2023年高考数学题型之精解2022年数学高考真题(全国通用)44 导数中的函数零点问题(解析版).pdf

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1、专题4 4 导数中的函数零点问题【高考真题】1.(2 0 2 2全国乙文)已知函数，(1)=公一-(a +l)lnx.x(1)当。=0时，求/(x)的最大值;(2)若八幻恰有一个零点，求。的取值范围.1 .解析 当 =0时，/(x)=-lnx,x 0 ,则/(力=下=,X X X当x e(O,l)时,r(x)0,/单调递增；当x e(l,z。)时，/(x)0 ,贝1广 二 力 二-二(吁 0,当a当。时,依-14 0,所以当x 0,l)时，尸(x)0,/(x)单调递增；当 x e(l,+oo)时，,f(x)0,/(x)单调递减；所以/(x)ma x=/(l)=a T ，此时函数无零点，不合题意

2、；当0 a 1,在(0,1),仕+8 1 上，r(x)0,小)单调递增；a)在,|上，r a)o,/单调递减；又/。)=一1 。，由(1)得，+lnx N 1 ,即 In，N1 无，所以 Inx v x,ln v x,nx 1 时，f(x)=ax_ _-(6t +l)lnx a r-2(6R+1)/X a r-(2 +3),X X则存在m=尼+2)1,使得/0,所以/(x)仅在G m)有唯一零点，符合题意；当。=1时，/，口)=区120,所以力单调递增，又4 1)=1=0,X2所以“X)有唯一零点，符合题意；当时，1 0,/(X)单调递增；在 ，1)上，/(x)0,/(x)单调递减；此时/由(

3、I)得当 0 x l-jIn x 1 -,所以In无 2(4此时/(3)=依-(a+1)Inx cix-2(a4-1)|1 产|-1(厂),x x jx)x y/x存在=4(：庐：使得)0,当 x e(-l,0),g(x)=ev+(l-x2)0,即/(x)0所以/(x)在(-L 0)上单调递增，/(x)0.所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(O)=l+a.O,即 八 x)0.所以/(x)在(0,+8)上单调递增，/(x)/(0)=0.故x)(0,+8)上没有零点，不合题意.3 若 a 0,所以g(x)在(0,+00)上单调递增.g(0)=l+a0.所以存在 m e(0,l),使

4、得 g(机)=0,即/(,)=0.当x e(0,5)，/(x)0,/(x)单调递增.所以当x G(0,in),f(x)-H O .所以/(x)在(7，+8)上有唯一零点,又(0,7)没有零点，即/(X)在(0,+8)上有唯一零点.(2)当了(-1,0),g(x)=e*+a(l-x 2).设 h(x)=gx)=ex-2 ax,h(x)=ex-2 a0.所以 g (x)在(-1,0)单调递增.g (-l)=，+2 a 0,所以存在0),使得g (w)=0e当 x e(-l,)，g (x)0,g(x)单调递增.g(x)g(0)=l+a 0.e所以存在t e(-l,),使得g =0,即尸(。=0当 x

5、 e(-l,f),f(x)单调递增，当 x e(f,0),/(x)单调递减，有 xf-1,f(x)f f而(0)=0,所以当。)，/(x)0.所以f(x)在(一1,。上有唯一零点，0,0)上无零点即x)在(-1,0)上有唯一零点，所以。，此时f(x)无最小值,故a 0.g(x)=a r-lnx 的定义域为(0,+8),而 g (x)=a-工=4x x当x l n a时，ra)lna 时，f(x)0 ,故/(x)在(Ina,+8)上为增函数，故/(x)mM=/(lna)=a-a lna .当0 x ，时，g (x)。，故g*)在(L +s上为增函数，故 g(mi n=且(：)=1 心：.因为/(

6、工)=”-0 和8(幻=，优-也%有相同的最小值，故 l-lnL=一“Ina ,整理得 到 -=In ,其中 a 0,a 1 +a设 屋。)=-Ina,a0,则 g ()=7;s2 =7,2 0 l +(1 +a)a a(l+)故g(a)为(0,+8)上的减函数，而g()=。,故g(a)=0的唯一解为。=1 ,故土H=i na的解为a =l .1 +4综上，a=.由(1)可得/(x)=e*-x和 g(x)=x-lnx的最小值为 1-ln 1 =l-ln1 =1.当b l时，考虑e*-x =8的解的个数、x-lnx =b的解的个数.设 S(x)=e*-x-b,S (x)=eA-1 ,当 x 0

