不等式恒成立、能成立、恰成立问题经典教程_中学教育-高考.pdf

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1、 -.-总结资料-不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA，()f x的下界大于 A（2）若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB,()f x的上界小于 A 例 1、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值围。例 2、已知,22xaxxxf对任意 0,1xfx恒成立,试数a的取值围;例3、R上 的 函 数 xf既 是 奇 函 数，又 是 减 函 数，且 当2,0时，有022sin2cos2mfmf

2、恒成立，数 m 的取值围.例 4、已知函数)0(ln)(44xcbxxaxxf在1x处取得极值3c，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0 x，不等式22)(cxf恒成立，求c的取值围。2、主参换位法 例 5、若不等式a10 x 对1,2x恒成立，数 a 的取值围 例 6、若对于任意1a，不等式2(4)420 xaxa 恒成立，数 x 的取值围 例 7、已知函数323()(1)132af xxxax，其中a为实数若不等式2()1fxxxa 对任意(0)a，都成立，数x的取值围 -.-总结资料-3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为 g

3、f x（或 gf x）恒成立的形式；（2）求 f x在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式max()gf x(或 mingf x)，得的取值围。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。例 8、当(1,2)x时，不等式240 xmx 恒成立，则m的取值围是 .例 9、已知函数321()33f xaxbxx,其中0a（1）当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?（2）已知0a,且)(xf在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值围.4、数形结合 例 10、若对任意xR,不等式|xax恒成立，则实数a的取值围是_ 例 11、当 x(1,2)时，不等式2(1)x logax

4、恒成立，求 a 的取值围。二、不等式能成立问题的处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.例 12、已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，数a的取值围_ 例 13、若关于x的不等式32aaxx的解集不是空集，则实数a的取值围是 例 14、已知函数 21ln22f xxaxx（0a）存在单调递减区间，求a的取值围 三、不等式恰好成立问题的处理方法 例 15、不等式2axbx10 的解集为1|13xx 则a b_ 价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则

5、等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数 -.-总结资料-例 16、已知,22x

6、axxxf当 xfx,1的值域是,0,试数a的值.例 17、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值围；（2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值围；（3）对任意 x1、x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值围。价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等

7、式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数 -.-总结资料-不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）1、若不等式2(1)(1)3(1)0mxmxm 对任意实数 x 恒成立，数 m 取值围 2、已知不等式22622kxkxxx 对任意的xR恒成

8、立，数 k 的取值围 3、设函数329()62f xxxxa对于任意实数x，()fxm 恒成立，求m的最大值。4、对于满足|p|2 的所有实数 p,求使不等式212xpxpx 恒成立的 x 的取值围。5、已知不等式2202 3xxax 对任意实数，恒成立。数a的取值围。6、对任意的 2,2a，函数2()(4)42f xxaxa 的值总是正数，求 x 的取值围 7、若不等式2log0mxx在10,2恒成立，则实数 m 的取值围 。8、不等式)4(xxax在 3,0 x恒成立，数 a 的取值围。9、不等式220kxk 有解，求k的取值围。10、对于不等式21xxa ，存在实数x，使此不等式成立的实

9、数a的集合是 M；对于任意0 5x，使此不等式恒成立的实数a的集合为 N，求集合MN，11、对一切实数 x,不等式32xxa 恒成立，数 a 的围。若不等式32xxa 有解，数 a 的围。若方程32xxa 有解，数 a 的围。12、若 x,y 满足方程22(1)1xy，不等式0 xyc 恒成立，数 c 的围。若 x,y 满足方程22(1)1xy，0 xyc ，数 c 的围。13、设函数432()2()f xxaxxb xR，其中,a bR若对于任意的 2 2a，不等式()1f x 在 11，上恒成立，求b的取值围 14、设函数321()(1)4243f xxa xaxa，其中常数1a，若当0

10、x 时，()0f x 恒成立，求a的取值围。15、已知向量a=(2x，x+1)，b=(1-x，t)。若函数baxf)(在区间（-1，1）上是增函数，求 t 的取值围。价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得

11、极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数 -.-总结资料-不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案 例 1、解：a 的取值围为-3，1 例 2、解：等价于 022axxx对任意,1x恒成立,又等价于1x时,x的最小值0成立.由于 112axx在,1上为增函数,则 31minax,所以 3,03aa 例 3、解：由022sin2cos2mfmf得到：22sin2cos2mfmf因为 xf为奇函数，故有22sin2cos2mfmf恒成立，又因为 xf为R减函数，从而

12、有22sin2cos2mm对2,0恒成立 设tsin，则01222mmtt对于1,0t恒成立，在设函数 1222mmtttg,对称轴为mt.当0mt时，0120 mg，即21m，又0m021m(如图 1)当1,0mt，即10m时,012442mmm,即0122 mm,2121m,又1,0m,10m(如图 2)当1mt时，0212211mmg恒成立.1m(如图 3)故由可知：21m.例 4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(xf在1x处取得极小值cf 3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2xcxf恒成立，只需223cc.即0322 cc，从而0)1)(32(cc.解得23c或1c

