2017上海考研数学三真题及答案.pdf

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1、12 0 1 7 上 海 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题 1 8 小 题 每 小 题 4 分，共 3 2 分 1 若 函 数1 c os,0(),0 xxf xaxb x 在 0 x 处 连 续，则（A）12ab（B）12ab（C）0 a b（D）2 a b【详 解】0 0 011 c os 12l i m()l i m l i m2x x xxxf xax ax a，0l i m()(0)xf x b f，要 使 函 数 在0 x 处 连 续，必 须 满 足1 12 2b aba 所 以 应 该 选（A）2 二 元 函 数(3)z x y x y 的 极 值 点 是（）

2、（A）(0,0)（B）0 3(,)（C）3 0(,)（D）1 1(,)【详 解】2(3)3 2zy x y x y y x y yx，23 2zx x x yy，2 2 2 22 22,2,3 2z z z zy x xx y x y y x 解 方 程 组223 2 03 2 0zy x y yxzx x x yy，得 四 个 驻 点 对 每 个 驻 点 验 证2A C B，发 现 只 有 在点 1 1(,)处 满 足23 0 A C B，且 2 0 A C，所 以 1 1(,)为 函 数 的 极 大 值 点，所 以应 该 选（D）3 设 函 数()f x 是 可 导 函 数，且 满 足()

3、()0 f x f x，则（A）(1)(1)f f（B）1 1()()f f（C）1 1()()f f（D）1 1()()f f【详 解】设2()()g x f x，则()2()()0 g x f x f x，也 就 是 2()f x 是 单 调 增 加 函 数 也就 得 到 2 2(1)(1)(1)(1)f f f f，所 以 应 该 选（C）4 若 级 数21 1s i n l n(1)nkn n 收 敛，则 k（）2（A）1（B）2（C）1（D）2【详 解】i v n 时22 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1s i n l n(1)(1)2 2kk k o k on n n

4、n n n n n n 显 然 当 且 仅 当(1)0 k，也 就 是 1 k 时，级 数 的 一 般 项 是 关 于1n的 二 阶 无 穷 小，级 数收 敛，从 而 选 择（C）5 设 为 n 单 位 列 向 量，E 为 n 阶 单 位 矩 阵，则（A）TE 不 可 逆（B）TE 不 可 逆（C）2TE 不 可 逆（D）2TE 不 可 逆【详 解】矩 阵T 的 特 征 值 为 1 和 1 n 个 0，从 而,2,2T T T TE E E E 的 特 征 值 分 别 为 0,1,1,1；2,1,1,1；1,1,1,1；3,1,1,1 显 然 只 有TE 存 在零 特 征 值，所 以 不 可

5、逆，应 该 选（A）6 已 知 矩 阵2 0 00 2 10 0 1A，2 1 00 2 00 0 1B，1 0 00 2 00 0 2C，则（A）,A C 相 似，,B C 相 似（B）,A C 相 似，,B C 不 相 似（C）,A C 不 相 似，,B C 相 似（D）,A C 不 相 似，,B C 不 相 似【详 解】矩 阵,A B 的 特 征 值 都 是1 2 32,1 是 否 可 对 解 化，只 需 要 关 心 2 的情 况 对 于 矩 阵 A，0 0 02 0 0 10 0 1E A，秩 等 于 1，也 就 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 2 存 在 两个 线 性 无 关 的

6、 特 征 向 量，也 就 是 可 以 对 角 化，也 就 是 A C 对 于 矩 阵 B，0 1 02 0 0 00 0 1E B，秩 等 于 2，也 就 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 2 只 有 一个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，也 就 是 不 可 以 对 角 化，当 然,B C 不 相 似 故 选 择（B）7 设,A B，C 是 三 个 随 机 事 件，且,A C 相 互 独 立，,B C 相 互 独 立，则 A B 与 C 相 互 独立 的 充 分 必 要 条 件 是（）（A）,A B 相 互 独 立（B）,A B 互 不 相 容3（C）,A B C 相 互 独 立（D）,

