2010上海考研数学三真题及答案.pdf

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1、12 0 1 0 上 海 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(1)若01 1lim()1xxa ex x，则 a 等 于（）（）（）（）(2)设1y,2 y 是 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 y p x y q x 的 两 个 特 解.若 常 数,使1 2y y 是 该 方 程 的 解,1 2 y y 是 对 应 的 齐 次 方 程 的 解,

2、则（A）1 1,2 2(B)1 1,2 2(C)2 1,3 3(D)2 2,3 3（3）设 函 数(),()f x g x 具 有 二 阶 导 数，且()0 g x。若0()g x a 是()g x 的 极 值，则 f g x 在0 x 取 极 大 值 的 一 个 充 分 条 件 是(A)0 f a(B)0 f a(C)0 f a(D)0 f a（4）设 1010ln,xf x x g x x h x e，则 当 x 充 分 大 时 有(A)g x h x f x.(B)h x g x f x.(C)f x g x h x.(D)g x f x h x.(5)设 向 量 组1 2:,rI 可

3、由 向 量 组1 2II:,s 线 性 表 示,则 列 命 题 正 确 的是(A)若 向 量 组 I 线 性 无 关,则 r s(B)若 向 量 组 I 线 性 相 关,则 r s(C)若 向 量 组 II 线 性 无 关,则 r s(D)若 向 量 组 II 线 性 相 关,则 r s(6)设 A 为 4 阶 对 称 矩 阵,且20 A A 若 A 的 秩 为 3,则 A 相 似 于(A)1110(B)1110(C)1110(D)1110 2(7)设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数0,01(),0 121,1xxF x xe x，则 1 P X(A)0(B)1(C)112e(D)11

4、 e(8)设1()f x 为 标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度2()f x 为 1,3 上 均 匀 分 布 的 概 率 密 度,12(),0()(0,0)(),0af x xf x a bbf x x 为 概 率 密 度,则,a b 应 满 足(A)2 3 4 a b(B)3 2 4 a b(C)1 a b(D)2 a b 二、填 空 题(9-1 4 小 题,每 小 题 4 分,共 2 4 分,请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.)（9）设 可 导 函 数 y y x 由 方 程220 0sinx y xte dt x t dt 确 定，则0_xdydx（1 0）

5、设 位 于 曲 线21()(1 ln)y e xx x 下 方,x 轴 上 方 的 无 界 区 域 为 G,则 G绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 空 间 区 域 的 体 积 为 _。（1 1）设 某 商 品 的 收 益 函 数 为 R p，收 益 弹 性 为31 p,其 中 p 为 价 格,且 1 1 R,则 _ R p（1 2）若 曲 线3 2 1 y x a x bx 有 拐 点 1,0,则 _ b。(1 3)设,A B 为 3 阶 矩 阵,且,|,A B A B 13 2 2 则|_.A B 1（1 4）设1 2,nX X X 是 来 自 总 体2(,)(0)N 的 简 单 随 机

6、样 本。记 统 计 量211niiT Xn，则()_ E T。三、解 答 题(1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 的 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)（1 5）(本 题 满 分 1 0 分)求 极 限1 1lnlim(1)x xxx（1 6）(本 题 满 分 1 0 分)计 算 二 重 积 分3()Dx y dx dy,其 中 D 由 曲 线21 x y 与 直 线 2 0 x y 及2 0 x y 围 成.3（1 7）(本 题 满 分 1 0 分)求 函 数 2 u x y y z 在 约

7、束 条 件2 2 210 x y z 下 的 最 大 值 和 最 小 值.(1 8)(本 题 满 分 1 0 分)(1)比 较10ln ln(1)nt t dt 与10ln(1,2,)nt t dt n 的 大 小,说 明 理 由。(2)记10ln ln(1),(1,2,)nnu t t dt n 求 极 限 limnnu。（1 9）(本 题 满 分 1 0 分)设 函 数 f x 在 闭 区 间 0,3 上 连 续,在 开 区 间 0,3 内 存 在 二 阶 导 数,且202(0)()(2)(3)f f x dx f f(I)证 明 存 在 0,2,使 得()0 f f；(I I)证 明 存