7、时，S (x)0 时，S (x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 S(x)mi n=S(0)=l-0 0,s(b)=eh-2 b,设“(6)=e-2 6,其中匕1,则/色)=/-2 0,故在(1,+8)上为增函数，故“(b)Ml)=e-2 0 ,故S(b)0,故S(x)=e，-x”有两个不同的零点，即e，-x =b的解的个数为2.设7(x)=x-lnx-b,=X当 0 x l 时，r(x)1 时，T(x)o,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 T(x)mm=T =1-6 0,T(eb)=eb-2 b 0,T(x)=x-lnx-

8、8 有两个不同的零点即x lnx=6的解的个数为2.当。=1,由(1)讨论可得x lnx =Z?、=仅有一个零点，当力 =人与曲线)，=/(力、y =g()有三个不同的交点，则/?(x)=ev+Inx-2 x,其中 x0,故(x)=e+2 ,x设 s(x)=e-尤-1,x0,则，工)=/_ 0,故S(力在(o,+8)上为增函数，故s(x)s(o)=。，即e x+l,所以 3%+2-1 2 2-1 0,所以(x)在(0,+8)上为增函数，X1 9 O而 M D =e-2 0,力()=e _ 3-e-3-e，eJ eJ故(x)在(0,+8)上有且只有一个零点质，1 与 1 且e当 0 c x x(

9、)时，(尤)0 即 e-x v x-lnx 即/(x)凤时，6(x)0 即 eX-x x-ln 尤即 x)g(x),因此若存在直线y=b 与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同的交点，故6=/(与)=8(闻)1,此时e*-x =h 有两个不同的零点西，A fl(x,0 x0),此时x-lnx =6 有两个不同的零点与，(0 与 1 的解，同理与+人也为方程x-ln x =。的解，所以 否，/=%-6,*4 叫,而6 1,故 fX0 X4 ,即 X +X 4 =2项.【方法总结】1.利用导数求函数零点的常用方法构造函数g(x)(其中g x)易求，且 g(x)=O 可解)，利用导数研究g(

10、x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数:(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数.2.求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=外在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.3.利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(“=8。)后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与 y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点

11、的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.【题型突破】1.已知函数 y(x)=x ev+ev.(1)求函数负x)的单调区间和极值：(2)讨论函数g(x)=/U)-a 伍G R)的零点的个数.1.解 析(1)函数./U)的定义域为R,且/(x)=(x+2)e*令/(x)=0得X=2,则/(x),7 U)的变化情况如表所示：X(工，2)/(X)一於)单调递减-2(2,+o o)0+1单调递增的单调递减区间是(一8,-2),单调递增区间是(-2,+o o).当x=-2 时，,/U)有极小值为./(2)=一1，无极大值.(2)令_/(x)=O 得 x

12、=1,当 一1 时，火 x)一1 时，,x)0,且y(x)的图象经过点(一2,一卜)，(-1,0),(0,1).x+1当XT8 时，与一次函数相比，指数函数.丫=增长更快，从而-o；当XT+8 时，7(X)T+OO,/(X)T+8,根据以上信息，画出外)大致图象如图所示.的交点个数.函数g a)=/(x)a(a R)的零点的个数为y=*x)的图象与直线y=当工=一2 时，式 工)有极小值1-2)=-p.关 于函数g(x)=,危0 R)的零点个数有如下结论：当a 一卜时，零点的个数为0;当=一9或 介0 时，零点的个数为1;当一土 4 ),e xe/W=-2=.令/(x)=0,得 x=e.当 x

