专题强化练８ 抛物线的综合问题 高二上学期数学人教B版 选择性必修第一册第二章（含答案）.docx

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1、专题强化练8抛物线的综合问题一、选择题1.(山东威海高二月考,)已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为()A.12B.32C.2D.232.(辽宁大连高二期末,)设抛物线y=14x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(湖南张家界高二期末,)已知抛物线C:y2=8px(p0)的焦点为F,C与抛物线x2=py在第一象限的交点为M,且|MF|=4,则p=()A.6B.4C.2D.14.(山东章丘四中高二期中,)设斜率为3的直线过抛物线C:y2

2、=2px(p0)的焦点,与C交于A,B两点,且|AB|=163,则p=()A.12B.1C.2D.45.(多选)(安徽蚌埠高二期中,)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于另一点B,O为坐标原点,则下列结论中正确的是()A.抛物线的准线方程为x=2B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)C.点B的坐标为(-2,-2)D.OAB的面积为86.(湖北武汉高二期末,)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则d+|PQ|的最小值是()A.5B.4C.25+1D.13+17.(多

3、选)(山东烟台高二期末,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.CFD=90B.CMD为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为3D.AOB的面积为4二、填空题8.(广东惠州高二期末,)若直线x+y-2=0经过抛物线y=mx2的焦点,则m=.9.(重庆巴蜀中学高二期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点P在抛物线C上,且PFOF,则|OF-PF|=.三、解答题10.(山东临沂高三模拟,)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,

4、抛物线C上A,B两点满足AFBF,线段AB的中点为M,过点M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,求|AB|MN|的最小值.11.(河南郑州高二期中,)已知直线l1:x-3y+b=0(b0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l2,A是抛物线C上的一点,A到l1,l2的距离分别为d1,d2,当d1+d2取得最小值时,d1=2d2,求b的值.答案全解全析一、选择题1.B设该点的横坐标为x0,由于2p=6,所以p2=32,由抛物线的定义得该点到焦点的距离为x0+32,因此有x0+32=2x0,解得x0=32.2.C抛物线方程可化为x2=4y,所以p2=1,由于点P在抛物线上,且|PF|=3,所以P

5、到准线的距离为3,因此P到x轴的距离为3-1=2,反之也成立,故“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的充要条件.3.D由y2=8px,x2=py解得x=2p,y=4p或x=0,y=0,因此M(2p,4p).因为|MF|=4,所以M到抛物线C的准线的距离为4,即2p+2p=4,故p=1.4.C依题意得直线方程为y=3x-p2,代入抛物线方程得3x2-5px+34p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5p3,于是|AB|=x1+x2+p=5p3+p=8p3=163,故p=2.5.ABD将A(-2,4)代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,所以准线方程

6、为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B正确;易知AFx轴,所以B(-2,-4),故C错误;又因为|AB|=8,所以SOAB=1282=8,故D正确.6.B设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1.|FC|=(-2-1)2+42=5.由抛物线的定义可知P到抛物线准线的距离d=|PF|,则d+|PQ|=|PF|+|PQ|,如图,当C,Q,P,F四点共线时,d+|PQ|取得最小值,所以(d+|PQ|)min=|FC|-r=5-1=4.故选B.7.AC由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF

7、|,所以ACF=AFC,BDF=BFD,又因为ACF=OFC,BDF=OFD,所以AFC+BFD=OFC+OFD=CFD,而AFC+BFD+CFD=180,故CFD=90,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为1|AF|+1|BF|=2p=1,即1m+13m=1,所以m=43,即|BF|=43,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=43,于是x1=3,x2=13,当A在x轴上方时,可得A(3,23),B13,-233,从而kAB=3,当A在x轴下方时,同理可得kAB=-3,故C正确;由双曲线的对称性,不妨设A在x轴上方,则M53,233,C(-

8、1,23),D-1,-233,所以kMC=-32,kMD=32,所以MC与MD不垂直,故B错误;SOAB=SOAF+SOBF=12123+233=433,故D错误.二、填空题8.答案18解析抛物线方程可化为x2=1my,因此焦点在y轴上,又直线x+y-2=0经过焦点,所以焦点为(0,2),因此14m=2,解得m=18.9.答案5解析易知|OF|=1,|PF|=2,则|OF-PF|=|OP|=|OF|2+|FP|2=5.三、解答题10.解析设抛物线的准线为l,作AQl于点Q,BPl于点P,由抛物线的定义可知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,设|AF|=a,|BF|=b,因为AFBF,所以|

9、AB|=|AF|2+|BF|2=a2+b2,又因为M是线段AB的中点,所以由中位线定理得|MN|=a+b2,于是|AB|MN|=a2+b2a+b212(a+b)2a+b2=2,当且仅当a=b时等号成立,故|AB|MN|的最小值为2.11.解析由抛物线的定义知d1+d2=d1+|AF|,作FDl1于点D,当A、F、D三点共线且点A在线段FD上时,d1+d2取得最小值,此时点A在第一象限.易知F(1,0),所以|FD|=|1-0+b|12+(-3)2=b+12,因为d1=2d2,所以d1=b+13,d2=b+16.由FDl1易得直线FD的斜率为-3,所以直线FD的方程为y=-3(x-1),联立y2=4x,y=-3(x-1)可得x=13,y=233或x=3,y=-23(舍去),故A13,233,所以|AF|=d2=b+16=13+1,解得b=7.