8、 在 0,3,使 得()0 f。(2 0)(本 题 满 分 1 1 分)设1 10 1 01 1A，11ab 已 知 线 性 方 程 组 A X b 存 在 两 个 不 同 的 解.(1)求,a；(2)求 方 程 组 A X b 的 通 解.(2 1)(本 题 满 分 1 1 分)设0 1 41 34 0A aa,正 交 矩 阵 Q 使 得TQ A Q 为 对 角 矩 阵.若 Q 的 第 一 列 为1(1,2,1)6T,求,a Q.(2 2)(本 题 满 分 1 1 分)设 二 维 随 机 变 量(,)X Y 的 概 率 密 度 为2 22 2(,)x x y yf x y A e，x，y 求

9、 常 数 A 以 及 条 件 概 率 密 度|Y Xf y x。(2 3)(本 题 满 分 1 1 分)箱 中 装 有 6 个 球,其 中 红、白、黑 球 个 数 分 别 为 1,2,3 个,现 从 箱 中 随 机 地 取 出 2 个 球,记X 为 取 出 红 球 的 个 数,Y 为 取 出 白 球 的 个 数.(I)求 随 机 变 量,X Y 的 概 率 分 布；(I I)求,C ov X Y.4参 考 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前

10、 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(1)【分 析】通 分 直 接 计 算 等 式 左 边 的 极 限，进 而 解 出 a.【详 解】由 于0 0 01 1 1 1lim()lim lim()x x xx xx x xe ax e ea e aex x x x 0 01lim lim 1xxx xeae ax 从 而 由 题 设 可 得 1 1 a，即 2 a，故 应 选（C）(2)【分 析】此 题 主 要 考 查 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 和 结 构【详 解】因 为1y,2 y 是 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 y p x y q x 的 两 个

11、 特 解，所 以 1 1 2 2y p x y y p x y q x-（1）由 于1 2y y 是 该 方 程 的 解,则 1 2 1 2()()y y p x y y q x 即 1 1 2 2()()y p x y y p x y q x 将（1）代 入 上 式 可 得：1（2）由 于1 2 y y 是 对 应 的 齐 次 方 程 的 解则 1 2 1 2()()0 y y p x y y，即 1 1 2 2()()0 y p x y y p x y 将（1）代 入 上 式 可 得：0（3）由（2）、（3）可 得12。故 应 选（A）评 注：设1 2,sy y y 是 一 阶 线 性 非

12、 齐 次 微 分 方 程 y p x y q x 的 解，则 对 于 常 数1 2,sk k k，有 下 列 结 论：若1 21sk k k，则1 1 2 2 s sk y k y k y 是 方 程 y p x y q x 的 解；若1 20sk k k，则1 1 2 2 s sk y k y k y 是 方 程 0 y p x y 的 解。（3）【分 析】本 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用.求 f g x 的 一、二 阶 导 数，利 用 取 得 极 值 的 必要 条 件 及 充 分 条 件。【详 解】令()F x f g x，则5()F x f g x f g x g x,2()F

13、 x f g x f g x g x f g x g x f g x g x 由 0g x a 是()g x 的 极 值 知 00 g x。于 是 有0()0 F x，0 0()()()F x f a g x 由 于()0 g x,要 使 0 0()0 F x f g x,只 要 0 f a.因 此 应 选(B)（4）.【分 析】计 算 两 两 比 的 极 限 便 可 得 到 答 案【详 解】因 为10 9 8()ln ln lnlim lim 10 lim 10 9 lim()x x x xf x x x xg x x x x ln10!limxxx 110!lim 0 xx,10 10()

