几种常见函数的导数.pdf

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1、1 几种常见函数的导数二、讲解新课：1.0 C(C为常数)2.1)(n nnx x(Q n)3.x x cos)(sin 4.x x sin)(cos 三、讲解范例：例 1 求(1)(x3)(2)(21x)(3)(x)解：(1)(x3)=3 x3 1=3 x2；(2)(21x)=(x 2)=2x 2 1=2x 3(3)xx x x x212121)()(2112121 例 2质点运动方程是51ts,求质点在2 t时的速度 解：51ts，6 555)()1(t tts,6452 562 ts答：质点在2 t时的速度是645 例 3求曲线x y sin 在点 A)21,6(的切线方程解：x y s

2、in x x y cos)(sin 236cos6 xy 所求切线的斜率23 k 所求切线的方程为)6(2321 x y，即0 3 6 12 3 6 y x 四、课堂练习：1(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos答案：(1)y=(x5)=5 x4；(2)y=(x6)=6 x5；(3)x=(sin t)=cos t；(4)u=(cos)=sin2.求下列函数的导数：(1)y=31x(2)y=3 x答案：(1)y=(31x)=(x 3)=3 x 3 1=3x 4(2321313133131)()(x x x x y3.质点的运动方程是 s=t3，(

3、s单位 m，t单位 s)，求质点在 t=3时的速度.解：v=s=(t3)=3 t3 1=3 t2当 t=3时，v=3 32=27 m/s，质点在 t=3时的速度为 27 m/s4.物体自由落体的运动方程是 s=s(t)=21gt2，(s单位 m，t单位 s，g=9.8 m/s2)，求 t=3时的速度.解：v=s(t)=(21gt2)=21g 2t2 1=gt.t=3时，v=g 3=9.8 3=29.4 m/s，t=3时的速度为 29.4 m/s.5.求曲线 y=x4在点 P(2，16)处的切线方程.解：y=(x4)=4 x4 1=4 x3.y|x=2=4 23=32点 P(2，16)处的切线方

4、程为 y 16=32(x 2)，即 32x y 48=0函数的和、差、积、商的导数(1)二、讲解新课：法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即)(v u v u 法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即)(uv v u uv 两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导 2 三、讲解范例：例 1 求 y=x3+sinx的导数.解：y=(x3+sinx)=(x3)+(sin x)=3 x2+cos x 例 2 求 y=x4 x2 x+3的导数.解：y=(x4 x2 x+3)

5、=(x4)(x2)x+3=4 x3 2x 1，例 3求4 5 3 22 3 x x x y的导数解：5 6 3 2 x x y 例 4求2(2 3)(3 2)y x x 的导数 解：)2 3)(3 2()2 3()3 2(2 2 x x x x y 3)3 2()2 3(42 x x x 9 8 182 x x 例 5 y=3x2+xcos x，求导数 y.解：y=(3x2+xcos x)=(3x2)+(xcos x)=3 2x+x cos x+x(cosx)=6 x+cos x+xsin x 例 6 y=5 x10sin x 2xcos x 9，求 y.解：y=(5x10sin x 2xco

6、s x 9)=(5x10sin x)(2xcos x)9=5(x10)sin x+5 x10(sin x)2(x)cos x+2x(cosx)0=5 10 x9sin x+5 x10cos x(121212x cos x 2xsin x)=50 x9sin x+5 x10cos xx1cos x+2xsin x=(50 x9+2x)sin x+(5x10 x1)cosx 四、课堂练习：1.求函数的导数.(1)y=2x3+3 x2 5x+4解：(2x3+3 x2-5x+4)=(2x3)+(3x2)-(5 x)+4=2 3x2+3 2x-5=6x2+6 x-5(2)y=sinx x+1解：y=(s

7、in x x+1)=(sin x)x+1=cos x 1(3)y=(3x2+1)(2 x)解：y=(3x2+1)(2 x)=(3x2+1)(2 x)+(3x2+1)(2 x)=3 2x(2 x)+(3x2+1)(1)=9x2+12 x 1(4)y=(1+x2)cosx解：y=(1+x2)cosx=(1+x2)cos x+(1+x2)(cosx)=2 xcos x+(1+x2)(sin x)=2xcos x(1+x2)sin x 2.填空：(1)(3x2+1)(4x2 3)=()(4 x2 3)+(3x2+1)()解：(3x2+1)(4x2 3)=(3x2+1)(4x2 3)+(3x2+1)(4

