15.3互斥事件与独立事件.docx

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1、互斥事件与独立事件痔知识梳理一、互斥与对立事件1、互斥事件的定义在一次随机试验中，事件A与8不可能同时发生，这时，我们称A,8为互斥事件。2、概率的加法公式如果事件A , 5互斥，那么事件A+3发生的概率，等于事件A , 5分别发生的概率的和, 即P(A + B) = P(A) + P(B),这时概率满足的第三个基本性质。3、概率加法公式的推广如果事件4，A2, , , 4 5 w M 2)中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A，&，4两两互斥,则p(a + 4+ -+4)= p(A)+ P(4)+P(4)4、对立事件若互斥事件A , C中必有一个发生，这时,我们称A ,。为对立事件，记作或

2、对立事件A与Z中必有一个发生，故A + N是必然事件。5、互斥事件与对立事件的关系区别(1)在一次试验中，两个互斥事件可能都不发生，也可能有一个发生，而两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生；(2)互斥事件可能是两个事件，也可能是多个事件，而对立事件只能是两个事件。联系两个事件时对立事件，则它们一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是 对立事件。6、随机事件概率的常用性质(1 ) P(A) = 1 -隔)；(2)当时，P(A)P(8)；(3 )当 A , 8 不互斥时，P(A + B) = P(A) + P P(AB)二、相互独立事件1、相互独立事件的定义故答案为：【变式4-2（20

3、23春辽宁本溪高一校考阶段练习）某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考 核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通 过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为:，机，且他是否通过每个考核相互独 立，若三个社团考核他都通过的概率为5 ,至少通过一个社团考核的概率为巳 ,贝加+ =L/JL J【答案】B【解析】因至少通过一个社团考核的概率为巳，1 WX则三个社团都没有通过的概率为工，依题意,1一(2 + ) + 加=解得加+ =而.故选：B.【变式4-3 （ 2023.江苏.高一专题练习）（多选）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘, 各盘比赛结果

4、相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为.，则（）A.该棋手三盘三胜的概率为B.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为C.若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为D .记该棋手连赢2盘为事件A ,则当该棋手在第二盘与甲比赛A）最大【答案】ACD【解析】对于A ,棋手胜三盘的概率为0.6x0.5x0.4 = 0.12 ,故A正确；对于B,棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件，其概率为0.5 x 0.4 = 0.2 ,故B错误；对于C ,连胜两盘事件的概率为0.6 x 0.5 x （1-0.4） + （1-0.6） x 0.5x

5、04 = 0.26 ,故C正确； 对于D ,第2盘与甲比赛连胜两盘的概率4=0.5x0.6x(1 0.4) + (1-0.5)x0.6x0.4 = 0.30 , 第2盘与乙比赛连胜两盘的概率巴=0.6x0.5x(10.4) + (l0.6)x0.5x0.4 = 0.26 , 第2盘与丙比赛连胜两盘的概率 =。6 x 0.4 x (1- 0.5) + (1 - 0.6) x 0.4 x 0.5 = 0.20 , 因止匕4 鸟 A，故D正确.故选：ACD.题型五相互独立事件概率的综合应用例5( 2023春全国高一专题练习)在高中学生军训表演中，学生甲的命中率为，学生乙 的命中率为，甲乙两人的击互不

6、影响，求：(1 )甲乙同时射中目标的概率；(2 )甲乙中至少有一人击中目标的概率.【答案】(1 ) 0.12 ；(2) 0.58【解析】(1 )设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件8 , 则尸(4)=0.4,尸(国=0.3 ,且事件A , 8相互独立，所以甲乙同时射中目标的概率为P(4B)=尸.尸= 0.4x0.3 = 0.12.(2 )设“甲乙中至少有一人击中目标”为事件。,贝沱的对立事件为“甲乙都没有击中目标”记为：A B ,则尸(C)= l-尸(,同=1-尸(可尸(耳)= 1-(1-0.4)00.3)= 0.58.【变式5-1 ( 2023.江苏.高一专题练习)(1 )抛掷两枚

7、质地均匀的骰子，设A=”第一次出现奇 数点3=”两枚骰子点数之和为3的倍数”，判断事件A与事件8是否相互独立,并说明理 由.(2 )甲乙两名射击运动员进行射击考核测试，每人每次有两次射击机会，若两次机会中至少 有一次中靶，则考核通过.已知甲的中靶概率是，乙的中靶概率是，甲乙两人射击互不影响.求 两人中恰有一人通过考核的概率.【答案】(1 )事件A与3独立，理由见解析;(2 ) 0.2212.【解析】(1)尸5)=泊，,尸(码=怒=!,o 2oxo 3oxo o则P(AB) =P(A)P(3),所以事件A与3独立;(2 )设。=甲通过考核1。=乙通过考核”.P(C)= 1-(1-0.7)2=0.