13、 G(0,e)时，。(*0；当 x W(e,+s)时，_ f(x)0,.J U)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，.当X=e 时，_/U)取得极小值y(e)=2.Y|?X(2)由题意知 g(x)=/(x)m=f-p-?(x 0),令 g(x)=O,得?=*+x(x 0).设 0(x)=g j+x a 。)，则 0,0(x)在(0,1)上单调递增;当 X d(l,+o o)时，d(x)0,0(x)在(1,+o o)上单调递减.；.x=l 是 e(x)的唯一极值点，且是极大值点，x=l 也是e(x)的最大值点，-20(x)的最大值为0(1)=.结合y=e(x)的图象(如图)可知，y

14、J2 ZS,y=PL(x)当相 时，函数g(x)无零点；_ 2当?=?时，函数g。)有且只有一个零点；2当0/?时，函数g(x)无零点；当团=?或时，2函数g(x)有且只有一个零点；当0 根 0).(1)求函数五幻的单调区间；(2)求函数o/(x)的零点个数.3.解 析(1)函数人 工)的定义域为(0,+c o),由x)=xalnx可得/(x)=l由，(x)0可得由了(无)。可得00,当1时，g(x)在(1,a)上单调递减,所以g(l)g(a),所以g(a)0,所以g(x)有一个零点，当a=l时，g(x)在(0,+oo)上单调递增，所以g(x)有一个零点，当0v l 时，g(x)在(0,。)上

15、单调递增，在(，1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，此时 g(a)=呼2(a+i)4+Hn a=jcra+an a 0,/(l)=l-e 0；当xW(x(),+8)时，/(x)0).令 力。)=Inx1,则 (x)=一一(0,即gG)0,g(x)单调递增；当 X(l,+8)时，/Z(X)O,即 g(t)1 且无一+8时，g(X)0 且 g(x)0,作出函数g(x)=一 的图象如图所示.2 3 4 5 x-1-2结合图象知，当。二时，y u)无零点，当或4=时，y u)有1个零点，当oa0时，求函数7 U)的零点个数.5.解 析(1)由题意，函数y U)=e*2 ar，可得了(幻=e一2

16、 a,当 09人4)在R上为单调增函数，此时无极值；当 a 0 时，令，a)=e 2 a 0,解得 l n(2 q),所以/U)在(1 n(2)，+8)上为单调增函数；令了(x)=e 一2 a V 0,解得xVl n(2 a),凡)在(-8,m(2 a)上为单调减函数，所以当x=l n(2)时，函数人外取得极小值共幻或 小 值=/0 n(2 a)=-2 l n(2)，无极大值.综上所述，当a WO时，/U)无极值，当。0时，/及，,、值=/Un(2 a)=a-2 4 1 n(2)，无极大值.(2)由知当”0,危)在(l n(2 a),+8)上为单调增函数,在(-8,l n(2。)上为单调减函数

17、，且y(x)极 小 值=-2 H n(2)，又由 fix)=exa(2x+1),若 X 8 时，|x)f +8；若+8 时，+co .当a2 al n(2 a)0,即OV a V方-时，危)无零点；当a2 al n(2 a)=0,即=当 时,於)有1个零点；当一2 l n(2 a)V0,即 当 时，於)有2个零点.综上，当o v v半 时，y u)无零点；当a=坐 时，u)有1个零点；当。当 时，y u)有2个零点.6.已知函数x)=(2 x)e g(x)=a(x1 .(1)求曲线y=/(x)在点(0,7(0)处的切线方程；(2)讨论y=/U)和y=g(x)的图象的交点个数.6.解 析(1 )

18、f(x)=-e+(2-x)ex=(1 -x)eA,则/(0)=1,又共0)=2,所以切线方程为y=x+2,即xy+2=0.(2)令F(x)=g(x)J(x)=a(xl)2+(x2)则y=7 U)和y=g(x)的图象的交点个数即产(x)的零点个数.Fr(x)=(x l)(ev+2a).当=0时，F W=(x-2)e 打(x)只有一个零点.当“O,因此尸(X)在(1,+8)上单调递增.当x f +8时，F(X)O；又当x Wl时，F(x)0,所以F(x)只有一个零点.若。1,故当 xW(l,l n(-2。)时，尸(x)0.因此F(x)在(1,l n(-2 n)上单调递减，在(I n(2 a),+8