14、1lim lim lim 0()110 x xx x xg x xh xe e,由 此 可 知 当 x 充 分 大 时,()()()f x g x h x，故 应 选（C）。(5)【分 析】本 题 考 查 向 量 组 的 线 性 相 关 性。【详 解】因 向 量 组 I 能 由 向 量 组 II 线 性 表 示，所 以 I II r r（）（），即1 2 1 2(,(,),r sr r s）若 向 量 组 I 线 性 无 关，则1 2(,)rr r，所 以 r s.故 应 选(A).评 注：“若1 2,r 线 性 无 关 且1 2,r 可 由1 2,s 线 性 表 示，则 r s”这 是 线

15、性 代 数 中 的 一 个 重 要 定 理，对 定 理 熟 悉 的 考 生 可 直 接 得 正 确 答 案.(6)【分 析】考 查 矩 阵 特 征 值、特 征 值 的 性 质 及 实 对 称 矩 阵 的 性 质。【详 解】由 于20 A A，所 以()0 A A E，由 于 A 的 秩 为 3，所 以 A E 不 可 逆，从 而 0,0 A A E，所 以1 20,1 是 矩 阵 A 的 特 征 值。假 设 是 矩 阵 A 的 特 征 值，则20，则 只 能 是 0 或 1。由 于 A 是 实 对 称 矩 阵，且 A 的 秩 为 3，所 以 其 全 部 特 征 值 为 1,1,1,0，因 此

16、应 选（D）(7)【分 析】考 查 如 何 利 用 分 布 函 数 计 算 随 机 变 量 取 值 的 概 率。【详 解】由 分 布 函 数 的 性 质 可 知：6 1111 1 1(1)lim()2xP X P X P X F F x e 故 应 选（C）(8)【分 析】考 查 概 率 密 度 的 性 质()0 f x，()1 f x dx【详 解】由 已 知 可 得：21211()2xf x e，21,1 3()40,xf x 其 他由 概 率 密 度 的 性 质 可 知：()1 f x dx 所 以0 31 2 10 01 1 1 31()()()2 4 2 4a f x dx b f

17、x dx a f x dx b dx a b 因 此 应 选（）二、填 空 题(9-1 4 小 题,每 小 题 4 分,共 2 4 分,请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.)（9）【分 析】先 由 方 程 求 出 0 x 时 0 y，再 两 边 对 x 求 导 或 两 边 微 分。【详 解】法 一：由220 0sinx y xte dt x t dt，令 0 x 得 0 y 等 式 两 端 对 x 求 导 得2()2 20(1)(sin)sinxx ydye t dt x xdx 将 0 x，0 y 代 入 上 式 得：01xdydx 法 二：由220 0sinx y xt

18、e dt x t dt，令 0 x 得 0 y 等 式 两 端 对 x 微 分 得2()2 20()(sin)sinxx ye dx dy t dt dx x x dx 将 0 x，0 y 代 入 上 式 得：0()0 xdx dy，从 而01xdydx（1 0）【分 析】利 用 旋 转 体 的 体 积 公 式 即 得。计 算 时 须 注 意 这 是 一 个 反 常 积 分。【详 解】2221()lim tan(ln)(1 ln)4 4e e xV y x dx dx ar c xx x（1 1）【分 析】此 题 考 查 弹 性 的 定 义 及 可 分 离 变 量 微 分 方 程 的 解 法，

19、利 用 弹 性 的 定 义 列 方 程，然 后 解 此 微 分 方 程【详 解】由 弹 性 的 定 义 知，收 益 弹 性 为p dRR dp，由 题 设 可 得31p dRpR dp，且 1 1 R 分 离 变 量 可 得21()dRp dpR p，两 端 积 分 得31ln ln ln3R p p C 7从 而 方 程 通 解 为：33pR C pe 由 1 1 R 可 得13C e。从 而 方 程 的 特 解 为313pR pe由 此 可 得 收 益 函 数 为313()pR p pe。（1 2）【分 析】利 用 1,0 是 曲 线 拐 点 的 条 件 列 方 程 解 出 b.【详 解】

