三角函数值域的求法中学教育中学学案_中学教育-中学学案.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 例谈三角函数值域（最值）的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。一、合理转化，利用有界性求值域 例 1、求下列函数的值域：（1）1 sincosyxx （2）cos3cos3xyx（3）22sin2sincos3cosyxxxx （4）3sin()4cos()44yxx解析：（1）根据11sincossin2

2、22xxx可知：1322y （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos1yxy，由cos1x 可得：122y (3)原函数解析式可化为：21 sin 22cos2sin 2cos 222sin(2)4yxxxxx 可得：2222y （4）根据222222sincossin(),axbxabxabab 可得：55y 二、单调性开路，定义回归 例 2、求下列函数的值域：（1）1sin2yx （2）cos(sin)yx （3）2cos3sin,63yxx x （4）22cos5sin1yx 116sin0sin222xx解析：（1）由-1知：1sin1,cos1cos sincos1cos(sin)

3、122xxx （2）由-有（）125sin()663366xxx （3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y2 22533(4)2(1sin)5sin12(sin)0,248yxxx 学习好资料 欢迎下载 三、抓住结构特征，巧用均值不等式 2222min9sin430,()sin0sin0,44()9 sin2 9 sin12sinsin449 sinsin()12sin9xxxf xxxxxxf xxxxxxxxxxxxxf xxx 例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：当即时，例 4、sincos(),sin 已知其中、为锐角，求 tan的最大值 22sinsin()sin()cos

4、cos()sinsin cos()sin()cos2sin cos(),tan()2tantan()tantan12tantan()11 tantan()1 2tan42tantan112tantantan2 解析：由即有于是：当即时，有max2tan4（）四、易元变换，整体思想求解 5sincossincosyxxxx例、求函数的值域 222112sin()sin 22sin()12sin()424241sin()2sin()4422sin()142yxxxxxxx解法一：max1sin()1242xy当时，222max1sincos2sin()2,2,sincos4211(1)12,222

5、12,22txxttxxxtyttty 解法二：设，则，t故当时 有 类考试考察的热点之一这类问题的解决涉及到化归转换类比等重要的数学思想采取的数学方法包括易元变换问题转换等价化归等重常用方法掌握这类问题的解法不仅能加强知识的纵横联系巩固基础知识和基本技能还能提高数学思维函数解析式可化为可得根据可得二单调性开路定义回归例求下列函数的值域知解析由由有由知由正弦函数的单调性学习好资料欢迎下载三抓住结构特征巧用均值不等式根据均值不等式例若解析由当时求的最小值得即已知例其中为锐学习好资料欢迎下载解法三构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由得故当时有五方程架桥问题转化例求函数解析将问

6、题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件原函数解析式转化为令则的最大值学习好资料 欢迎下载 222222222maxsin,cos,sincos2,sincos122sincos1,222122sincossincos222,22221222xmnxmnxxmxxmnxmnmyxxxxmmnmmmmy 解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当时，有 五、方程架桥，问题转化 221 sin3sin62sinsin(4)sin320sin,132011xxyxxyxytxtty 例：求函数的最大值、最小值。解析：将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要

7、条件：原函数解析式转化为：令则 t在，上有解,故有：2(4)44112(1)0(1)0yyff （3-2y）0 或(1)(1)0ff 803y 解得：六、运用模型、数形结合 222sin82cos471 38303147 4733xyxkkk 例：求函数的值域。解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=12k-2 即：d=即解得：k=故所求函数的值域为：，类考试考察的热点之一这类问题的解决涉及到化归转换类比等重要的数学思想采取的数学方法包括易元变换问题转换等价化归等重常用方法掌握这类问题的解法不仅能加强知识的纵横联系巩固基础知识和基本技能还能提高数学思维函数解析式可化为可得根据可得二单调性开路定义回归例求下列函数的值域知解析由由有由知由正弦函数的单调性学习好资料欢迎下载三抓住结构特征巧用均值不等式根据均值不等式例若解析由当时求的最小值得即已知例其中为锐学习好资料欢迎下载解法三构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由得故当时有五方程架桥问题转化例求函数解析将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件原函数解析式转化为令则的最大值