13、.c的取值围为),23 1,(.例 5、解：12a 例 6、解：(,1)(3,)x 例 7、解析：由题设知“223(1)1axxaxxa 对(0)a，都成立，即22(2)20a xxx 对(0)a，都成立。设22()(2)2g axaxx（aR），则()g a是一个以a为自变量的一次函数。220 x 恒成立，则对xR，()g a为R上的单调递增函数。所以对(0)a，()0g a 恒成立的充分必要条件是(0)0g，220 xx，20 x ，于是x的取值围是|20 xx 。例 8、解析:当(1,2)x时，由240 xmx 得24xmx.令244()xf xxxx，则易知()f x在(1,2)上是减

14、函数，所以1,2x时()(1)5maxf xf，则2min4()5xx 5m .例 9、解析：（1）2ab（2）)(xf在区间(0,1上单调递增2()210fxaxbx 在(0,1上恒成立1,(0,122axbxx 恒成立max1()22axbx，(0,1x。设1()22axg xx，2221()1()222a xaag xxx ，t g(t)o 1 图 1 t=m t g(t)o 1 图 2 t=m t g(t)o 1 图 3 t=m 价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数

15、且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数 -.-总结资料-令()0g x 得1xa或1xa(舍去)，当1a时,101a，当1(0,)xa时()0g x，1()22axg xx 单调增函数；当1

16、(,1xa时()0g x，1()22axg xx 单调减函数,max()g x1()gaa。ba。当01a 时，11a，此时()0g x 在区间(0,1恒成立，所以1()22axg xx 在区间(0,1上单调递增，max()g x1(1)2ag，12ab。综上，当1a时,ba；当01a 时，12ab。例 10、解析：对xR,不等式|xax恒成立 则由一次函数性质及图像知11a，即11a。例 11、解：10,设 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2上恒大于 0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或x3.5、解：0a 6、解：),4()

17、0,(x 7、解：)1,161 8、解：画出两个凼数axy 和)4(xxy在 3,0 x 上的图象如图知当3x时3y，33a 当33a 3,0 x时总有)4(xxax所以33a 9、解：不等式220kxk 有解2(1)2k x 有解221kx有解2max221kx，所以(2)k，。10、解：由21(1)()213(12)21(2).xxf xxxxxx ，又()af x有解min()3af x，所以3Ma a令()g x210 5()xxxag x ，恒成立max()(5)9ag xg所以9Na a 11、解：5a5a 5,5a 12、解：12 c 21,21c 13、解：322()434(4

18、34)fxxaxxxxax由条件 2 2a，可知 29640a，从而24340 xax 恒成立当0 x 时，()0fx；当0 x 时，()0fx 因此函数()f x在 11，上的最大值是(1)f与(1)f 两者中的较大者 为使对任意 2 2a，不等式()1f x 在 11，上恒成立，当且仅当max()1f x，即(1)1(1)1ff，即22baba 在 2 2a，上恒成立即minmin(2)(2)baba，2 2a，所以4b ，因此满足条件的b的取值围是4，14、解：（II）由（I）知，当0 x时，)(xf在ax2或0 x处取得最小值。aaaaaaaf2424)2)(1()2(31)2(23a

19、aa2443423；af24)0(x y 0 3 axy 价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法

20、若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数 -.-总结资料-则由题意得,0)0(,0)2(1fafa 即.024,0)6)(3(34,1aaaaa解得 16a (1,6)a。15、解：依定义ttxxxxtxxxf232)1()1()(。则txxxf23)(2，若)(xf在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设0)(xf恒成立。0)(xfxxt232在（-1，1）上恒成立。考虑函数xxxg23)(2，（如图）由于)(xg的图象是对称轴为31x，开口向上的抛物线，故要使xxt232在（-1，1）上恒成立)1(gt，即5t。而当5t时，)(xf 在（-1，1）上满足)(

21、xf 0，即)(xf在（-1，1）上是增函数。故 t 的取值围是5t.o x 1 -1 y g(x)31x 价于在区间上的下界大于若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上的上界小于例设当时都有恒成立求的取值围例已知对任意恒成立试数的取值围例上的函数既是奇函数又是减函数且当恒成立数的取值围时有例已知函数在处取得极数的取值围例若对于任意不等式恒成立数的取值围例已知函数其中为实数若不等式对任意都成立数的取值围总结资料或分离参数法将参数与变量分离即化为求在上的最大或最小值解不等式得的取值围适用题型参数与变量能分离函数增试用表示出的取值围其中知取得极值已数形结合例若对任意不等式恒成立则实数的取值围是例当时不等式恒成立求的取值围二不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立则等价于在区间上若在区间上存在实数