20、3 2 1 y x a x bx 在 整 个 实 数 区 间 上 可 导,且2 3 2 y x a x b，6 2 y x a 因 1,0 是 曲 线 的 拐 点，有 6 2 0 a 即 3 a.又 点 1,0 在 曲 线 上,于 是3 2 0(1)3(1)(1)1 b，得 3 b.(1 3)【分 析】本 题 考 查 矩 阵 的 运 算、行 列 式 的 性 质.【详 解】由 于|()()|A B A B E B A B A A B A B A B 1 1 1 1 1 11|3 2 2 3 A A B B 1 1。因 此 应 填 3。评 注：也 可 以 由|A A B E A B A B B 1

21、 1得|.A B 13（1 4）【分 析】本 题 考 查 重 要 统 计 量 的 数 字 特 征，是 一 道 非 常 基 本 的 题.【详 解】根 据 简 单 随 机 变 量 样 本 的 性 质，1 2,nX X X 相 互 独 立 且 与 总 体 同 分 布，即2(,)iX N，于 是2(),()i iE X D X，2 2 2 2()()()i i iE X D X E X，因 此2 2 2 21 11 1()()()n ni ii iE T E X E Xn n。三、解 答 题(1 5 2 3 小 题,共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 的 位 置 上.解 答 应

22、 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)（1 5）【分 析】化 为 指 数 形 式，用 洛 必 达 法 则 及 等 价 无 穷 小 替 换 求 极 限。【详 解】1 ln1 1 ln(1)ln(1)limln ln lnlim(1)limxx xxx ex x x xx xx e e lnlnln2ln 21()1 ln1 1 lnlim limlim1 ln1xxxxxxx x xxxex xe x xexxxx e xe e e 1 lnlim1ln xxxe e（1 6）【分 析】被 积 函 数 展 开，利 用 二 重 积 分 的 对 称 性。8【详 解】显 然

23、D 关 于 x 轴 对 称,且1 2D D D 其 中 21(,)0 1,2 1 D x y y y x y，22(,)1 0,2 1 D x y y y x y 3 3 2 2 3()(3 3)D Dx y dx dy x x y x y y dx dy 2 3 3 2(3)(3)D Dx y y dx dy x x y dx dy 由 于 被 积 函 数2 33 x y y 是 关 于 y 的 奇 函 数，3 23 x x y 是 关 于 y 的 偶 函 数，所 以211 13 3 2 3 20 2()2(3)2(3)yyD Dx y dx dy x x y dx dy dy x x y

24、dx 2 11 4 2 2201 32()4 2yyx x y dy 2 2 412 2 20(1)(2)32(1 2)4 2y yy y y dy 12 4 2 201(1 2 3)3(1)2y y y y dy 1 2 3 1 1 8 6 14(1)3()2 3 5 3 5 15 15 15 评 注：二 重 积 分 的 对 称 性 的 考 查 一 直 是 研 究 生 考 试 的 重 要 测 试 内 容.（1 7）【分 析】本 题 为 条 件 极 值 问 题,用 拉 格 朗 日 乘 数 法。【详 解】令 2 2 2,2 10 F x y z x y y z x y z，解 方 程 组2 2

25、22 02 2 02 2 010 0 xyzF y xF x z yF y zF x y z-（1）当 0 y 时，从 方 程 组（1）可 得2 22 2 22510 0z xy xx y z 此 时 解 得152xyz 和152xyz；9当 0 y 时，从 方 程 组（1）可 得2 2 20210 0yx zx y z 此 时 解 得2 202xyz 和2 202xyz；综 上，可 得(,)F x y z 的 如 下 六 个 驻 点1(1,5,2)P、2(1,5,2)P、3(1,5,2)P、4(1,5,2)P、5(2 2,0,2)P、6(2 2,0,2)P 代 入 2 u x y y z 可