19、)上单调递增.当x f +8时，F(X)O；又当x Wl时，F(x)0 时，若 xC(8,1),则尸(x)0,所以F(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.F(l)=-e,F(2)=a,取 b 满足 b 0,且 t 邹 一2)+a(b 1)2=4(/一 0,所以尸(x)有两个零点.综上，当a WO时，y=/(x)和 y=g(x)的图象的交点个数为1；当a 0时，丫=/&)和y=g(x)的图象的交点个数为2.fC 17.已知函数_ A x)=j 工一2(aGR).(1)若曲线y=/(x)在 点 整/(0)处的切线经过坐标原点，求实数；(2)当。0时，判断函数式x)在 x C(0

20、,兀)上的零点个数，并说明理由.7.解 析(1)八、)=2弋守必=/6)=兀，所以7 U)在点七，处的切线方程为y=m,所(2)因为工(0,兀)，所以si n x 0,所以京一2=0可转化为一4 一2 si n x=0,设 g(x)=x1a2sin x,则 (x)=2 x2 co sx,当宗兀)时，g 0,所以g(x)在区间宏兀)上单调递增.当尢(0,5时，设 M x)=g a)=2 x2 co sx,此 时/(x)=2+2 si n x 0,所以 g U)在 x(0,上单调递增，又 g 0)=2 0,所以存在必(0，5)使得3(x)=0 且x(0,&)时g(x)单调递减，xe xo,习时g(

21、x)单调递增.综上，对于连续函数g(x),当 大 e(0,xo)时，g(x)单调递减，当无(xo,兀)时，g(%)单调递增.又因为g(0)=0,即北 2 时,函 数 g(在区间(沏,兀)上有唯一零点，当g(兀)=兀2方0,即 近7 时，函数g(x)在区间(0,兀)上无零点，综上可知，当0“0；当 xw(甘,0)喳,兀)时，/(x)0,4(1-cosx)0,.,./z(x)0,.,.力。)无零点；当 x(0,4)时，hx)=2x4xcos x=2x(1 2cos x),当 xG(),窑时，(x)O：当 xG停，4)时，hx)0,在(0,如上单调递减，在g,4)上单调递增，.2(x)min=住)=

22、5+4 专sin 1-4cos 1=y+2 2小八3 0,在(0,争上无零点，在 住,4)上有唯一零点.综上，/z(x)在(0,+8)上有唯一零点,又(0)=0且力0)为偶函数，故。)在 R 上有且仅有三个零点.9.(2018 全国11)已知函数八)=*一。(/+1).(1)若。=3,求/(x)的单调区间；(2)证明：7u)只有一个零点.9.解析(1)当 a=3 时，fix)=1x33X23x3,/(X)=JT6x3.令了(x)=0,解得x=3 2小 或x=3+2小.当 xG(-oo,3-2 3)U(3+20;当 xC(3-2小，3+2小)时，/。)0 在 R 上恒成立，所以久0=0等价于,+

23、(+3=0.设 g(x)=M r f-3a,则)=+二.却 在 R 上恒成立,当且仅当x=0时，g X r)=O,所以g(x)在(-8,+8)上单调递增.故 g(x)至多有一个零点，从而_/(x)至多有一个零点.又./(3 a_ l)=_ 6/+2“-；=_ 6(a 一1)2 一卷 o,故/U)有一个零点.综上所述，/)只有一个零点.1 0.(2 0 2 1 新高考全国n)已知函数式x)=(x1)玉一症+尻(1)讨论犬X)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：段)有一个零点.|a2 a；0 a g,b2 a.1 0.解析(f(x)=xex2 axx(ex2 a),当把0时，令/(x)=

24、0=x=0,且当x 0时，/(x)0时，/(幻 0,式的单调递增.当 0 “3时，令/(x)=0=xi=0,x2=l n 2 a 0,且当 x 0,/(x)单调递增,当 I n 2 ax0 时，F(x)Q 时，/(.r)0,./(x)单调递增.当 a=；时，/(x)=x(ev-l)0,7 U)在 R 上单调递增.当。3 时，令/(x)=0=xi=0,X 2=l n 2 a0,且当x 0,风行单调递增；当OC xV l n 2 a 时，f(x)l n 2 a 时，/(x)0,式 x)单调递增.(2)若选，由(1)知凡v)在(-0 0,0)上单调递增，(0,I n 2 )上单调递减，(I n 2

