专题强化练６ 椭圆的综合问题 高二上学期数学人教B版 选择性必修第一册第二章（含答案）.docx

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1、专题强化练6椭圆的综合问题一、选择题1.(吉林长春高二质量检测,)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.342.(山东烟台高三诊断考试,)已知动点P在椭圆x249+y240=1上,若点A的坐标为(3,0),点M满足|AM|=1,PMAM=0,则|PM|的最小值是()A.4B.15C.15D.163.(广东肇庆高二月考,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点,若直线PA的斜率kPA与直线PB的斜率kPB的乘积等于-14,则

2、椭圆C的离心率为()A.14B.12C.34D.324.(四川绵阳中学高二月考,)已知点P在离心率为12的椭圆E:x2a2+y2b2=1上,F是椭圆的一个焦点,M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=92,若|MN|的最小值为1,则椭圆E的焦距的取值范围是()A.1,3B.2,4C.2,6D.3,65.(山东青岛高二月考,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且|PF1|PQ|QF1|=234,则椭圆的离心率为()A.177B.1717C.519D.1766.(四

3、川成都七中高二期中,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点是C,且|AF2|=2|F2C|,若ABF2的周长为45,则椭圆的方程为()A.x25+y2=1B.x220+y216=1C.x25+y24=1D.x220+y212=17.(多选)(河北名校联盟高二诊断考试,)已知F1,F2分别是椭圆C:x2m+y24=1的两个焦点,若椭圆上存在使PF1F2的面积为3的点P的个数为4,则实数m的值可以是()A.2B.3C.92D.5二、填空题8.(湖南六校高二联考,)已知椭圆x2a2+y2b2

4、=1(ab0)离心率的最小值为23,其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则|PF1|PF2|=.三、解答题9.(重庆西南大学附属中学高二月考,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为M(-2,0),离心率为22.(1)求椭圆C的方程;(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当MAMB取得最大值时,求MAB的面积.答案全解全析一、选择题1.D解法一:不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故|AB|=3,所以内切圆半径r=2SC=68=34,其中S为ABF1的面积,C为A

5、BF1的周长.解法二:由椭圆的通径公式可得|AB|=2b2a=3,则ABF1的面积S=2312=3,ABF1的周长C=4a=8,则内切圆的半径r=2SC=68=34.2.B因为PMAM=0,所以PMAM,所以|PM|=|PA|2-|AM|2=|PA|2-1,易知A(3,0)为椭圆的右焦点,所以a-c|PA|a+c,即4|PA|10,所以|PM|15,311,所以|PM|的最小值为15.3.D依题意可知A(-a,0),B(a,0).设P(x0,y0),代入椭圆方程,得y02=-b2a2x02+b2,由kPAkPB=-14得y0x0+ay0x0-a=-14,即y02=-14x02+a24 ,由可得

6、b2a2=14,所以椭圆C的离心率e=ca=1-ba2=1-14=32.4.C因为M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=92,|MN|的最小值为1,所以|C1C2|=2+1+|PF|2=92,解得|PF|=3,又因为P在椭圆E上,所以a-c|PF|a+c,因为椭圆E的离心率为12,所以a=2c,所以c33c,故1c3,所以22c6.5.C设|PF1|=2,则|PQ|=3,|QF1|=4,则|PF2|=2a-2,|QF2|=2a-4,所以(2a-2)+(2a-4)=3,解得a=94,所以|PF2|=52.在PF1Q中,由余弦定理,

7、可得cosQPF1=22+32-42223=-14.在PF1F2中,由余弦定理,可得|F1F2|=22+522-2252-14=512,则椭圆的离心率为51494=519.6.C过C点作x轴的垂线,垂足记为D,易知AF1F2CDF2,所以AF1CD=F1F2DF2=AF2CF2=2,不妨设A-c,b2a,则DF2=c,CD=b22a,于是C2c,-b22a.由于C点在椭圆上,所以(2c)2a2+-b22a2b2=1,整理得4c2a2+b24a2=1,即5b24a2=1.又因为ABF2的周长为45,所以4a=45,得a2=5,所以b2=4,故椭圆的方程为x25+y24=1.7.AD当椭圆的焦点在

8、y轴上时,0m3,解得1m4,此时a=m,b=2,c=m-4,设椭圆的上顶点为B,则B(0,2),由于PF1F2面积的最大值为BF1F2的面积,所以122m-423,解得m194.结合选项知实数m的值可以是2,5.二、填空题8.答案5解析依题意|PF1|PF2|,设|PF1|PF2|=(1),则|PF1|=|PF2|.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=2a+1,又因为F2是右焦点,所以|PF2|a-c,因此2a+1a-c,整理,得e-1+1,于是有-1+1=23,故=5.三、解答题9.解析(1)由题意,可得a=2,ca=22,所以c=2,则b2=a2-c2=2.所以

9、椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时MAMB=0;当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x=ty+1,x24+y22=1,整理,得(t2+2)y2+2ty-3=0,显然0,y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-3t2+2,所以MAMB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)-3t2+2+3t-2tt2+2+9=15t2+2.当t=0时,MAMB取得最大值152,此时直线l的方程为x=1,不妨取A1,62,B1,-62,则|AB|=6.易知|MN|=3,所以MAB的面积S=1263=362.