2013年湖北高考理科数学试题及答案.pdf

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1、20132013 年湖北高考理科数学试题及答案年湖北高考理科数学试题及答案一、选择题1、在复平面内，复数21izi（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析与答案】211izii，1zi 。故选 D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为R，集合112xAx，2|680Bx xx，则RAC B（）A.|0 x x B.C.|024xxx或D.|024xxx或【解析与答案】0,A，2,4B，0,24,RAC B。故选 C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降

2、落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A.pq B.pq C.pq D.pq【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。故选 A。【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数3cossinyxx xR的图像向左平移0m m 个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（）A.12B.6C.3D.56【解析与答案】2cos6yx的图像向左平移0m m 个长度单位后变成2cos6yxm，所以m的最小值是6。故选 B。【相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知04，则双曲线22122:1cossinxyC与222222:

3、1sinsintanyxC的（）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【解析与答案】双曲线1C的离心率是11cose，双曲线2C的离心率是222sin1tan1sincose，故选 D【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点1,1A、1,2B、2,1C、3,4D，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A.3 22B.3 152C.3 22D.3 152【解析与答案】2,1AB ，5,5CD ，153 225 2AB CDCD ，故选 A。【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 25731v ttt（t的单

4、位：s，v的单位：/m s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m）是（）A.125ln5B.11825ln3C.425ln5D.450ln2【解析与答案】令 257301v ttt，则4t。汽车刹车的距离是402573425ln51tdtt，故选 C。【相关知识点】定积分在实际问题中的应用8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V，2V，3V，4V，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A.1243VVVVB.1324VVVVC.2134VVVVD.2314VVVV【解析与答案】C由柱体和台体的体积公式可知

5、选 C【相关知识点】三视图，简单几何体体积9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成 125 个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E XA.126125B.65C.168125D.75第 9 题图【解析与答案】三面涂有油漆的有 8 块，两面涂有油漆的有 36 块，一面涂有油漆的有 54 块，没有涂有油漆的有 27 块，所以8365463211251251255E X。故选 B。【相关知识点】古典概型，数学期望10、已知a为常数，函数()lnf xxxax有两个极值点1212,()x xxx，则（）A.121()0,()2f xf x

6、 B.121()0,()2f xf x C.121()0,()2f xf x D.121()0,()2f xf x【解析与答案】令()12ln0fxaxx 得021a，ln21(1,2)iixaxi。又102fa，121012xxa 。222111111111()ln210f xxxaxxaxaxaxx，222222211()11122f xaxxxaxaxaa 故选 D。【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质二、填空题（一）必考题11、从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 到 350 度之间，频率分布直方图所示。（I）直方图中x的值为；（II）在这些用户中，

7、用电量落在区间100,250内的户数为。第 11 题图【解析与答案】0.0060.00360.002420.0012501x，0.0044x 0.00360.0060.004450 10070【相关知识点】频率分布直方图12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i。【解析与答案】5程序框图运行过程如表所示：i12345a1051684否1ii?4a 10,1ai开始是结束a是奇数?31aa2aa 是否输出i【相关知识点】程序框图13、设,x y zR，且满足：2221xyz，2314xyz，则xyz。【解析与答案】由柯西不等式知222222212323xyzxyz，结合已知条件得

8、123xyz，从而解得1412314xyz，3 147xyz。【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10，第n个三角形数为2111222n nnn。记第n个k边形数为,N n k3k，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数211,322N nnn正方形数2,4N nn五边形数231,522N nnn六边形数2,62N nnn可以推测,N n k的表达式，由此计算10,24N。【解析与答案】观察2n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故2,241110N nnn，10,24

9、1000N【相关知识点】归纳推理，等差数列（二）选考题15、如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E。若3ABAD，则CEEO的值为。ODEBA第 15 题图C【解析与答案】由射影定理知2222812ADABADCECDAD BDEOODOAADABAD【相关知识点】射影定理，圆幂定理16、在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为cossinxayb0ab为参数，。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为2sin42mm为非零常数与b。若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离