25、a,+s)上单调递增.注意到/。)=b_ i 2“_ i ().二 网 在(一 A,o上有一个零点;川n 2 a)=(l n 2 l)-2 at z l n22+/?2 l n 2 a2 aan22 a+2 a=aln 2 a(2 I n 2 a),I e2由得 0 h i 2 a 0,.川n 2 a)0,当应0时，兀v巨仙i2 a)0,此时火x)无零点.综上，人 工)在 R 上仅有一个零点.若选，则由(1)知./U)在(-8,I n 2 a)上单调递增，在(I n 2 a,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增./(I n 2 a)=(l n 2 a I)2 aal n22 a+/2 t

26、zl n 2 a-2 aan22 a+2 aan 2(z(2 I n Id).V O f l 1,A in 2 a 0,：.an2 a(2 n 2 a)0.,./(l n 2 a)0,当把0 时，r)g(l n 2 a)0时，危)单调递增,注意到.*0)=。一岸2。一1 0.取 0=寸2(1 一份+2,b2 ayj2,又可证 eC c+l,(c-)ecac2-b(c l)(c+)ac2+b(0)(+b-1 c2+/?1 =1 b+I+6 1 =1 0./(x)在(0,c)上有唯一零点,即凡r)在(0,+oo)上有唯一零点.综上，Z U)在 R 上有唯一零点.1 1.(2 0 2 0 全 国 I

27、 )己知函数负x)=e，-a(x+2).(1)当。=1时,讨论兀v)的单调性；(2)若大X)有两个零点，求 4的取值范围.I I.解 析(1)当。=1时，:幻=一(x+2),/(%)=巳一1,令/(尤)0,解得x 0,解得尤 0,所以,/(X)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.1 4-F 2(2)令 r)=0,得 d=“(x+2),即=一，所以函数y=：的图象与函数仪工)=一厂的图象有两个交点，0；当 x G(-1,+8)时，px)0,所以夕(X)在(一8,1)上单调递增，在(一1,+8)上单调递减，所以夕(X)m ax=9(l)=e,且 X 8时，夕(X)8；X+8时，*(

28、X)-O,所以0 0 且 群 1,函 数 加=会 0).(1)当 a=2时，求人1)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=l 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围.x2 x2 xl n 21 2.解析 当。=2 时，/u)=wa o),，a)=U 0),2令/0,则 0 4 记 1，此时函数/U)单调递增，令/(/)后，此时函数/U)单调递减，所以函数兀V)的单调递增区间为(0,制，单调递减区间为3，+oo).(2)曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，可转化为方程?=1*0)有两个不同的解，即方程乎=乎 有两个不同的解.1 n 1|n x 1 I n Y设 则 g (x)=-

29、p (x 0),令 g )=p=0,得犬=6,当0 r 0,函数g(x)单调递增，当x e时，g&)e 时，g(x)G(O,又 g(l)=O,所以 乎 1 且 W e,即的取值范围为(1,e)U(e,+0 0).1 3.-32是人 工)的导函数.1 3.(1)求人)的极值；(2)令 g(x)=/a)+也1,若 y=g(x)的函数图象与x 轴有三个不同的交点，求实数%的取值范围.解 析(1)因为/(x)=+3 x+2=(x+l)(x+2),令(x)=0,得xi=-1,X22,当X变化时，/(X),人 为)的变化如表所示：(2)由(1)知 g(x)=+3 x+2+kex 1 =x2+3 x +1

30、+由题知需1+3 冗+1+依*=0 有三个不同的解，即左=有三个不同的解.f+3 x+l ./+x 2 (x+2)(x 1)设(x)=/一,则 (x)=当 X W(-8,一2)时，(x)0,(x)单调递增,当X E(2,1)时,h(x)Q,(x)单调递增，又当 X 8时，/z(x)8,当 X+8时，力。)-0 且/i(x)VO,且(一2)=/,作出函数力。)的简图如图,数形结合可知，一|k 0,解得 x 0 或 xln2；令/(x)0,解得(Xxln2,所以函数./(x)的单调递增区间为(一8,0)和(ln2,+o o),单调递减区间为(0,In 2).(2)因为=3，所以外)=(x1)二-%