7、A B C 互 不 相 容【详 解】()()()()()()()()()()P A B C P A C A B P A C P B C P A B C P A P C P B P C P A B C()()()()()()()()()()()()P A B P C P A P B P A B P C P A P C P B P C P A B P C 显 然，A B 与 C 相 互 独 立 的 充 分 必 要 条 件 是()()()P A B C P A B P C，所 以 选 择（C）8 设1 2,(2)nX X X n 为 来 自 正 态 总 体(,1)N 的 简 单 随 机 样 本，若1

8、1niiX Xn，则下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）（A）21()niiX 服 从2 分 布（B）212nX X 服 从2 分 布（C）21()niiX X服 从2 分 布（D）2()n X 服 从2 分 布解：（1）显 然2 2()(0,1)()(1),1,2,i iX N X i n 且 相 互 独 立，所 以21()niiX 服 从2()n 分 布，也 就 是（A）结 论 是 正 确 的；（2）22 2 221(1)()(1)(1)niin SX X n S n，所 以（C）结 论 也 是 正 确 的；（3）注 意2 21(,)()(0,1)()(1)X N n X N n X

9、n，所 以（D）结 论 也是 正 确 的；（4）对 于 选 项（B）：2 2 11 11()(0,2)(0,1)()(1)2 2nn nX XX X N N X X，所 以（B）结 论 是 错 误 的，应 该 选 择（B）二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）9 3 2 2(s i n)x x dx 解：由 对 称 性 知33 2 2 2 20(s i n)22x x dx x dx 1 0 差 分 方 程12 2tt ty y 的 通 解 为【详 解】齐 次 差 分 方 程12 0t ty y 的 通 解 为

10、2xy C；4设12 2tt ty y 的 特 解 为 2tty at，代 入 方 程，得12a；所 以 差 分 方 程12 2tt ty y 的 通 解 为12 2.2t ty C t 1 1 设 生 产 某 产 品 的 平 均 成 本()1QC Q e，其 中 产 量 为 Q，则 边 际 成 本 为.【详 解】答 案 为 1(1)QQ e 平 均 成 本()1QC Q e，则 总 成 本 为()()QC Q Q C Q Q Q e，从 而 边 际 成 本 为()1(1).QC Q Q e 1 2 设 函 数(,)f x y 具 有 一 阶 连 续 的 偏 导 数，且 已 知(,)(1)y

11、ydf x y y e dx x y e dy，(0,0)0 f，则(,)f x y【详 解】(,)(1)()y y ydf x y y e dx x y e dy d x y e，所 以(,)yf x y x y e C，由(0,0)0 f，得 0 C，所 以(,)yf x y x y e 1 3 设 矩 阵1 0 11 1 20 1 1A，1 2 3,为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量，则 向 量 组1 2 3,A A A 的 秩 为【详 解】对 矩 阵 进 行 初 等 变 换1 0 1 1 0 1 1 0 11 1 2 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 1 0 0 0A，

12、知 矩 阵 A 的秩 为 2，由 于1 2 3,为 线 性 无 关，所 以 向 量 组1 2 3,A A A 的 秩 为 2 1 4 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 122P X，1 P X a，3 P X b，若0 E X，则 D X【详 解】显 然 由 概 率 分 布 的 性 质，知112a b 12 1 3 3 1 02E X a b a b，解 得1 1,4 4a b 292 92E X a b，2 29()2D X E X E X 三、解 答 题1 5（本 题 满 分 1 0 分）5求 极 限030l i mxtxx t e dtx【详 解】令 x t u，则,t x

13、 u dt du，0 0 x xt x ux t e dt u e du 0 0 03 3 30 0 0 02l i m l i m l i m l i m332x x xt x u uxx x x xx t e dt e u e du u e dux ex x xx 1 6（本 题 满 分 1 0 分）计 算 积 分32 4 2(1)Dydx dyx y，其 中 D 是 第 一 象 限 中 以 曲 线 y x 与 x 轴 为 边 界 的 无 界区 域【详 解】3 32 4 2 2 4 20 02 42 4 20 02 20(1)(1)1(1)4(1)1 1 1 214 1 1 2 8 2xD