8、91 ,P(D)= l-(l-0.6)2=0.84 ,P(CD + CD) =0.91x(1-0.84) + (1-0.91)x0.84 = 0.2212.即恰有一人通过考核的概率为0.2212.【变式5-2】(2023.江苏.高一专题练习)某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有 一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下 一关.已知第一关的通过率为，第二关、第三关的通过率均为，第四关的通过率为，四关全 部通过可以获得一等奖(奖金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)， 如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过

9、每一关相互独立，现有 甲、乙两位选手参加本次活动.(1 )求甲未获得奖金的概率；(2 )求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率.【答案】(1) 0.825; ( 2 ) 0.0098【解析】(1 )获得二等奖的概率为0.7x0.5x0.5x0.8 = 0.14 ,获得一等奖的概率为0.7x0.5x0.5x0.2 = 0.035 , 所以甲未获得奖金的概率为1-0.14-0.035 = 0.825 .(2 )由(1 )可知，获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为.甲和乙最后所得奖金之和为900元， 则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖， 则所求的概率为 0.035 x 0.14 +0.14

10、x 0.035 = 0.0098 .【变式5-3】(2023.江苏.高一专题练习)为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比 赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比 赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为:,| ；在第二轮比赛中，甲、乙胜 JJ出的概率分别为1,1,甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；(2 )从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大?(3 )若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.2223【答案】(1 ) ：; ( 2 )派甲参赛获胜的概率更大；(

11、3)- JJ Vz【解析】(1 )设4 /甲在第一轮比赛中胜出I 4 = 甲在第二轮比赛中胜出B、= 乙在第一轮比赛中胜出”，4=乙在第二轮比赛中胜出4933则A, 4 ,与，当相互独立，且P(A) =三，P(4) = a , P(4)=.。(与)=；,设。=”甲在比赛中恰好赢一轮”贝！尸(乃=尸(44+无 &)=尸(aA)+p(无4)= *!+!、：=白=：(2 )因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则44= 甲赢得比赛=”乙赢得比赛4 ?83 3 Q所以所44) = p(A)尸(4)=7二,pb2) = p(b1)p(b2)=-x- = -,8 Q因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；JL 0 乙

12、 1/(3 )设。=“甲赢得比赛”，石=乙赢得比赛于是。 = “两人中至少有一人赢得比赛、Q由（2）知,p（d） = p（A4）=-gP（E）= P（BA）= -417所以P（万）=1-尸（。）=1-2=2 ，JLJLP(E)= 1-P(E)T-2 20 20所以(DU闾=1(函=1(咽【变式5-4(2023江苏高一专题练习)某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体 活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲3队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响.(1)若采用三局两胜制进行比赛(即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束)，求甲队获胜的概率；(2)若采用五

13、局三胜制进行比赛(即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束)，求乙队在第四 场比赛后即获得胜利的概率.【答案】(1)哉；(2)总【解析】(1)设4(123)表示甲队在第i场比赛获胜.贝(a)=*p闾=*事件甲队获胜可表示为44+4砥+442A3 ,所以事件甲队获胜的概尸(44 + 444+444)=尸(A4)+p(A用43)+尸(/4),所以尸(A4+A月以+泵4)=尸(4)尸(4)+尸(4)尸(可尸(4)+尸伍)尸(4)尸H).、22 2),即若事件。4,相互独立,那么 P(A& 4)= P(A)P(a)P(A)4、相互独立事件与互斥事件的关系A , B关系概率记法A , B互斥A,3相互独立至少

14、一个发生P(A+B)P(A) + P(B)同日拨生P(AB)0P(A)P(B)都不发生P(AB)1-1P(A) + P(B)P(N)P(初恰有一个发生P(AB + AB)P(A) + P(B)P(A)P(B) + P(A)P(B)至多一个发生P(AB + AB + AB)1智常考题型题型1互斥事件与对立事件的判断题型2互斥事件与对立事件的概率计互斥事件与独立事件题型3事件独立性的判断题型4相互独立事件的概率计算 题型5相互独立事件概率的综合应用等题型精析题型一互斥事件与对立事件的判断【例1】(2023全国高一专题练习)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的 点数为奇数”，事件2表示