31、+b+3.由(%1户%+6+=岳 3 得(1一l)e*一 2 1)=咐 1).当尤=1 时，方程成立.当 印 时，只需要方程一；(五+1)=6有 2 个实 根.令 ga)=e g(x+l),贝 1 g(x)=e当xvln g时，/(力ln义且存1 时，g(x)0,所以g(x)在(一8,In 上单调递减，在(ing,1)和(1,十8)上单调递增，因为g(lng)=；ln g+l)=；ln 2,g(l)=e1 彳 0,所以 b(ln2,e 1 JU(e 1,+x).15.已知函数外)=e*(o r+l),曲线y=/U)在 x=l处的切线方程为y=bx-e.(1)求 ，的值；(2)若函数g(x)=y

32、(x)3e加有两个零点，求实数机的取值范围.1 5.解析(1)/U)=e(ar+1),则/(幻=或 以+1)+=或 依+1+a),由题意知】(2 丁：，解得/(10)=e(tz+1)=/?e,a=.1,b=3e.b=3e,(2)g(x)=r)3ex/n=eA(x2)m,函数g(x)=eXx2)m有两个零点，相当于函数2)的图象与直线y=m有两个交点，ur(x)当x e(8,1)时，/(1)0,(%)在(一8,1)上单调递减；当x (l,+8)时，(x)在(1,+oo)上单调递增，当)=1 时,(x)取得极小值(1)=-e.又当x+oo时，w(x)+,当上 2 时，(x)0,-e/n0,，实数?

33、的取值范围为(一e,0).16.设函数y(x)=f+o r+ln x(eR).(1)当。=-1 时，求函数式处的单调区间；(2)若函数正x)在仕，31上有两个零点，求实数a 的取值范围.16.解 析(1)由题意知函数/(X)的定义域为(0,+oo),I,L.1 (2x1 )(x+1)当”=一【时，/(x)=-2 x-1 +-=-,令，(大)=0，得 x=：(x=l 舍去)，当 0 x0；当 时，/(x)0.,JU)的单调递增区间为(o,；),单 调 递 减 区 间 为+8).In V(2)令人无)=f+a c+ln x=0,得 a=x.令.g(x)=xIn-x,其中.工1 i 1-In x x

34、2+ln x-1&z_5，3/，则 g x)=l p-=-p-,令 g，(x)=0,付 x=l,当为 1 时，g(x)0.；.g(X)在；,1)上单调递减，在(1,3上单调递增.；.g(X)m in=g(l)=l,函数段)在:,3上有两个零点，又g(；)=31n3+；,g(3)=3-竽，31n 3+；3-竽，Z 1 Q-,实数4的取值范围是 1,3-卞.1 7,已知yU)=ar2(4WR),(x)=21nx.(1)讨论函数尸(%)=段)一8。)的单调性；(2)若方程儿r)=g(x)在区间 啦，e上有两个不等的解，求实数。的取值范围.2 2(cix 1)17.解析(1)2(%)=加 一2 1 n

35、 x,其定义域为(0,+o o),所以产(x)=2ar嚏=-、-(x0).当公 0时，由以21 0,得x八 但 由 尔一卜。，得故当“0时，尸(X)在区间Q jg,+，|上单调递增，在 区 间?，上单调递减.当。岂)时，尸(x)0)恒成立，故当aWO时，F(x)在(0,+s)上单调递减.(2)方程_/=g(x)在区间 6，e上有两个不等的解等价于方程。=誓在区间|小，e上有两个不等的解.人 21n x r 2x(1 21n x)2(1 21n x)令 9(x)=W，xe/2,e ,则(x)=7 =p易知矶X)在 6，加)上单调递增，在(正，e上单调递减，则Mx)max=P(&)=：,而8(e)

