2023年高考数学题型之精解2022年数学高考真题(全国通用)40 圆锥曲线中的最值与范围问题(解析版).pdf

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1、专 题 4 0 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 与 范 围 问 题【高 考 真 题】1.（2022浙 江）如 图，已 知 椭 圆:+/=1.设 A,8 是 椭 圆 上 异 于 P（0,1）的 两 点，且 点 Q（0,上，直 线 必 依 分 别 交 直 线 y=-；x+3 于 C,。两 点.g）在 线 段 AB 求 1 8 1的 最 小 值.（1）求 点 P 到 椭 圆 上 点 的 距 离 的 最 大 值;1.解 析 设。（2后 cos。，sin。）是 椭 圆 上 任 意 一 点，P（0,1）,则、r e(|V|44 144I P(2|2=12cos26+(l-sin6)2=13-1 lsin2

2、-2sin6=-l 11 sin6*+I+|=.fJ履-力=无 一 为-我 一 V 4 3 3 2(2攵+1)西-1(2左+1)巧 一】=2百 _(22+1居 T(2女+2 T=2/5_再 一(2+1)2元 工 2 一(2+1)(西+巧)+13石 而 71 6万 底 F/P 6石 仙 小 臼 6 g.2|3左+1|5 3k+-5|3*+1|5当 且 仅 当 时 取 等 号，故 的 最 小 值 为 竽.2.(2022全 国 甲 理)设 抛 物 线 C:y2=2px(p0)的 焦 点 为 凡 点 D(p,0),过 尸 的 直 线 交 C 于,N 两 点.当 直 线 垂 直 于 x 轴 时，|MF|

3、=3.(1)求 C 的 方 程;(2)设 直 线 仞。也 与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为 A,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为%夕.当。一 月 取 得 最 大 值 时，求 直 线 A B 的 方 程.2.解 析(1)抛 物 线 的 准 线 为 x=-5,当 例。与 x 轴 垂 直 时，点 M 的 横 坐 标 为 p,此 时 I尸 卜 p+=3,所 以 P=2,所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 y2=4x；Q)设 M 字 H,半 乃，A，由 4,直 线 的 口,x=my+由 o,yty2=,y=4xk=)L*4 _ y3-4 _ 4由 斜 率 公 式 可 得 M L

4、兄 一 应 一)1+，那 一 目 一：一 必+必，4 4 4 4直 线=土 心.y+2,代 入 抛 物 线 方 程 可 得 步 一 也 二 I.,-8=0,M y 0,%为 二 一 8,所 以 为=2%，同 理 可 得 乂=2,4 4所 以 如=-=Z7 7 r、3+丁 4 2(必+为)设 kMN=2kAB=2 k 0,则 tan(a-)=14-tan a tan/?|+2k2r2ktan a-tan _ k又 因 为 直 线 M M A 8 的 倾 斜 角 分 别 为 a,夕，所 以 3 B=tan/=誓，若 要 使 a-最 大，则 夕 0,yj,旦 4,当 且 仅 当!=2女 即 忆=正

5、时，等 号 成 立，所 以 当 a 一 户 最 大 时，J 巫,k 2 2设 直 线 AB:x=Viy+，代 入 抛 物 线 方 程 可 得 _/-4&，-4=0,A0,y3y4=-4=4仍=T 6,所 以=4,所 以 直 线=x/2y+4.【方 法 总 结】1.最 值 问 题 的 常 用 方 法 圆 锥 曲 线 中 的 最 值 问 题 类 型 较 多，解 法 灵 活 多 变，但 总 体 上 主 要 有 两 种 方 法：一 是 几 何 法，即 通 过 利 用 曲 线 的 定 义、几 何 性 质 以 及 平 面 几 何 中 的 定 理、性 质 等 进 行 求 解：二 是 代 数 法，即 把 要

6、求 最 值 的 几 何 量 或 代 数 表 达 式 表 示 为 某 个(些)变 量 的 函 数，然 后 利 用 函 数 方 法、不 等 式 方 法 等 进 行 求 解.2.范 围 问 题 常 用 方 法(1)利 用 判 别 式 构 造 不 等 关 系，从 而 确 定 参 数 的 取 值 范 围.(2)利 用 已 知 参 数 的 取 值 范 围，求 新 参 数 的 取 值 范 围，解 这 类 问 题 的 核 心 是 在 两 个 参 数 之 间 建 立 等 量 关 系.(3)利 用 隐 含 或 已 知 的 不 等 关 系 建 立 不 等 式，从 而 求 出 参 数 的 取 值 范 围.(4)利 用

7、 基 本 不 等 式 求 出 参 数 的 取 值 范 围.(5)利 用 函 数 的 值 域 求 范 围 问 题 的 关 键 是 建 立 关 于 某 个 变 量 的 目 标 函 数，通 过 求 这 个 函 数 的 值 域 确 定 目 标 变 量 的 取 值 范 围.在 建 立 函 数 的 过 程 中，要 根 据 题 目 的 其 他 已 知 条 件 把 要 求 的 量 都 用 已 知 变 量 表 示 出 来，同 时 要 注 意 变 量 的 取 值 范 围.【题 型 突 破】y2 避 11.(2020 新 高 考 全 国 II)已 知 椭 圆 C：7+白=l(ab0)过 点”(2,3),点 A 为

