《二次函数》知识点梳理与总结中学教育中考中学教育中考.pdf

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1、 九年级二次函数知识梳理与总结 考点 1、二次函数的概念 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.注意点：（1）二次函数是关于自变量 x 的二次式，二次项系数 a 必须为非零实数，即 a0，而 b、c 为任意实数。（2）当 b=c=0时，二次函数2axy 是最简单的二次函数。（3）二次函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）典型例题：例 1：函数 y=（m 2）x22m2x1 是二次函数，则 m=例 2：已知函数 y=ax2bxc（其中 a，b，c 是常数），当 a 时，是二次函数；当 a ，b 时，是一次

2、函数；当 a ，b ，c 时，是正比例函数 例 3：函数 y=（m n）x2mxn 是二次函数的条件是（）Am、n 为常数，且 m 0 Bm、n 为常数，且 m n Cm、n 为常数，且 n0 Dm、n 可以为任何常数 例 4：下列函数中是二次函数的有（）y=xx1；y=3（x1）22；y=（x3）22x2；y=21xx A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 考点 2、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a0），对称轴：直线 x=ab2 顶点坐标：(abacab4422，)（2）顶点式：khxay2（a0），对称轴：直线 x=h 顶点坐标为（h,k）（3）交点式：y=a（x-

3、x1）（x-x2）（a0）,对称轴:直线 x=22x1x (其中 x1、x2是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标).例 1：抛物线822xxy的顶点坐标为 ；对称轴是 。例 2：二次函数 y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是 例 3：已知函数2)(22xmmmxy的图象关于 y 轴对称，则 m _；例 4：抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴的交点坐标是_ _.例 5：把方程 x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后 a=(),b=(),c=()例 6：考点 3、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式

4、.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴

5、的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.例 1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线 y=2x2相同，这个函数解析式为_ _ _ 例 2：已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且过点（1，2），求抛物线的解析式。例 3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。例 4：已知二次函数的图像与 x 轴的 2 个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。考点 4.二次函数的图象 1、二次函数 cb

6、xaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 3、二次函数cbxaxy2的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.典型例题：例 1：函数 y=x2的顶点坐标为 若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是 例 2：若点 A（3，m）是抛物线 y=x2上一点，则

7、 m=例 3：函数 y=x2与 y=x2的图象关于 对称，也可以认为 y=x2，是函数 y=x2的图象绕 旋转得到 例 4：若二次函数 y=ax2（a0），图象过点 P（2，8），则函数表达式为 是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象

8、数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析 例 5：函数 y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点 例 6：点 A（21，b）是抛物线 y=x2上的一点，则 b=；点 A关于 y 轴的对称点 B是 ，它在函数 上；点 A关于原点的对称点 C是 ，它在函数 上 例 7：若 a1，点（a1，y1）、（a，y2）、（a1，y3）都在函数 y=x2的图象上，判断 y1、y2、y3的大小关系？例 8：如图，A、B分别为 y=x

9、2上两点，且线段 AB y 轴，若 AB=6，则直线 AB的表达式为（）Ay=3 By=6 Cy=9 Dy=36 考点 5.二次函数的性质 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x（y轴）（0,0）kaxy2 0 x（y轴）(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当 a0时，在对称轴左侧，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着 x 的增大而增大；当 a0时，函数有最小值，并且当 x=ab2，y最

10、小 abac442 当 a0 时，当 x 为何值时，y=0；当 x 为何值时，y0时，函数开口方向向上；当 a0，b0，c=0 B.a0，b0，c=0 C.a0，b0，c0，b0，c=0 例 2：在同一直角坐标系中，直线 y=ax+b 和抛物线的图象只可能是图中的（）是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的

11、横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析 例 3：在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（）例 4：（2009 年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A、y=x2-x-2 B、y=121212 x C、y=121212xx D、y=22xx 例 5：（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所