36、=2 2二 n 2=中In 2=。(、)，所以矶 元)min=p(e)，作出3。)的大致图象如图所示.三石筌IO a 灰 e%in 2 1由图可知贝1)=有两个不等解时，需 皆 土 1,函 数/)=a，一fec+e2(xdR).(1)求函数7U)的单调区间;(2)若对任意方 2 e 2,函数兀v)有两个不同的零点，求。的取值范围.1 8 .解 析(1)由题意得/(x)=e n a 一近 因为a l,所以l n a 0,a 0,所以当后0 时，/(x)0,所以当后0 时，函数./U)在(-8,+8)上单调递增.当比 0时，令F(X)0,则备，所以x l o g“含；令F(X)0,得 x 0时，函

37、数/(X)在(一8,l o g“忐)上单调递减，在(l o g“号，十)上单调递增.综上，当6 W0时，函数段)在(-8,+o o)上单调递增；当6 0时，函数/(x)在(一8,l o g”，上单调递减，在(l o g 备，+)上单调递增.(2)因为函数段)有两个不同的零点，所以av/?x+e 2=0有两个不同的根，即曲线y=与 直 线 y=b x e 2 有两个不同的交点.易知直线y=/z x e?与y 轴交于点(0,e2).先考虑曲线y=与直线y=6 x e?相切的情况.设切点坐标为(f,a),则切线斜率为I n a,所以切线方程为yd=a，l n a(x f),则 y=(a 1 n a)

38、x+atan a=bx-e2,所以 atan a=aan a=e2,令 =，(m 0),则m l n/n=e),令 g(n z)=，“，l n s+e),则 g(/n)=-I n/,当，e(0,1)时，g(?)0,当，/e(l,+s)时,g(m)l n a=e21n a 恒成立.因为人 2e2,只需2e2121n a 即可，解得故 a的取值范围为(1,e2.19 .设函数r)=e”-2.(1)求7U)的单调区间：(2)若 a=l,改为整数，且当x 0时，(X A)/(x)+x+l 0,求人的最大值.19.解 析(1VU)的定义域为R,/(x)=e-a.当“W0 时，/(x)0恒成立，所以/U)

39、单调增区间为(-8,+8),无单调减区间.当心0 时，令F(x)0,得 x 0,得 x l n a,所以./U)的单调递减区间为(-8,m a),单调递增区间为(In a,+-).1-|(2)由题设可得(x%)(e“-l)+x+l 0,即 A 0)恒成立,令 g(x)=e.r_ +x(x 0).z se 1 (x+I)er.侍 8，(x)=(er-l)2-4(e vx 2)=-(ex-l)2(X 0)-由(1)的结论可知，函数/7(x)=e-x-2(x 0)是增函数.又因为/?(1)0,所以函数Mx)的唯一零点a S(l,2)(该零点就是人(x)的隐零点).当 x d(o,a)时,g(x)0,

40、所以 g(x)m i n=g(a)=；;+a.又 6(a)=e a 2=0,所以 e=a+2 且 a 6(l,2),则 g(x)m i n=g(a)=l+a G(2,3),所以人的最大值为2.2 0.已知函数70)=d+(4e)x a x2.(1)当 a=0 时，求函数,/(x)的极值；(2)若函数4r)在区间(0,1)内存在零点，求实数”的取值范围.2 0.解 析(1)当 a=0 时，/(x)=e-ex,则/(x)=e-e,/(1)=0,当x l 时，f(x)l 时，/(x)0,/)单调递增,所以y(x)在 x=i处取得极小值，且极小值为火i)=o,无极大值.(2)由题意得 fix)ex-2

41、 a x+a-e,设 g(x)=eK2ax+ae,则 gx)=ex2a.若 a=0,由(1)知兀0 的极小值式1)=0,故,/U)在区间(0,I)内没有零点.若 4 o,则 g 0,故函数g(x)在区间(0,I)内单调递增.又 g(0)=l+a e 0,所以存在 x()e(0,1),使 虱必)=0.故当x G(0,增 时,f(x)0,/)单调递增.因为人0)=1，7 0)=0,所以当好0 时，火 x)在区间(0,1)内存在零点.若 0,由(1)得当 x G(0,1)时，ev ex.则凡0=己+3 e)x 加 e+(。-e)x 一加 二“。一f)。,此时函数./U)在区间(0,1)内没有零点.综上，实数。的取值范围为(-8,0).