8、其 左 顶 点，且 A M 的 斜 率 药.(1)求 C 的 方 程；(2)点 N 为 椭 圆 上 任 意 一 点，求 的 面 积 的 最 大 值.1.解 析(1)由 题 意 可 知 直 线 A M 的 方 程 为 y3=2(X2),即 x2y=1 4.当 y=0 时，解 得 x=-4,所 以“=4.由 椭 圆 C：，+方=1(4/0)过 点 M(2,3),4 9可 得 而+户=1,解 得 炉=12.所 以 C 的 方 程 为+=1.Io 12(2)设 与 直 线 A M 平 行 的 直 线 方 程 为 x2y=m.如 图 所 示，当 直 线 与 椭 圆 相 切 时，与 A M 距 离 比 较

9、 远 的 直 线 与 椭 圆 的 切 点 为 N,此 时 的 面 积 取 5 6 7 x得 最 大 值.x-2y=m,联 立”上.X _ 可 得 3(m+2+4)2=4 8,化 筒 可 得 16炉+12冲+3m2-48=0,A6+Y2=L所 以/=144加 一 4）0）,点 A 是 椭 圆 Ci与 抛 物 线 C2的 交 点，过 点 A 的 直 线/交 椭 圆 G 于 点 2,交 抛 物 线 C2于 点 M（8,M 不 同 于 A）.求 抛 物 线 C2的 焦 点 坐 标;（2）若 存 在 不 过 原 点 的 直 线/使 M 为 线 段 A 8 的 中 点，求 p 的 最 大 值.2.解 析（

10、1）由 0=也，得 抛 物 线 C2的 焦 点 坐 标 是 七，0）.（2）由 题 意 可 设 直 线/：x=my+t（fn/O9饮），点 A（&,yo）.将 直 线/的 方 程 代 入 椭 圆 Ci：5+y=l,得（加+2）产+2 冲+p 2=0,所 以 点 M 的 纵 坐 标 yM=一 谕 豆 将 直 线/的 方 程 代 入 抛,物 线 C2：y22px,得 y22p，y2pf=0,所 以 加 M=-2pf,解 得=？（二+2）,因 E 此 I I xo=2P-(/+2)2in1由 5+）3=1,得 5=4（加+5）+2（m+2160,当 且 仅 当 忆=隹 时，p 取 到 最 大 值 3

11、.如 图 所 示，点 4 8 分 别 是 椭 联+m=1 长 轴 的 左、右 端 点，点 尸 是 椭 圆 的 右 焦 点，点 P 在 椭 圆 上,且 位 于 x 轴 上 方，PALPF.（1）求 点 P 的 坐 标;设 M 是 椭 圆 长 轴 A 8 上 的 一 点，点 M 到 直 线 A尸 的 距 离 等 于|MB|,求 椭 圆 上 的 点 到 点 M 的 距 离 d 的 最 小 值.3.解 析(1)由 已 知 可 得 点 A(6,0),F(4,0),设 点 P 的 坐 标 是(x,y),则 而=(x+6,y),FP=(x4,y),：PALPF,：.A P F P=0,则 卜+20-1，a+

12、6)(L4)+V=0,3可 得 2x2+9x18=0,得 x=或 x=-6.由 于)o,故 尸 方 于 是 尸 邛 工.点 P 的 坐 标 是 鸣.(2)由(1)可 得 直 线 A P 的 方 程 是 一 小)，+6=0,点 8(6,0).设 点 M 的 坐 标 是,0),则 点 M 到 直 线 A P 的 距 离 是 也 受，于 是 也 要=依 一 6|,又 一 6W?W6,解 得 M=2.由 椭 圆 上 的 点(x,y)到 点 M 的 距 离 为 乩 得 J2=(x-2)2+)=4x+4+20 2+15,由 于 一 6WxW6,由 贝 戈)=芥 1)2+15的 图 象 可 知，当 x=时，

13、d 取 最 小 值，且 最 小 值 为 4 记.4.(2021全 国 乙)已 知 抛 物 线 C：/=2 0。0)的 焦 点 为 尸，且 尸 与 圆 M：R+u，+4)2=1上 点 的 距 离 的 最 小 值 为 4.(1)求 的 值；(2)若 点 P 在 M 上，PA,P 8 是 C 的 两 条 切 线，A,B 是 切 点，求 以 8 面 积 的 最 大 值.4.解 析(1)由 题 意 知 M(0,-4),从 0,),圆 M 的 半 径 r=l,所 以|MF|-r=4,畔+4-1=4,解 得 p=2.(2)由 知,抛 物 线 方 程 为=4y,由 题 意 可 知 直 线 4 8 的 斜 率

