高考数学重点难点复习：函数中的综合问题.pdf

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1、难 点1 1函数中的综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.难点磁场()设函数式X)的定义域为R,对任意实数x、y 都有 r+y)寸a)4 yU),当 x 0 时/)0.(1)求八!)、/(!)；2 4(2)证明40是周期函数；记 a=fin+)，求 lim(I n an).2 n-oo命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识

2、的相互联系，抓住条件兀1 1+2)力修)凡切找到问题的突破口.错解分析：不会利用人制+通)力|)犬应)进行合理变形.技巧与方法:由於 1+*2)引为)於2)变形为/(X)=吗+|)=/(|)-/(|)-/(|)是 解 决问题的关键.(1)解：因为对 0,g ,都有回+用)刁),所 以 段)=吗+/=吗)0,X G 0,1 又因为川L x g)2式 J)=(；)22 4 4 4 4 4又 川)=01-11-f(-)=a22 4(2)证明：依题意设y4(x)关于直线x=l对称，故A x)=i/(1 +1 x),即/(x)与(2 x),xd R.又由凡於是偶函数知八-x)4(x),xG R，八-x)

3、4 2 x),xe R.将上式中一x 以x 代换得兀g/U+2)，这 表 明 於 上 的 周 期 函 数，且 2是它的一个周期.(3)解:由知兀 0,1 3)4乙+(-1)/c o n o o 2n 例2 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(k m/h)的平方成正比，比例系数为固定部分为a元.(1)把全程运输成本)，(元)表示为i，(k m/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值

4、等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.技巧与方法:四步法：(1)读 题;(2)建模；(3)求解；(4)评价.解 法：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为士，全程运输成本为vy=a,+bv2,=5(+bv)v v v.所求函数及其定义域为y=S(-+f e v),v e(0,c.V(2)依题意知，S、氏u均为1 E数：.S(-+bv)2Syfab 当且仅当3=如 即V=J3时，式中等号成立.若、Wc则当=、时，有)，m i n；v

5、V b V b V b若 c,则当 u (0,c 时，有 S(+bv)S(+hc)V b v c=S ()+(/?v/?(?)=(cv)(abcv)v c vcTc u 2 0,且 c bc2,.abcva/?c2 0.5(3+6)5(q+玩),当且仅当片。时等号成立，也即当V=C时，有y m i n；Vc综上可知，为使全程运输成本y最小，当 中 Wc时，行 驶 速 度 应 为 丫=华,当 草“时行驶速度应为v=c.解法二：(1)同解法一.(2)：函数产x+与 色0)4 6(0,+8),当；(0,)时，y单调减小，当XG(,+8)时yXa单调增加，当x=V T时y取得最小值，而全程运输成本函数

6、为y=S b(v+e),i，e(0,c .V:.当 聆 W c 时，则当v=旧 时,y最小，若 聆 时,则 当 口 时，y最小.结论同上.锦囊妙计在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.歼灭难点训练一、选择题1 .()函数产x+a与y=lo gx的图象可能是()2 .(*)定义在区间(-8,+8)的奇函数八x)为增函数，偶函数g(x

7、)在区间0,+8)的图象与人x)的图象重合，设”相0,给出下列不等式：/(-a)g(a)g(b)/仍)一八-a)g(b)g(a)f(a)f(h)g(b)g(a)其中成立的是()A.与 B.与 C.与 D.与二、填空题3 .(*初 若关于x的方程2 4 2%+“+1=0有实根，则实数a的取值范围是.三、解答题4 .()设 a 为实数，函数/(x A f+lx al+1/G R.(1)讨论/(x)的奇偶性；(2)求y(x)的最小值.|1 Y5.(*)设)=-4-lg-.x+1 1+x(1)证明：/U)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程r(x)=0 有惟一解；(3)解不等式/x(x g)0.1

8、+xy求证：吗)+/(2)+/(；7 T 7 TA 吗).7 .()某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为2 0 0 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过1 6 米，如果池外周壁建造单价为每米4 0 0 元，中间两条隔墙建造单价为每米2 4 8 元，池底建造单价为每平方米8 0 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8 .(*)已知函数式 X)在(-8,0)U(0,+8)上有定义，且在(),+8)上是增函数，1 )=0,X

9、 g()=s i n2 0 mcos 0 2m,0 E.,设知=必(0G R,A =tnf g(夕)0,求 M A N.学法指导怎样学好函数学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念：揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识.(一)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的

10、数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5 个方面：(1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.(三)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性

11、等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(四)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.参考答案难点磁场(1)证 明:令 x=y=O,得叫0)=0令 y=一耳得 x),即八x)=一/(x)是奇函数(2)解：1 ,任 取 实 数 朴 -9,9 且工1 0/|)/(2)寸(勺 一 检)+工 2 X2)+/(X2