26、 得：1()5 5 u P、2()5 5 u P、3()5 5 u P、4()5 5 u P 5()0 u P、6()0 u P 从 而 所 求 最 大 值 为 5 5,最 小 值 为 5 5。(1 8)【分 析】考 查 定 积 分 性 质、分 部 积 分 法 和 夹 逼 定 理。对(I)比 较 被 积 函 数 的 大 小；对(I I)用 分 部 积 分 法 计 算 积 分10lnnt t dt再 用 夹 逼 定 理 求 极 限。【详 解】(1)，由 于 0 t 时，0 ln(1)t t，所 以 0 ln(1)n nt t，从 而0 ln ln(1)lnn nt t t t 从 而 由 积 分

27、 的 保 号 性 定 理 可 得1 10 0ln ln(1)lnn nt t dt t t dt(1,2,)n(2)由(1)可 知：100 lnnnu t t dt，而1 1 110 0 01ln ln ln1n n nt t dt t t dt t dtn 11 10 201 1(ln)1(1)n nt t t dtn n 又 因 为21lim 0(1)nn，从 而 由 夹 逼 定 理 可 得：lim 0nnu。评 注：若 一 题 有 多 问，应 特 别 注 意 利 用 前 面 提 供 的 信 息.（1 9）【分 析】需 要 证 明 的 结 论 与 导 数 有 关，自 然 联 想 到 用 微

28、 分 中 值 定 理10【详 解】(I)令0()()xF x f t dt，因 f x 在 闭 区 间 0,2 上 连 续,所 以()F x 在 闭区 间 0,2 上 连 续，在 开 区 间(0,2)内 可 导，由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得，至 少 存 在 一 点 0,2,使 得(2)(0)()(2 0)F F F，即20()2()f x dx f 又202(0)()f f x dx，所 以()0 f f。命 题（I）得 证。()因 2 0 2 3 f f f，即(2)3)(0)2f ff又 函 数 f x 在 闭 区 间 0,3 上 连 续,从 而(2)3)(0)2f ff 介 于

29、 f x 在 2,3 上的 最 大 值 与 最 小 值 之 间,由 介 值 定 理 知，至 少 存 在 一 点 2,3,使 得()0 f f 因 此 f x 在 区 间 0,上 都 满 足 罗 尔 中 值 定 理 条 件，于 是 至 少 存 在 点10,（）,2,（）,使 得1 2()()0 f f。由 f x 在 闭 区 间 0,3 上 连 续,在 开 区 间 0,3 内 存 在 二 阶 导 数,知()f x 在 1 2,上 连 续,在 1 2,可 导，用 罗 尔 中 值 定 理,至 少 存 在 一 点 1 2,0,3,使 得()0 f.评 注：一 般 地 有 如 下 结 论：设()f x

30、在(,)a b 内 连 续，1 2 na x x x b，则 存 在1,nx x，使 得1 2()()()()nf x f x f xfn(2 0)【分 析】本 题 考 查 方 程 组 解 的 判 定 与 通 解 的 求 法.由 非 齐 次 线 性 方 程 组 存 在 2 个 不 同 解知 对 应 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解，而 且 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 无 穷 多 解.【详 解】(1)由 于 线 性 方 程 组 A X b 存 在 两 个 不 同 的 解，所 以 该 方 程 组 有 无 穷 多 解，从 而()()3 r A r A。又21 1 1 1 1 1 1

31、 10 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 11 1 1 1 1 0 1 1aAa a 21 1 10 1 0 10 0 1 1 a 11从 而21 01 01 0a，解 得：1,2 a。(2)当 1,2 a 时31 0 121 1 1 110 2 0 1 0 1 020 0 0 00 0 0 0A 所 以 方 程 组 的 同 解 方 程 组 为1 323212x xx，从 而 原 方 程 通 解 为：3 1(1,0,1)(,0),(2 2T TX k k 为 任 意 常 数）。(2 1)【分 析】本 题 考 查 实 对 称 矩 阵 正 交 化 问 题.由 Q 的 列 向 量 都 是 特