10、心率为。【解析与答案】直线l的方程是xym，作出图形借助直线的斜率可得2cb，所以2222cac，63e【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆三、解答题17、在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos23cos1ABC。（I）求角A的大小；（II）若ABC的面积5 3S，5b，求sinsinBC的值。【解析与答案】（I）由已知条件得：cos23cos1AA22cos3cos20AA，解得1cos2A，角60A（II）1sin5 32SbcA4c，由余弦定理得：221a，222228sinaRA25sinsin47bcBCR【相关知识点】二倍角公式，解三

11、角函数方程，三角形面积，正余弦定理18、已知等比数列 na满足：2310aa，123125a a a。（I）求数列 na的通项公式；（II）是否存在正整数m，使得121111maaa？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由。【解析与答案】（I）由已知条件得：25a，又2110a q，13q 或，所以数列 na的通项或25 3nna（II）若1q ，12111105maaa 或，不存在这样的正整数m；若3q，12111919110310mmaaa，不存在这样的正整数m。【相关知识点】等比数列性质及其求和19、如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，E，F分别

12、是PA，PC的中点。（I）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（II）设（I）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足12DQCP。记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC 的大小为，求证：sinsinsin。【解析与答案】（I）EFAC，ACABC 平面，EFABC 平面EFABC平面第 19 题图又EFBEF 平面EFllPAC 平面（II）连接 DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有

13、很大的偏差。）【相关知识点】20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布2800,50N的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为0p。（I）求0p的值；（参考数据：若2,XN，有0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX。）（II）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车 7 辆。若每天要以不小于0p的概率运完从甲地

14、去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？【解析与答案】（I）010.50.95440.97722p（II）设配备A型车x辆，B型车y辆，运营成本为z元，由已知条件得2136609007,xyxyyxx yN，而16002400zxy作出可行域，得到最优解5,12xy。所以配备A型车 5 辆，B型车 12 辆可使运营成本最小。【相关知识点】正态分布，线性规划21、如图，已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2nmn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记mn，

15、BDM和ABN的面积分别为1S和2S。（I）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS？并说明理由。【解析与答案】（I）12SSmnmn，1111mnmn解得：21（舍去小于 1 的根）（II）设椭圆22122:1xyCamam，22222:1xyCan，直线l：kyx22221kyxxyam2222221am kya m222Aamyam k同理可得，222Banyan kOxyBA第 21 题图CDMN又BDM和ABN的的高相等12BDBAABABSBDyyyySAByyyy如果存在非零实数k使得12SS，则有11AByy，即：

16、222222222211an kan k，解得2222232114akn当12 时，20k，存在这样的直线l；当112 时，20k，不存在这样的直线l。【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）22、设n是正整数，r为正有理数。（I）求函数1()111(1)rf xxrxx 的最小值；（II）证明：11111111rrrrrnnnnnrr；（III）设xR，记x 为不小于x的最小整数，例如22 ，4 ，312。令3333818283125S，求S 的值。（参考数据：4380344.7，4381350.5，43124618.3，43126631.7）证明：（I）()1 11111rrfx

17、rxrrx()f x在1,0上单减，在0,上单增。min()(0)0f xf（II）由（I）知：当1x 时，1111rxrx（就是伯努利不等式了）所证不等式即为：11111111rrrrrrnrnnnrnn若2n，则11111111rrrrnrnnnrnn1111rrnn 111rrnn，1rrnn 11111rrrnnn ，故式成立。若1n，1111rrrnrnn显然成立。11111111rrrrnrnnnrnn 1111rrnn 111rrnn，1rrnn11111rrrnnn ，故式成立。综上可得原不等式成立。（III）由（II）可知：当*kN时，4144433333331144kkkkk444125433338133112580210.22544kSkk444125433338133112681210.944kSkk211S