8、x2 3)=3 2x(4x2 3)+(3x2+1)(4 2x)=(6x)(4 x2 3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sin x)=()x2sin x+x3()解：(x3sin x)=(x3)sin x+x3(sin x)=(3)x2sin x+x2(cosx)3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.(3+x2)(2 x3)=2 x(2 x3)+3x2(3+x2)解：不正确.(3+x)2(2 x3)=(3+x2)(2 x3)(3 x2)(2 x3)=2 x(2 x3)+(3+x2)(3x2)=2x(2 x3)3x2(3+x2)函数的和、差、积、商的导数(2)二、讲解新课：法则 3

9、 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即2(0)u u v uvvv v 三、讲解范例：例 1求 y=xxsin2的导数.解：y=(xxsin2)=xx x x xxx x x x2222 2sincos sin 2)(sin)(sin sin)(3 例 2求 y=332xx在点 x=3处的导数.解：y=(332xx)2 22 2)3()3)(3()3()3(xx x x x2 222 22)3(3 6)3()3(2 3 xx xxx x x y|x=3=6114424)3 3(3 3 6 32 22 例 3 求 y=x1 cos x的导数

10、.解法一：y=(x1 cos x)=(x1)cos x+x1(cos x)x xx x xxxxxxxx x xxx x2sin 2 cossin12cossin1cos21sin1cos)(32321 例 4求 y=xx31的导数.解：y=(xx31)=2 22 2)3()3)(1()3()1(xx x x x 2 222 22)3(3 2)3()2)(1(3xx xxx x x 例 5求 y=xxsin12的导数.解：y=(xxsin12)22 2)(sin)(sin 1(sin)1(xx x x x xx x x x22sincos)1(sin 2 例 7求 y=x xxcos423的导

11、数.解：y=(x xxcos423)2 22 3 2 3)cos()cos)(4(cos)4(x xx x x x x x x xx x x xx xx x x x x x x xx xx x x x x x x x2 33 42 45 2 42 42 3 2 2coscos)8(sin)4(cossin sin 4 cos 8 coscos)sin cos 2)(4(cos 3 四、课堂练习：1填空：(1)2 222)1()()1)()1(xx xxx；(2)xx xxx22 2sin 4)(1(sin)()sin 21(4 解：(1)2 22 22)1()1()1()1(xx x x xx

12、x2 22)1()2()1)(1(xx x x(2)22 2 2)sin 2()sin 2)(1(sin 2)1()sin 21(xx x x xxx xx x x xxx x x x2222sin 4)cos 2)(1(sin)4(sin 4)cos 2)(1(sin 2 2 2.求下列函数的导数：(1)y=x ax a(2)y=232xx(3)y=tan x(4)y=x cos 11 解：(1)y=(x ax a)2)()()()(x ax a x a x a x a 2 2)(2)()()(x aax ax a x a(2)y=(232xx)2 22 2)3()3)(2()3()2(xx

13、 x x x 3 424234912 39)6)(2(3xxxx xxx x x(3)y=(tanx)=(xxcossin)2)(cos)(cos sin cos)(sinxx x x x xx xx x22 22 2seccos1cossin cos(4)y=(x cos 11)2)cos 1()cos 1(1)cos 1(1xx x 2 2)cos 1(sin)cos 1(sin)cos 1(0 xxxx x 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin)cos 1(2)cos 1(xx x x xxx 解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.33 422 22 222

14、cos 2 sin)cos 1(2 sin)2)(cos 1(sin)()(cos 1()cos 1()cos 1(xx x xxx x xxx x x xxx x x xxx 注意：两个函数的乘积的导数的符号是加号，两个函数的商的导数分母是原分母的平方，分子上的符号是减号 复合函数的导数(1)二、讲解新课：1.复合函数:由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数)(u f y与)(x u 复合而成的函数一般形式是)(x f y，其中 u称为中间变量 2.求函数2(3 2)y x 的导数的两种方法与思路：方法一：2 2(3 2)(9 12 4)18 12xy x x x x；方法二：将函数2(

15、3 2)y x 看作是函数2y u 和函数3 2 u x 复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2uy u u，(3 2)3xu x 两个导数相乘，得 2 3 2(3 2)3 18 12u xy u u x x，从而有 x u xu y y 3.复合函数的导数：设函数 u=(x)在点 x处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u)在点 x的对应点 u处有导数 yu=f 5(u)，则复合函数 y=f(x)在点 x处也有导数，且x u xu y y 或 fx(x)=f(u)(x).4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合