15、“骰子向上的点数为偶数事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A.事件1与事件3互斥 B .事件1与事件2互为对立事件C.事件2与事件3互斥 D.事件3与事件4互为对立事件【答案】B【解析】由题可知，事件1可表示为：A = 1,3,5,事件2可表示为：B = 2,4,6）,事件3可表示为：。= 45,6,事件4可表示为：D = 1,2, 因为41C = 5,所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，Aug为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为B C = 4,6,所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为Cc。为不可能事件，不为必然事

16、件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.【变式MJ （ 2023四川内江统考三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正 确的是（）A .事件，两次均击中“与事件，至少一次击中”互为对立事件B .事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C .事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D .事件“恰有一次击中与事件两次均击中”为互斥事件【答案】D【解析】一个人连续射击2次，其可能结果为击中。次，击中1次，击中2次，其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；事件”第一次击中”包含第一次击中且第二次

17、没有击中，或第一、二次都击中， 事件“第二次击中”包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中， 故B错误；事件”两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；故选：D【变式1-2 （ 2023.广西柳州.柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一本政治与都是数学B .至少有一本政治与都是政治C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治【答案】D【解析】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的结果有

18、：“两本政治“两本数学”，“一本数学一本政治“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A ,事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；对于B ,事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系， 不是互斥事件，故B错误；对于C ,事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学“一本数学一本政治 因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；对于D , “恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.故选:D.【变式1-3】（2023春广东江门高一鹤山市第一中学校考

19、阶段练习）从装有2个红球和2个 黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有1个黑球与都是黑球B .至少有1个黑球与至少有1个红球C.至少有1个黑球与都是红球D.恰有1个黑球与恰有2个黑球【答案】D【解析】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，故选：D .题型二互斥事件与对立事件的概率计算例2( 2023全国高一专题练习)围棋起源于

20、中国，是一种策略型两人棋类游戏，中国古 时称“弈”，属琴棋书画四艺之一.现有一围棋盒子中有多枚黑子和白子，若从中取出2枚都 是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率是( )A . 0.4 B , 0.6 C , 0.1 D .【答案】B【解析】2枚都是黑子的事件记为4,2枚都是白子的事件记为4 ,显然A与4互斥,尸(A )=01，?(4 ) = 03 ,从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的事件a,其对立事件是A+4,所以从盒中任意取出2枚恰好一黑一白的概率P(A)= 1-P(+4)= 1-P(4)-尸(4) = 0.6.故选:B【变式2-1(2023全国高一专题练习

21、)已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从 中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黄球的概率为，则摸 出的球是黄球或白球的概率为()A . 0.7 B . 0.5 C . 0.3 D .【答案】A【解析】设摸出红球的概率为Am，摸出黄球的概率是P(8),摸出白球的概率为尸(Q ,所以 P(A) + P(O=0.4,P(A) + PGB)=0.9，且 P(A) + P(3) + P(C) = 1 ,所以尸(0 = 1 -尸(A)-尸(3) = 0.1 , P(3) = l P(A) P(C) = 0.6 ,所以P(B)+尸(C) = 0.7故选:A.【变式2-2(2

22、023春全国高一专题练习)若随机事件A , B互斥，A , 8发生的概率均不等 于0 ,且P(A)= 2-a , P(B)= 4a-5 ,则实数。的取值范围是()【答案】5 3492【解析】因随机事件A , 3互斥，贝IJP(A + 8) = PG4) + P(3) = 3q 3 ,02-a 5404。-51 ，解得;,0 3d-3 10 P(A) 1依题意及概率的性质得0 尸(5) 1 ，即 0P(A + B)l (54所以实数。的取值范围是pt.故选：cI q D【变式2-3(2023.江苏.高一专题练习)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多 购多得.1000张奖券为一个开奖单

23、位,设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均 为不中奖.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A , B , C ,求:(1 )事件A , B ,。的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【答案】(1 )事件A , B ,。的廨分别为康，+，(2)蒜；(3)能【解析】(1 )由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个,故P(A)= - .(.)= 1。- (.)= 50=_L- -X 7 1000 7 1000 100 7 1 1000 20 (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”这个事件

