高考数学——函数性质的综合问题答案.pdf

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1、第 9 讲 函 数 性 质 的 综 合 问 题 学 校:姓 名：班 级：考 号：【基 础 巩 固】1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)设 f(x)是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数，且 在(,0)单 调 递 增，设 0=3，b=,c=log40.3,则()A.f(c)f(a)f(b)C./(C)/(Z)/(6!)B./()/(c)/(/,)D./(a)/(6)/(c)【答 案】A(解 析】c=|log40.3|=-log42-log4ye(O,l),a=303,b=3g 3(U 1,即 6 Q 1|C|0,由 于 函 数 y=f(x)是 偶 函 数，在 区 间(7,o)匕 单 调

2、 递 增，所 以 在(o,+8)上 单 调 递 减,由 于 函 数 y=为 偶 函 数，则|c|)/()/伍)，即 故 选：A.2.(2022湖 南 衡 阳 三 模)定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)满 足/(x+1)为 偶 函 数，且 当 xe0,l时,f(x)=4，-cosx,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.等)“2022)可 等)C.7 等(等 2022)【答 案】AB(2022)/(等)/(等)D.等)/(2。2 2)等【解 析】因 为/(X+1)为 偶 函 数，所 以 满 足/(X+l)=/(-X+l),又 因 为/(X)是 奇 函 数，所 以 f(-X+l)=-

3、/(X-l),故/(x+1)-1)=-/U-3)-/(X-3)因 此 f M=/(X+4),即 是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数./(等 卜 八 等 一 4 x 505)=/(1)=吗),/(2022)=/(2)=/(0),/管 卜 啖 川 _卜 佃 当 0,1时，/(x)=4A-COSX,4*在 Xo,l单 调 递 增，cosx在 0,1单 调 递 减，故/(%)=4-cosx在 x e 0 单 调 递 增.所 以/(g)/(0)-/(I)=/(等)”2022)/(誓)故 选：A3.(2022浙 江 镇 海 中 学 模 拟 预 测)已 知 函 数/(xMQ+a W A l n k+

4、V T W),则 在 同 一 个 坐 标 系 下 函 数 a)与/(X)的 图 像 不 可 能 是()所 以 g(x)是 R 上 的 奇 函 数，又 X 0 时，g(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，所 以 g(x)在 R 上 单 调 递 增，且 有 唯 一 零 点 0,所 以/(x)的 图 像 一 定 经 过 原 点(0,0),当 a=0时，/(x-a)与 x)的 图 像 相 同，不 符 合 题 意.当 a 0 时，/(x)=(l+4|x|)/nk+4r7T)是 R 上 的 奇 函 数，且 在(0,+oo)上 单 调 递 增，所 以/(x-a)与/(x)的 图 像 可 能 为 选 项 C

5、；当。0时，若 x f+oo,l+a|x|0且 单 调 递 增，y=V 一 万 犬+0且 单 调 递 减，则 单 调 递 增，故 C 错 误;当 xe(,万 时，y=sinx0且 单 调 递 减，y=/一 万 苫+%0且 单 调 递 增，则 f(x)单 调 递 减；且 0)=/=0,又“X)是 奇 函 数 且 周 期 为 2万，1ral=/佟=1*2,故 B 错 误；V 2 7 44一 万 由/(乃+X)=/(T)可 得 f(x)关 于 对 称，方 程“x)-g=0 的 根 等 价 于 y=/(x)与 尸;的 交 点 的 横 坐 标，根 据 力 的 单 调 性 和 周 期 可 得，y=/(x)

6、与 y=:在(0,乃)有 两 个 关 于 x=g 对 称 的 交 点，在 2.，(2兀,3外 有 两 个 关 于=号 对 称 的 交 点，在(-2肛-左)有 两 个 关 于 x=-学 对 称 的 交 点，所 以 方 程 1 jr,冗 f(x)-=0在 xe(10,10)上 的 所 有 实 根 之 和 为 5，2+岳 2+x2=31故 D 正 确.故 选：D.5.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数，(幻=而 三，其 中“为 不 小 于 x 的 最 小 整 数，如 3.5=4,3=3,则 关 于 x)性 质 的 表 述，正 确 的 是()A.定 义 域 为(Y,0)U(0,+