14、xy ydx dy dx dyx y x yd x ydxx ydxx x 1 7（本 题 满 分 1 0 分）求21l i m l n 1nnkk kn n【详 解】由 定 积 分 的 定 义1201 11201l i m l n 1 l i m l n 1 l n(1)1 1l n(1)2 4n nn nk kk k k kx x dxn n n n nx dx 1 8（本 题 满 分 1 0 分）已 知 方 程1 1l n(1)kx x 在 区 间(0,1)内 有 实 根，确 定 常 数 k 的 取 值 范 围【详 解】设1 1(),(0,1)l n(1)f x xx x，则2 22 2

15、 2 21 1(1)l n(1)()(1)l n(1)(1)l n(1)x x xf xx x x x x x 令2 2()(1)l n(1)g x x x x，则2(0)0,(1)2 l n 2 1 g g 62()l n(1)2 l n(1)2,(0)0 g x x x x g 2(l n(1)()0,(0,1)1x xg x xx，所 以()g x 在(0,1)上 单 调 减 少，由 于(0)0 g，所 以 当(0,1)x 时，()0)0 g x g，也 就 是()g x()g x 在(0,1)上 单 调减 少，当(0,1)x 时，()(0)0 g x g，进 一 步 得 到 当(0,1

16、)x 时，()0 f x，也 就 是()f x在(0,1)上 单 调 减 少 0 0 01 1 l n(1)1l i m()l i m l i ml n(1)l n(1)2x x xx xf xx x x x，1(1)1l n 2f，也 就 是 得 到1 11l n 2 2k 1 9（本 题 满 分 1 0 分）设0 1 1 111,0,()(1,2,3),1n n na a a na a nn，()S x 为 幂 级 数0nnna x的 和 函 数（1）证 明0nnna x的 收 敛 半 径 不 小 于 1（2）证 明(1)()()0(1,1)x S x x S x x，并 求 出 和 函

17、数 的 表 达 式【详 解】（1）由 条 件1 1 1 11()(1)1n n n n n na na a n a na an 也 就 得 到1 1(1)()()n n n nn a a a a，也 就 得 到111,1,2,1n nn na ana a n 1 1 1 2 11 0 1 1 2 1 01(1)(1)!n n n n n n nn n n na a a a a a a aa a a a a a a a n 也 就 得 到111(1),1,2,(1)!nn na a nn 11 1 1 2 1 121()()()(1)!nkn n n n nka a a a a a a ak 1

18、 1 1l i m l i m l i m 12!3!nnnnn n na en，所 以 收 敛 半 径 1 R（2）所 以 对 于 幂 级 数0nnna x，由 和 函 数 的 性 质，可 得11()nnnS x na x，所 以71 11 1 110 11 11111 0 0(1)()(1)(1)(1)()n n nn n nn n nn nn nn nnn nnn n nn n nn n nx S x x na x na x na xn a x na xa n a na xa x a x x a x x S x 也 就 是 有(1)()()0(1,1)x S x x S x x 解 微

19、分 方 程(1)()()0 x S x x S x，得()1xC eS xx，由 于0(0)1 S a，得 1 C 所 以()1xeS xx2 0（本 题 满 分 1 1 分）设 三 阶 矩 阵 1 2 3,A 有 三 个 不 同 的 特 征 值，且3 1 22.（1）证 明：()2 r A；（2）若1 2 3,，求 方 程 组 A x 的 通 解【详 解】（1）证 明：因 为 矩 阵 有 三 个 不 同 的 特 征 值，所 以 A 是 非 零 矩 阵，也 就 是()1 r A 假 若()1 r A 时，则 0 r 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值，与 条 件 不 符 合，所 以 有()2

