0,当N时，有I儿厂QIVE及匕厂QIVG 即 a-yna+s,a-z na+s,又因ynxnN时,有 a-y nxfz na+,极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极

2、限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 即xn-as这就证明了 lim x=a 7?-oO 极限第二个重要极

3、限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是那么且 l

4、im f(x)=A.、准则 I 准则I:如果数列、儿及0满足下列条件:(1)ynxfs ns 那么数列/的极限存在，且lim x=a.ns 准则I:如果函数g(x)、yoo及力(兀)满足下列条件：当 xeU.r)(或xM)时，有 g(x)f(x)xo XXQ(xco)(xco)极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单

5、调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是第一个重要极限：lim 沁=1.XTO x 证明 如图，AAOB的面积 v 扇形的面积v AAOD,极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要

6、极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 第一个重要极限：lim 沁=1.XTO x 根据第一个重要极限，在极限血1兰竺凹 中，如果4(劝是无 a(x)穷小就有lim 叱凹=1,需要注意的是若加兀)不是无穷小，则 6Z(X)lim血(X)就不一定是1

7、.a(x)因为，令u=a(x),贝Ijw-0,于是 lim“sin w=lim-a(x)极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列

8、一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 lim 叫=lim x-0/i sinx 1 i sinx 1=lim-lim-=1 XTO x XTOCOSX 求lim 1-cosx lim 1 COS X!=lim 2sin2f sin x1 x-0 x1 x sin 2 x 极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是

9、若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 三、准则 II 单调数列：如果数列满足条件%1x2x3.xxn+iX2X3.xtxn+l.就称数列兀”是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列.准则II:单调有界数列必有极限.极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极

10、限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也 曾指出：有界的数

11、列不一定收敛.现在准则II表明：如果数列 不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就 是这数列一定收敛.极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数

12、列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 四、第二个重要极限(n 设兀尸1+-,可以证明数列%“是单调增加并且有界.n丿 根据准则II,数列入必有极限.这个极限我们用e来表示.即(丫 lim 1+=e 7?OC e是个无理数，它的值是e=2.718281828459045-.还可证明 极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺

13、凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是lim 1+X-oO极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据

14、第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是第二个重要极限:(lim X-oO 兀丿 注：根据第二个重要极限，在极限lirnl+a(x)E中，如果(劝 是无穷小，就有lim l+a(Q市.这是因为，令=-,则u 00,于是 6Z(X)liml+

15、(x)aU)=lim US极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限

16、在极限中如果劝是无穷小就有市这是 解 令t=-x,贝Ijx-00时，t S 于是(1 y(1 lim 1=lim 1+-求lim 1 x丿 XS 极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数

17、列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是X-00 x丿极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收

18、敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是 求极限小结 求lim x2 求lim sin x 求lim JVT3-5x+3 兀一3%2-9 求lim XTO tanx x 2x 3 5x+4 求lim x0 1-cosx%2 求lim 求lim 兀一。0 3x3+4x2+2 7x3+5x2 3 求lim XS 求lim XS 极限第二个重要极限五求极限小结一准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且证明因为由极限的定义当时有儿厂及匕厂即又因所以当时有即这就证明了准则准则如果数列儿及满足下列条件那么数列的极限存在且准根据第一个重要极限在极限血兰竺凹中如果劝是无穷小就有叱凹需要注意的是若加兀不是无穷小则血就不一定是因为令贝于是叫三准则单调数列如果数列满足条件就称数列兀是单调增加的如果数列满足条件就称数列兀是单调减少的那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛四第二个重要极限第二个重要极限兀丿注根据第二个重要极限在极限中如果劝是无穷小就有市这是