7、)B.在 定 义 域 内 为 增 函 数 C.函 数 为 周 期 函 数 D.函 数 为 奇 函 数【答 案】c【解 析】解：易 知 X-XNO,故 定 义 域 为“|X X Z,故 A 选 项 错 误，令 g(x)=x-x,易 知 g(x+l)=x+l-(x+l)=x+l-x-l=x-x=g(x),故 是 以 1为 周 期 的 函 数，故 C 选 项 正 确，B 项 错 误，因 为-/(-X)=/(X),故。选 项 错 误.故 选：C.6.(2022湖 北 宜 昌 市 夷 陵 中 学 模 拟 预 测)若 存 在 a e R 且 4 X 0,对 任 意 的 x e R,均 有/(x+a)0 恒

8、 成 立；单 调 递 增，存 在 不 0,/(a)0,因 为 函 数/(X)单 调 递 减，所 以 f(x+a)f(x)/W+/(a)HP f(x+a)0,当 满 足 命 题/时，/(x)具 有 性 质 P.%：当=%0 时，/(。)=0,因 为 函 数 f(x)单 调 递 增，所 以 f(x+a)fx)=/(x)+/(tz),即/(x+a)/(x)+/(a),存 在 a 0,当 满 足 命 题 时，f(x)具 有 性 质 尸.综 上 可 知 命 题、/都 是 具 有 性 质 P 的 充 分 条 件.故 选：C7.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)定 义 在 R 上 的 奇 函 数 x

9、)满 足/(2-x)=/(x),且 在 0,1)上 单 调 递 减，若 方 程 x)=-l在 0,1)上 有 实 数 根，则 方 程 力=1在 区 间-1,11 上 所 有 实 根 之 和 是()A.30 B.14 C.12 D.6【答 案】A【解 析】由 2-x)=f(x)知 函 数 的 图 象 关 于 直 线 x=l对 称,V/(2-x)=/(x),/是 R 上 的 奇 函 数,./(-x)=/(x+2)=-/(x),：.f(x+4)=f(x),的 周 期 为 4,考 虑 f(x)的 一 个 周 期，例 如 7,3,由/.(x)在 0,1)上 是 减 函 数 知 力 在(1,2 上 是 增

10、 函 数，在(-1,0 上 是 减 函 数，“X)在 2,3)上 是 增 函 数，对 于 奇 函 数“X)有 0)=0,/(2)=/(2-2)=/(0)=0,故 当 xw(O,l)时,/(x)/(0)=0,当 X G(1,2)时,/(x)/(O)=O,当 xe(2,3)时，/(x)/(2)=0,方 程 x)=T 在 0,1)上 有 实 数 根，则 这 实 数 根 是 唯 一 的，因 为/(x)在(0/)上 是 单 调 函 数，贝 U由 于/(2x)=/(x),故 方 程=-1在(1,2)上 有 唯 一 实 数，在(1,0)和(2,3)上 x)0,则 方 程 x)=T 在(-1,0)和(2,3)

11、上 没 有 实 数 根,从 而 方 程/(x)=-1在 一 个 周 期 内 有 且 仅 有 两 个 实 数 根，当 xe l,3,方 程 x)=-l的 两 实 数 根 之 和 为 x+2-x=2,当 x w-1,11,方 程/(x)=-1的 所 有 6 个 实 数 根 之 和 为 x+2x+4+x+4+2x+x+8+2x+8=2+8+2+8+2+8=30.故 选：A.28.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)设 函 数/(幻=彳-双-6(。为/?).若 对 任 意 的 正 实 数。和 实 数 总 存 在 为 el,2,使 得 了 小 经 加，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是()A

12、.(-,0 B.(-8,g C.(-D.(-oo,2【答 案】B【解 析】设/(x)的 最 大 值 为(b),令(x)=：-o r-b,当 xel,2时，函 数(x)单 调 递 减，1 2ab 0,.A2ab2 a b由 1-2a+2 a)=0,解 得 匕 2 由 0+b,M(/?)min=2a+h-由 24a 时，2-a-&+a,M 0)min=I+3综 上 可 得：.mwg故 答 案 为：m-9.(多 选)(2022江 苏 南 京 市 宁 海 中 学 模 拟 预 测)已 知/(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，且 对 任 意 x e R,有/(l-x)=-/(l+x),当 xe0