16、函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 三、讲解范例：例 1试说明下列函数是怎样复合而成的？3 2)2(x y；2sinx y；)4cos(x y；)1 3 sin(ln x y 解：函数3 2)2(x y 由函数3u y和22 x u 复合而成；函数2sinx y由函数u y sin 和2x u复合而成；函数)4cos(x y 由函数u y cos 和x u 4复合而成；函数)1 3 sin(ln x y由函数u y ln、v u sin 和1 3 x v复合而成 例 2写出由下列函数复合而成的函数：u y cos，21 x u；u y ln，x u ln 解：)1 cos(2x y；)ln

17、(ln x y 例 3求5)1 2(x y的导数 解：设5u y，1 2 x u，则x u xu y y)1 2()(5 x ux 2)1 2(5 2 53 4 x u4)1 2(10 x 例 4求 f(x)=sin x2的导数.解：令 y=f(x)=sin u;u=x2x u xu y y=(sin u)u(x2)x=cos u 2x=cos x2 2x=2 xcos x2 f(x)=2xcos x2 例 5求 y=sin2(2x+3)的导数.分析:设 u=sin(2 x+3)时，求 ux，但此时 u仍是复合函数，所以可再设 v=2 x+3.解：令 y=u2，u=sin(2 x+3)，再令

18、u=sinv，v=2 x+3x u xu y y=yu(uv vx)yx=yu uv vx=(u2)u(sin v)v(2x+3)x=2 u cos v 2=2sin(2x+3)cos(2x+3)2=4sin(2x+3)cos(2x+3)=2sin(4 x+32)即 yx=2sin(4x+32)例 6求3 2c bx ax y 的导数.解：令 y=3 u，u=ax2+bx+cx u xu y y=(3 u)u(ax2+bx+c)x=3231u(2ax+b)=31(ax2+bx+c)32(2ax+b)=32 2)(32c bx axb ax 即 yx=32 2)(32c bx axb ax 6

19、例 7求 y=51xx 的导数.解：令xxu u y 1,5x u xu y y=(5 u)u(xx 1)x4 45 52 21(1)(1)1 1(1)()5 5x x x x x x xux x x 24 65451 1 115(1)5()xxx xx 2 4515()x x x 即 yx=54 2)(51x x x 例 8 求 y=sin2x1的导数.解：令 y=u2，u=sinx1，再令 u=sinv，v=x1x u xu y y vx=(u2)u(sin v)v(x1)x=2 u cos v21 0 x=2sinx1 cosx121x=21x sinx2 yx=21xsinx2 例 9

20、 求函数 y=(2x2 3)21 x 的导数.分析:y可看成两个函数的乘积，2x2 3可求导，21 x 是复合函数，可以先算出21 x 对 x的导数.解：令 y=uv，u=2 x2 3，v=21 x,令 v=，=1+x2 x xv v=()(1+x2)x=2 2211 1 22)2(21xxxxx yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x2 3)x21 x+(2x2 3)21 xx=4 x232321613 21xx xxx xx 即 yx=2316xx x 四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y=(5x 3)4(2)y=(2+3 x)5(3)y=(2 x2)3(4

21、)y=(2x3+x)2 解：(1)令 y=u4，u=5 x 3x u xu y y=(u4)u(5x 3)x=4 u3 5=4(5 x 3)3 5=20(5 x 3)3(2)令 y=u5，u=2+3 xx u xu y y=(u5)u(2+3x)x=5 u4 3=5(2+3 x)4 3=15(2+3 x)4(3)令 y=u3，u=2 x2x u xu y y=(u3)u(2 x2)x=3 u2(2x)=3(2 x2)2(2x)=6x(2 x2)2(4)令 y=u2，u=2 x3+xx u xu y y=(u2)u(2x3+x)x=2 u(2 3x2+1)=2(2x3+x)(6 x2+1)=24 x5+16 x3+2 x 2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n N*)(1)y=sinnx(2)y=cos nx 解：(1)令 y=sinu，u=nx x u xu y y=(sin u)u(nx)x=cos u n=ncos nx(2)令 y=cos u，u=nx x u xu y y=(cos u)u(nx)x=sin u n=nsin nx