24、为时，则加=村队。，, A , 8 zC两两互斥,二 P(M)= P(Au8uC)= P(A)+ P(m + P(C)J +v 7 v1 v 7 v 7 v 710001000张奖券的中奖概率为蒜;(3 )设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖“为事件N ,则事件N与“ 1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,P(N)= 1 P(AuB)= l (1 1 1Uooo iooj989W00，1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.题型三事件独立性的判断例3 （ 2022.高一课时练习）下列事件中a, 8是相互独立事件的是（）A .一枚硬币掷两次，A = 第一次为正面，5 = 第二次为反面”B .袋中

25、有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A = ”第一次摸到白球”,3=“第二次摸到白球“C.掷一枚骰子，A =出现点数为奇数”，3= ”出现点数为偶数”D . A=人能活到20岁”，3=人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；对于B ：两个事件是不放回地摸球，显然A事件与8事件不相互独立；对于C,事件A, B应为互斥事件，不相互独立;对于D是条件概率，事件B受事件A的影响.故选：A .【变式3-1（2022春福建福州高一校考期末）抛掷一颗均匀骰子两次，表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件”第二次是3点1G表示事

26、件“两次点数之和是91 H表示事件“两次点数之和是10”，则（）A . 与G相互独立B . 与相互独立C .尸与G相互独立D . G与”相互独立【答案】A【解析】由题意得：尸，尸44, p（G）=：,尸=y5o zJo o3o 9Jo 12对于选项 A：尸（EG） = L , P（E）P（G） = ；x1 = ） , P（EG） = P（E）P（G）,36 182 9 18所以石和G互相独立，故A正确；对于选项B：P（阚总，尸尸告哈V,P(EH)wP(E)P(H),所以E和不互相独立，故B错误；对于选项 C ：P(FG) = 上, P(F)P(G) = |xl = J- , P(FG)wP(F

27、)P(G),3oo 9 54所以尸和G不互相独立，故C错误；对于选项 D：P(GH) = O, p(G)P(”) =4x= U ,尸(GH)wP(G)P(H), 入，9 12 108所以G和“不互相独立，故D错误；故选：A【变式3-2 ( 2022高一课时练习)有6个相同的球，分别标有数字1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,从中 有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1，乙表示事 件”第二次取出的球的数字是2” ；丙表示事件”两次取出的球的数字之和是8” ；丁表示事件 “两次取出的球的数字之和是7，则()A.甲与丙不相互独立B .甲与丁不相互独立C.乙与

28、丙不相互独立D.丙与丁不相互独立【答案】ACD【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6，两点数和为 7 的所有可能为(L6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1),P(甲)=:，尸(乙)弓，尸(丙)二焉4,(丁)=盘V，A:P (甲丙) = 0#P(甲)(丙)，B)(甲丁)士P(甲)0(丁)， J，CP (乙丙)=(。尸(乙)P(丙)，D：P(丙丁)=0(丙)。(丁)，故选：ACD .【变式3-3】(2022.高一单元测试)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为Q = 1

29、,2,34,5,6,令事件 A = 2,3,5 , B = 1,2,3 , C = 1,2,则下列说法中错误的有()A . A与B独立 B . A与。独立 C . B与。独立 D . CcB【答案】AC【解析】由题意得加=2,31。= 1,2,04 = 2,贝IJP(A) = PGB)=2 ,P = ；fP(AB) = ：, P(BC) = ；, P(AC) =，= P(A)P(C).23336故只有A与。独立.B正确.事件C = 1,2 , 8 = 1,2,3,满足CqB , D 正确,故选：AC题型四相互独立事件的概率计算【例4】（2023.全国.高一专题练习）出租车司机老王从饭店到火车站

30、途中经过六个交通岗， 已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是:，则他遇到红灯前 已经通过了两个交通岗的概率为（）A B .C . I D.g2427927【答案】B【解析】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是:, - J 12所以未遇到红灯的概率都是1-g，2 2 14所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为= U ,故选：BJ J J 乙 /【变式4-1（2023.江苏.高一专题练习）甲、乙、丙三名同学将参加2023年高考，根据高三 年级半年来的各次测试数据显示，甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为g | 和*设三人是否考135分以上相互独立,则这三人在2023年高考中至少有两人数学考135 分以上的概率为.【答案】【解析】已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为g ,1和：， 。 D且三人是否考135分以上相互独立， 则三人中两人数学考135分以上的概率为：7151 4)15)12 44三人数学都考135分以上的概率为：， J J1 J所以甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率为5+白=*