13、,l时，/(X)=Y+X-2,贝 U()A.“X)是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 B.点(-3,0)是 函 数“X)的 一 个 对 称 中 心 C./(2021)+/(2022)=-2D.函 数 y=/(x)-log2(x+l)有 3 个 零 点【答 案】BD【解 析】依 题 意，x)为 偶 函 数，且 l+x)=一/(l),有 i；+X=l,即 f(x)关 于(1,0)对 称，则/(x+4)=f(l+x+3)=_f(l_(x+3)=-/(_2_司=-/（-（2+x）=_/（2+x）=-f（l+l+x）=/（l-（l+x）=/（-x）=/（x）,所 以 f（x）是 周 期 为 4

14、的 周 期 函 数，故 A 错 误；因 为 f（x）的 周 期 为 4,/（x）关 于（1,0）对 称,所 以（-3,0）是 函 数“X）的 一 个 对 称 中 心，故 B 正 确；因 为（力 的 周 期 为 4,则/（2021）=周（1）=0,/（2022）=/（2）=-/（0）=2,所 以/（2021）+/（2022）=2,故 C 错 误；故 选：BD.10.（多 选）（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 定 义 域 为 R 的 函 数“X）满 足/（*一 1）是 奇 函 数，x+l）为 偶 函 数，当 1VXM1,/（x）=x2,则（）A.“X）是 偶 函 数 B.“X）的

15、图 象 关 于 x=l对 称 C.x）=0在-2,2 上 有 3 个 实 数 根 D./（5）/（4）【答 案】BC【解 析】根 据 题 意，可 得 函 数“X）的 定 义 域 为 R，由 函 数/（x+1）为 偶 函 数，可 得 函 数/（X）的 图 象 关 于 x=l对 称，即 f(x)=J(2-x),所 以 B 正 确;由 函 数 f(x-l)是 奇 函 数，可 得 函 数/(x)的 图 象 关 于 点(-1,0)对 称，即/(力=-/(-2-力，可 得 x+4)=-/(x),则/(x+8)=-/(x+4)=/(x),即 函 数/(x)是 以 8 为 周 期 的 周 期 函 数，当 一

16、14x41 时,f(x)=x2,可 得/(5)=寸=TJ(4)=/(0)=0,即/(5),f(x)=2,/，且,f(x)0,若 y=/(x-D的 图 象 关 于 x=l对 称，/(0)=1,则”2019)+/(2 0 2 0)=.【答 案】3【解 析】因 为 y=/(x-D的 图 象 关 于*=1对 称，所 以 y=/(x)的 图 象 关 于 x=0时 称，即 y=f(x)是 偶 函 数.对 于 x+2)(x)=2，(l),令 X=T,可 得/W(T)=2f(l),又 x)0,所 以 f(T)=2,则 f(l)=f(l)=2.所 以 函 数/(X)对 V x e R 满 足 x+2)-/(x)

17、=4.所 以 f(x+4)-/(x+2)=4.所 以 f(x)=/(X+4),gp/(x)是 周 期 为 4 的 周 期 函 数.4 4所 以，(2019)=/(4、504+3)=八 3)=同=5=2,/(2020)=/(4 x 505)=/(0)=1.所 以 f(2019)+f(2020)=3.故 答 案 为 3.13.(2022山 东 省 淄 博 实 验 中 学 高 三 期 末)已 知 函 数 f(x)为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，满 足 对 Vxpx2e0,+co),其 中 x尸 马,都 有(再 一 池 值/0)-/。,)。，且/=3,则 不 等 式/(x)9的 解 集 X为.

18、【答 案】(-2,0)U(2,4w)【解 析】因 为 a-马)w i)-s f g)o,所 以 当 W 当 时，XJ(X|)6=所 以 x2 或-2 c x-的 解 集 为(-2,0)U(2,M).X故 答 案 为：(-2,0)U(2,+).14.(2022北 京 市 第 五 中 学 三 模)已 知 函 数/(x)=F 给 出 下 列 四 个 结 论：-x-2x,xa._ x0成 4产(2厂 lF(x)0 存 在 实 数。，使 函 数 f(x)为 奇 函 数；对 任 意 实 数。,函 数 f(x)既 无 最 大 值 也 无 最 小 值;对 任 意 实 数”和 人,函 数 y=/(x)+%总 存