12、示，则下列结论：0ac；方程20axbxc 的两根之和大于 0；y随x的增大而增大；0abc ，其中正确的个数（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 x y O 1 是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上

13、三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析例 6：（2009 丽水市）已知二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论：a0.该函数的图象关于直线1x 对称.当13xx或时，函数 y 的值都等于 0.其中正确结论的个数是（）A3 B2 C1 D0 考点 9、抛物线的平移 方法：左加右减，上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式 向上（k0）向下（k0）向下（k0时，抛物线有最低点，函数有最

14、小值，当 x=ab2，y最小 abac442 2、当 a0时，方程02cbxax 有两个不相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与 x 轴有两个不同的交点。当0时，方程02cbxax 有两个相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与 x 轴有一个交点。当0)=b2-4ac y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c=0 的实根 ax2+bx+c0 的解集 ax2+bx+c0 y o x x1，2=ab2（x1x2）(-,x1)(x2,+)（x1,x2）=0 y o x x1=x2=-ab2 xx-ab2 0 y=0 y0？例 2：已知二次函数 yx2(2m+1)xm2的图象与 x 轴有两个交点

15、求 m 的取值范围；当这两个交点的横坐标的平方和为 7 时，求 m 的值 设二次函数 yx2(2m+1)xm2的图象与 x 轴有两个交点为（x1，0），（x2，0），例 3：已知抛物线 yax2bxc 的图象如图所示，则方程 ax2bxc-3=0 的根的情况是 例 4:已知抛物线 y=x22x3，求抛物线与 x 轴的交点坐标；利用图象说明，当 x 为何值时，y0？，y=0？,y0？例 5：已知二次函数 ykx27x7 的图象和 x 轴有两交点，则 k的取值范围是 例 6：已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则：这个二次函数的解析式为 ；当 x 时，y3 当 x 时，y0；当 x

16、时，y0 例 7：观察右图二次函数 yx2mx4 的图象回答：方程 x2mx40 的解是 ；不等式 x2mx40 的解集是 ，不等式 x2mx40 的解集是 考点 14、二次函数的应用 是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式

17、一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）3、跨学科综合题（动点问题、存在性问题、探索性问题等）典型例题：例 1:如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于 1 的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，

18、鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x 例 2:当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的 2 倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？例 3:(3).如图 7，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高

19、1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶

20、点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析4 m(0,3.5)3.05 mx yO 例 4:某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可售出 100 件。现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 元，其销售量就要减少 10 件，如果他每天所赚利润为 y元，试求出 y 与售出价 x 之间的函数关系式。(5).已知抛物线交于 A、B两点，已知 A点的横坐标是 3，求 A、B两点的坐标及抛物线的关系式。例 5:某地解放大桥拱形钢梁呈抛物线状，拱顶 A离桥面 50m，桥面上拱形钢梁之间距离

21、BC=120m，建立如图所示的直角坐标系。（1）写出 A、B、C三点的坐标；（2）求该抛物线的解析式。例 6:.某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？例 7:已知二次函数 y=(m22)x24mx+n 的图象的对称轴是 x=2，且最高点在直线 y=21x+1 上，求这个二次函数的表达式.是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即

22、而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析 是关于自变量的二次式二次项系数必须为非零实数即而为任意实数当时二次函数是最简单的二次函数二次函数是常数自变量的取值为全体实数为整式典型例题例函数是二次函数则例已知函数其中是常数当时是二次函数当时是一次函函数的有个个个个考点三种函数解析式一般式对称轴直线顶点坐标顶点式对称轴直线顶点坐标为交点式对称轴直线其中是二次函数与轴的两个交点的横坐标例抛物线的顶点坐标为对称轴是例二次函数的一般形式是例已知函数的图象数的解析式一般式已知图像上三点或三对的值通常选择一般式顶点式已知图像的顶点或对称轴或最值通常选择顶点式交点式已知图像与轴的交点坐标通常选用交点式例一个二次函数的图象顶点坐标为形状与抛物线相同这个函数解析