12、)/(X)=-j x2 X1)因为 x 0 时段)0；.於)在 -9,9 上是减函数故人x)的最大值为人-9),最小值为犬9).而火 9)M3+3+3)=浜 3)=-1 2 4-9)=-A9)=1 2./U)在 区 间 9,9 上的最大值为1 2,最小值为-1 2.歼灭难点训练一、1.解析：分类讨论当。1 时和当OVa Vl时.答案：C2.解析：用特值法，根据题意，可设_/(x)=x,g(x)=W,又设a=2 力=1,则 fia)=a,g(a)=a/ib)=b,g(b)=bf(a)fib)=fl2)-1)=2+1=3.g(b)g(a)=gW g(2)=121.：.f(a)J-b)g(l)g(2

13、)=12=l.又/(b)一 式一。)=4 1)-A 2)=1+2=3.g(a)g(-b)=g(2)g(1 )=2 1=1,-fi-a)=g(a)g(b).即与成立.答案：c二、3.解析：设2 =0,则原方程可变为，+m+a+i=oA=a2-4（4 +1）2 0方程有两个正实根，贝|J T +弓=一。0八 =+1 o解得：(1,2 2亚.答案：（一1,2-2 7 2|三、4.解：当a=0时，函数八-x）=（一%y+|一出1口,此时段）为偶函数；当a W O时，%）=“2+1区一0 3 2+2|屈+1区一4）壬椒派一“）不一加）.此时函数府）既不是奇函数也不是偶函数.1 3 1（2）当 x W a

14、 时，函数/（x）=f x+a+l=（x 尸+二,若 a W 一,则函数段）在（-8,0|上2 4 2单调递减，从而，函数兀0在（-8,4 上的最小值为八/=2+.1 1 3 1若心,则函数式x）在（一8,而上的最小值为y（5）=i+”,且式m）W/（a）.1 3 1当 时，函数於）=f+x a+l=（x+/）2 a+7当 W 时，则函数x）在13 1 1）上的最小值为且人一一）（/（）.若a,则函数人4）在 凡+8）上单调递2 4 2 2增,从 而，函数）在 上 的 最 小 值 为 加）=/+1.综上，当 W 一上1 时，函数Z U）的最小值是士3 一，当一上1 1上时，函数7 U）的最小值

15、2 4 2 21 3是L+1；当”一时，函数九x）的最小值是。+2.2 4 X A5.（1）证明：由得/（x）的定义域为（一1,1）,易判断共外在（一1,1）内是减函数.x +2#0（2）证明：/（）=kg）=0,即x=g是方程广乜）=0的一个解.若方程厂4）=0还有另 一 个 解 沏 弓,则/|（珀=0,由反函数的定义知网）=Xo#g,与已知矛盾，故方程/（x）=0有惟一解.(3)解：f L x(Xy)(工-3)0 4 2 46.证明：对 +4底）中 的.令 3=。，得 的）=。，再令尸一x,又得阿+犬一冗）=的）=0,即次一x）=1/W,，危）在无（一1,1）上是奇函数.设一1两。2 0.

16、x-x21 -xxx2vo,于 是 由知人，）0,从而於）AM）。,即/UD R U 2）,故於）在x0（一 1,0）上是单调递减函数.根据奇1 -x1x2函数的图象关于原点对称，知犬外在x（O,l）上仍是递减函数，且兀0 0.1 7月)=/%+1)5+2)-尸(+1)51 +2)J(+1)(+2)11=/(n+w+,2)=/心)_/(1 1 1 +1+21-n+1 n+2.-./(-)+/()+-+/(1)5 /11 n2+3n+-+/(v O 1 时 而(工)故原结论成立.2 +2 2磊）一 七）=吗一*7.解：因污水处理水池的长为x米，则宽为一米，总造价尸400（2r+2X ）+248X

17、 X X X324X 2+80 X 200=800（x+）+16 00,由题设条件x0 x 16,200 解 得12.5 Wx W16,即函数定义域为 12.5,.0-16x324（2）先研究函数产心）=800（工+-）+16 000在 12.5,16 上的单调性，对于任意的xhx2x1 1 324 12.5,16 ,不妨设为孙 则犬必）一大修）=800（必一勺）+324（-）=800（冷一为）（1 ）,X2七xx21 32412.5 W尤 1 W qW 16.；.0 x,x2 162 1,即X|X2324-V 0.又 工2一一外 1)XlX2V0,即於2）V於1）,故函数产於）在 12.5,

18、上是减函数.当后1 6时，y取得最小值，此时,324 200 200ym in=800(16+)+16 000=45 000(元)，=12.5(米)16x 16综上，当污水处理池的长为16 米，宽 为 12.5 米时，总造价最低，最低为45 000元.8.解：是奇函数，且在(0,+8)上是增函数，.兀)在(8,0)上也是增函数.又 川)=0,，大-1)=一川)=0,从而，当於)0 时,有了 1或 0 4 1,则 集 合 心 夕)夕=必(J)V 1 或 0 V g(夕)m(co s 0 2)+2,0 e (),/,令克=co s n G 0,1 得:x2 m(x 2)+2 0,1,令：乃=?,工 0,1 及力二加(加-2)+2,显然为抛物线一段，是过(2,2)点的直线系，在同一坐标系内由x e 0,1 得 四 乃 42 V2 MCN=mm 42y/2 .