19、 在 零 点;对 于 任 意 给 定 的 正 实 数 机，总 存 在 实 数 4，使 函 数/(x)在 区 间(-1,利)上 单 调 递 减.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是【答 案】【解 析】如 上 图 分 别 为 a=0，a 0 和。0 x?2x,x-8时，y-r o,当 x f 位 时，y x,所 以 函 数/(x)既 无 最 大 值 也 无 最 小 值；故 正 确;对 于：如 图 2 和 图 3 中 存 在 实 数 A 使 得 函 数 y=f(x)图 象 与 丁=一 人 没 有 交 点，此 时 函 数 y=f(x)+4没 有 零 点，所 以 对 任 意 实 数。和 k,函

20、 数=/。)+欠 总 存 在 零 点 不 成 立；故 不 正 确 对 于：如 图 2,对 于 任 意 给 定 的 正 实 数 加，取。=帆+1即 可 使 函 数/(x)在 区 间(-1,加)上 单 调 递 减，故 正 确;故 答 案 为：15.(2022重 庆 市 朝 阳 中 学 高 三 开 学 考 试)设/(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且 对 任 意 实 数 x,恒 有/(x+2)=-/(x),当 x e 0,2 时，f(x)=2 x-x2.(1)求 证：是 周 期 函 数；(2)当 x e 2,4 时，求/(x)的 解 析 式；(3)计 算/()+F(l)+F(2)+/,(

21、2016).【解】(1)由 x e R,f(x+4)=-/(x+2)=/(x),二/(x)是 以 4 为 周 期 为 周 期 函 数；(2)任 取 x e 2,4,则 x-4 e-2,0,4-x w 0,2,有 f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=x2+6x-8=f(*),/./(x)=6x+8；(3)f(O)=0,/(l)=1,f(2)=0,f(3)=-1,/(4)=0,/(5)=1,由(1)可 知 O)J(1)J(2),f 为 一 个 周 期 的 函 数 值，和 为 0,所 以/(0)+/(1)+“2016)=504 x 0+f(2016)=0+r(0)=0.点 睛：本 题 是 奇

22、偶 性 周 期 性 的 综 合，利 用 给 出 的 等 式 结 合 奇 偶 性 得 出 周 期，对 于/(O)+/-(I)+/,(2)+/(2016)这 类 型 的 问 题 利 用 周 期 性，主 要 解 决 一 共 包 含 几 个 周 期，一 个 周 期 的 和 是 多 少，剩 余 哪 些 项 可 以 利 用 周 期 求 解.【素 养 提 升】1.(2022 全 国 高 考 真 题(理)已 知 函 数 f(x),g(x)的 定 义 域 均 为 R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若 y=g(x)的 图 像 关 于 直 线 x=2对 称，g(2)=4,贝.(幻=*=1

23、()A.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答 案】D【解 析】因 为 y=g(x)的 图 像 关 于 直 线 x=2对 称，所 以 g(2-x)=g(x+2),因 为 g(x)-f(x-4)=7,所 以 g(x+2)-/(x-2)=7,即 g(x+2)=7+f(x-2),因 为 f(x)+g(2-x)=5,所 以/(x)+g(x+2)=5,代 入 得/(x)+7+/(x-2)=5,即/(x)+/(x-2)=-2,所 以 3)+5)+f(21)=(-2)x5=T。/(4)+/(6)+,+/(22)=(-2)x5=-10.因 为 x)+g(2 x)=5,所 以，BP/(0)=l,所 以

24、八 2)=-2/(0)=-3.因 为 g*)-/(D=7,所 以 g(x+4)-,f(x)=7,又 因 为 f(x)+g(2-x)=5,联 立 得,g(2-x)+g(x+4)=12f(0)+g(2)=5,所 以 y=g(x)的 图 像 关 于 点(3,6)中 心 对 称，因 为 函 数 g(x)的 定 义 域 为 R,所 以 g(3)=6因 为 x)+g(x+2)=5,所 以 1)=5 g=1.所 以 2/伏)=/(1)+2)+,4 3)+/(5)+.+21)+4)+6)+.+22)=-1-3-1 0-1 0=-24.*=1故 选：D2.(2022北 京 北 师 大 实 验 中 学 模 拟 预