20、r A，又 因 为3 1 22 0，也 就 是1 2 3,线 性 相 关，()3 r A，也 就 只 有()2 r A（2）因 为()2 r A，所 以 0 A x 的 基 础 解 系 中 只 有 一 个 线 性 无 关 的 解 向 量 由 于3 1 22 0，所 以 基 础 解 系 为121x；又 由1 2 3,，得 非 齐 次 方 程 组 A x 的 特 解 可 取 为111；方 程 组 A x 的 通 解 为1 12 11 1x k，其 中 k 为 任 意 常 数 82 1（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(,)2 2 8

21、 2 f x x x x x ax x x x x x x 在 正 交 变 换 x Q y 下 的 标准 形 为2 21 1 2 2y y，求 a 的 值 及 一 个 正 交 矩 阵 Q【详 解】二 次 型 矩 阵2 1 41 1 14 1Aa 因 为 二 次 型 的 标 准 形 为2 21 1 2 2y y 也 就 说 明 矩 阵 A 有 零 特 征 值，所 以 0 A，故 2.a 1 1 41 1 1(3)(6)4 1 2E A 令 0 E A 得 矩 阵 的 特 征 值 为1 2 33,6,0 通 过 分 别 解 方 程 组()0iE A x 得 矩 阵 的 属 于 特 征 值13 的

22、特 征 向 量111131，属 于 特 征 值 特 征 值26 的 特 征 向 量211021，30 的 特 征 向 量311261，所 以 1 2 31 1 13 2 61 2,03 61 1 13 2 6Q 为 所 求 正 交 矩 阵 2 2（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量,X Y 相 互 独 立，且 X 的 概 率 分 布 为 10 2 2P X P X，Y 的 概 率 密 度为2,0 1()0,y yf y 其 他（1）求 概 率 P Y E Y（）；（2）求 Z X Y 的 概 率 密 度【详 解】（1）1202()2.3YE Y y f y dy y dy 9所 以

23、 2302 42.3 9P Y E Y P Y y dy（2）Z X Y 的 分 布 函 数 为(),0,20,2,21 1 22 21()(2)2ZY YF z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z XP X Y z P X Y zP Y z P Y zF z F z 故 Z X Y 的 概 率 密 度 为 1()()()(2)2,0 12,2 30,Z Zf z F z f z f zz zz z 其 他2 3（本 题 满 分 1 1 分）某 工 程 师 为 了 解 一 台 天 平 的 精 度，用 该 天 平 对 一 物 体 的 质 量 做 了 n 次 测 量，该

24、 物 体 的 质 量 是 已 知 的，设 n 次 测 量 结 果1 2,nX X X 相 互 独 立 且 均 服 从 正 态 分 布2(,).N 该 工 程 师记 录 的 是 n 次 测 量 的 绝 对 误 差,(1,2,)i iZ X i n，利 用1 2,nZ Z Z 估 计 参 数（1）求iZ 的 概 率 密 度；（2）利 用 一 阶 矩 求 的 矩 估 计 量；（3）求 参 数 最 大 似 然 估 计 量【详 解】（1）先 求iZ 的 分 布 函 数 为()iZ i iXzF z P Z z P X z P 当 0 z 时，显 然()0ZF z；当 0 z 时，()2 1iZ i iX

25、z zF z P Z z P X z P；所 以iZ 的 概 率 密 度 为2222,0()()20,0zZ Ze zf z F zz 1 0（2）数 学 期 望2220 02 2()2 2ziE Z z f z dz z e dz，令11niiE Z Z Zn，解 得 的 矩 估 计 量12 22 2niiZ Zn（3）设1 2,nZ Z Z 的 观 测 值 为1 2,nz z z 当 0,1,2,iz i n 时似 然 函 数 为2211212()(,)(2)niin n ziniL f z e，取 对 数 得：2211l n()l n 2 l n(2)l n2 2niinL n n z 令231l n()10niid L nzd，得 参 数 最 大 似 然 估 计 量 为211niizn