32、征 向 量 可 得 a 的 值 以及 对 应 的 特 征 值,然 后 由 A 可 求 出 另 外 两 个 特 征 向 量,于 是 最 终 求 出 Q.【详 解】由 题 设11 1(1,2,1)(1,2,1)6 6T TA,于 是10 1 41 3(1,2,1)(1,2,1)4 0T Taa,即1(2,5,4 2)(1,2,1)T Ta a 从 而11,2 a 由 于 A 的 特 征 多 项 式1 3 2()1 4 5 5 5 1 1 11 3 1 1 3 1(5)1 3 14 1 4 1 4 1r r rE A(2)(5)(4)所 以 A 的 特 征 值 为 2,5,4 由 于 方 程 组(5

33、)0 E A X 的 基 础 解 系 为(1,1,1)T，所 以 属 于 特 征 值 5 的 一 个 单 位12特 征 向 量 为1(1,1,1)3T；又 方 程 组(4)0 E A X 的 基 础 解 系 为(1,0,1)T，所 以 属 于 特 征 值 4 的 一 个 单 位特 征 向 量 为1 1(,0,)2 2T.令1 1 16 3 22 106 31 1 16 3 2Q,则 有2 0 00 5 00 0 4TQ A Q,故 Q 为 所 求 矩 阵.评 注:因 为 正 交 矩 阵 Q 使 得TQ A Q 为 对 角 矩 阵,则 Q 的 列 向 量 都 是 A 特 征 向 量.本 题 正

34、是 以此 为 切 入 点 解 出 a.(2 2)【分 析】本 题 考 查 二 维 联 合 密 度 的 性 质 与 条 件 密 度 的 计 算，而 求 条 件 密 度 的 本 质 还 是求 边 缘 密 度。【详 解】由 概 率 密 度 的 性 质 得2 2 2 2 2 22 2()1x x y y x y x x tdx A e dy A e dx e dy A e dx e dt A A 所 以1A，即2 22 21(,)x x y yf x y e。因 为 X 的 边 缘 概 率 密 度 为2 2 2 22 2()1 1()(,)x x y y x y xXf x f x y dy e dy

35、 e e dy 2 2 2 1 1x t xe e dt e 因 此 条 件 概 率 密 度 2 22|(,)1|()x x y yY XXf x yf y x ef x，x，y 评 注：本 题 要 充 分 的 利 用 积 分2te dt 简 化 计 算。(2 3)【分 析】本 题 是 计 算 二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 联 合 分 布 律 与 数 字 特 征,第 一 问 实 际 上 为 古典 概 率 问 题.【详 解】(I)易 知 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1，Y 的 所 有 可 能 取 值 为 0，1,2 各 值，由 于,X i Y j 表 示 取 到 i 个 红

36、 球，j 个 白 球.由 古 典 概 型 得13 232630,015CP X Y PC 取 到 两 个 黑 球 1 12 32660,115C CP X Y PC 取 到 一 个 白 球 与 一 个 黑 球 222610,215CP X Y PC 取 到 两 个 白 球 1 11 32631,015C CP X Y PC 取 到 一 个 红 球 与 一 个 黑 球 1 12 12621,115C CP X Y PC 取 到 一 个 白 球 与 一 个 红 球 1,2 0 P X Y P 于 是 故 二 维 随 机 变 量,X Y 的 概 率 分 布 为(表 中 最 后 一 列 与 最 后 一 行 分 别 是 关 于 X 和 关 于Y 的 边 缘 概 率 分 布)YX0 1 2 P X i 0 3/1 5 6/1 5 1/1 5 1 0/1 51 3/1 5 2/1 5 0 5/1 5 P Y j 6/1 5 8/1 5 1/1 5(I I)由()知：1()3E X，2()3E Y，2()15E X Y 于 是2 1 2 4(,)()()()15 3 3 45C ov X Y E X Y E X E Y。