25、 测)在 人 工 智 能 领 域，神 经 网 络 是 一 个 比 较 热 门 的 话 题.由 神 经 网 络 发 展 而 来 的 深 度 学 习 正 在 飞 速 改 变 着 我 们 身 边 的 世 界.从 AlphaGo到 自 动 驾 驶 汽 车，这 些 大 家 耳 熟 能 详 的 例 子，都 是 以 神 经 网 络 作 为 其 理 论 基 础 的.在 神 经 网 络 当 中，有 一 类 很 重 要 的 函 数 称 为 激 活 函 数，Sigmoid函 数(r(x)即 是 神 经 网 络 中 最 有 名 的 激 活 函 数 之 一，其 解 析 式 为：b(x)=r.下 列 关 于 14-eSi

26、gmoid函 数 的 表 述 正 确 的 是：.Sigmoid函 数 是 单 调 递 增 函 数；Sigmoid函 数 的 图 象 是 一 个 中 心 对 称 图 形，对 称 中 心 为(),；)；对 于 任 意 正 实 数 小 方 程。(x)=。有 且 只 有 一 个 解；Sigmoid 函 数 的 导 数 满 足：c/(x)=c r(x)(l-o-(x).【答 案】【解 析】因 为 y=l+e-*为 单 调 递 减 函 数，所 以。(刈=金 7 为 单 调 递 增 函 数，故 正 确；因 为+所 以 Sigmoid函 数 的 图 象 是 一 个 中 心 对 称 图 形，对 称 中 心 为(

27、0，；),故 正 确；因 为 C T(X)=R 9 为 单 调 递 增 函 数，且 丫=1+/1,0).(1)证 明 函 数/(*)在(0,1)上 是 递 减 函 数，在(1，收)上 是 递 增 函 数；V x,x 0(2)函 数 g(x)=2，若 实 数 4 S e R，满 足 g(a)=g S)(a。)，求 匕 一。的 最 小 值；-,x0.X(3)函 数 g(x)如(2)中 所 述，力(x)是 定 义 在 R上 的 函 数，当 X42EI寸，/?(x)=g(x),且 对 任 意 的 x e R,都 有 h(x)=h(4-x)成 立，若 存 在 实 数”,。,4(4 6。0),、2 2(x

28、3-l)、/，(x)=2x-?=-(x 0)，当 xe(O,l)时,r(x)0,则 f(x)单 调 递 增,所 以 函 数 f M 在(0,1)上 是 递 减 函 数，在(I,+上 是 递 增 函 数；y/x,x0(2)己 知 g(x)=，2,x0、x当 x z o 时，g(x)=y 在。,心)上 单 调 递 增，当 x 0 时，g(x)=-:在(-8,0)上 单 调 递 增，由 于 实 数 a,6 e R，满 足 g3)=gS)(ab),可 知 g(a)=-：(a/S0),即-*2=掂 r-，所 以=；4_,a a4h-c i-v 0),4 _o _ 丫 3设 函 数 g(x)=F-x(x

29、0),贝 l g x)=U-(xo),A J C当 xe(Y),2)时，r(x)0,则 f(x)单 调 递 增,所 以 当 x=-2时，g(x)取 得 最 小 值，4即 g(4.=g(-2)=(-2)=3,z)所 以 人-的 最 小 值 为 3；Vx,0 x2(3)由 题 可 知，当 x 4 2 时，A(x)=g(x),则/(工)=4 2,x 0且 对 任 意 的 x c R，都 有(%)=(4-工)成 立，则 人 关 于 x=g=2 对 称，当*=0时，/?(0)=8=0,当 x=2时，/z(2)=V2,可 得/?(x)的 图 象 大 致 如 下：因 为 存 在 实 数 a,b,c,d(a

30、b v c d)满 足 h(a)=h(b)=h(c)=h(d),贝 可 知。与 关 于 x=2对 称，b 与 c关 于 x=2对 称，且 a 0,0 Z?2 v c 4,:,a+d=2x2=4,则 d=4，2+c=2 x 2=4,则 c=4-/7,2 2又:M a)=/z(。)，则-=靠，所 以 a 7b(ba)(cd-h 4)=(a)4(4 a)+4=R+价 H制,且 0 2,b2),=3,t=b T尸=b T k H 产 N 3 x 31bslh y/h yh当 且 仅 当 力=*=2，即 b=l 时 取 等 号，符 合 0 h 3),即(Z7-6/)(c-J+4)=-(r-2)2+4,(r 3),可 知 S-)(c-d+4)的 最 大 值 为：(3 2),*+4=4 1=3.