14、存 在，设 A(M,5),B(X2,5)，直 线 A 8 的 方 程 为 y=fcv+Z,y=+b联 立 得)消 去 y 得(一 4丘 一 4b=0,d=4y,则/=16炉+16/0(，xi+xz=4kf xX2=4h,所 以 一 劫=1 1+的 即 42|=*/1+/.4(Xl+12)2 4X1X2=4、1+&2.，R+-因 为 r=4 y,即 y=5，所 以 y=,则 抛 物 线 在 点 A 处 的 切 线 斜 率 为，在 点 A 处 的 切 线 方 程 为 y-j=，(xxi),即 y=2x4-同 理 得 抛 物 线 在 点 B 处 的 切 线 方 程 为 y=-i联 立 得 XT不 x

15、j4则 X=中=2kXX2,y=-h即 P(2k,-b).因 为 点 P 在 圆 例 上，所 以 4&2+(46)2=1,且 一 岸 2七 1,一 0 一 丛 1,一，舄 3业 5,满 足 你)式.设 点 P 到 直 线 A B 的 距 离 为 d,则 d=7=,yj+k-所 以 SAMB=1|AB|-d=4y(k2+h)3.由 得，F=1-（4一 6）2 一+8-15令 t=lc1+b,则/=因 为/-一 块+126154在 3,5 上 单 调 递 增，所 以 当 人=5 时，取 得 最 大 值，fmax=5,此 时&=0,所 以 4 4/?2+12/？-154,且 3加 5.PAB面 积

16、的 最 大 值 为 2冲.5.已 知 抛 物 线 Ci：V=4 x 和 C2：N=2p)，(/0)的 焦 点 分 别 为 Q,B，点 P(1，-1)且/71尸 2,0。(。为 坐 标 原 点).(1)求 抛 物 线 C2的 方 程；(2)过 点 O 的 直 线 交 Ci的 下 半 部 分 于 点 M,交 C2的 左 半 部 分 于 点 N,求 PMN面 积 的 最 小 值.5.解 析(l)VFi(l,0),B(0,),.锅=(-1，福 舁=(-1，叙 一 1,-l)=l-f=0,；.p=2,.,.抛 物 线 C2的 方 程 为/:切.(2)设 过 点。的 直 线 M N 的 方 程 为 y=f

17、cr(k0),联 立:得()2=4，解 得 M 俶/z；4y联 立 得 M 伙 4的，3=履，从 而|MN|=、1+庐 亳-4=W+卜 隹-4人),点 尸 到 直 线 M N 的 距 离 d=+2,所 以 号 0,令 r=k+；(fW2).则 SjwN=2(L2)(f+l),K当 r=-2,即&=-1时，SM M V取 得 最 小 值，最 小 值 为 8.即 当 过 原 点 的 直 线 方 程 为 y=-x 时，尸 例 N 的 面 积 取 得 最 小 值 8.6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，O 为 坐 标 原 点，圆。交 x 轴 于 点 Q,B，交 y 轴 于 点 囱，%,以 S，%为

18、 顶 点，尸”F2分 别 为 左、右 焦 点 的 椭 圆 E 恰 好 经 过 点(1,里).(1)求 椭 圆 E 的 标 准 方 程；(2)设 经 过 点(一 2,0)的 直 线/与 椭 圆 E 交 于 M,N 两 点，求 的 面 积 的 最 大 值.6.解 析(1)由 题 意 得 椭 圆 E 的 焦 点 在 x 轴 上.2 2设 椭 圆 E 的 标 准 方 程 为,+，=l(ob0),焦 距 为 2c,则。=c,.4=6+/=262,.椭 圆 E 的 标 准 方 程 为 5+=l.椭 圆 E 经 过 点(1,坐)，/+去=1，解 得 从=L，椭 圆 E 的 标 准 方 程 为 会+)2=1.

19、(2).点(-2,0)在 椭 圆 E 外，.直 线/的 斜 率 存 在.设 直 线/的 斜 率 为&,则 直 线/：y=Mx+2).设 加，yt),N g,m).，=4(x+2),由“*2 消 去 y,得(1+2F)/+8后 2犬+8产-2=0.,+产=1,82 81c2 1.xi+x2=Y：f7亲，工 因=尸 在，/=6434(1+2店)(83一 2)0,解 得 0 W 产 3#3尸*=3尸 犯 当(=3，即.=3(事 任，2)时，S 有 最 大 值，Smax=0g,此 时.A M N 的 面 积 的 最 大 值 是 手.?27.已 知 椭 圆 C1：%+方=1(60)的 焦 距 是 2,点

20、 P 为 G 上 一 动 点，且 满 足 P 与 点 41(m 0),A2(af0)连 线 斜 率 之 积 为 弓 求 桶 圆 G 的 方 程;(2)当 点 P 在 无 轴 上 方 时，过 P 点 作 椭 圆 C i的 切 线/交 抛 物 线 C2：/=于 4 B 两 点，点 P 关 于 原 点 O 的 对 称 点 为 Q.求 QAB面 积 的 最 小 值.7.解 析 设 心，)冰 眼)，则 氏 言=言=+即 料 碧=1，.2=/，且 c=l,.2=2,b2=i,即 椭 圆 G 的 方 程 为 5+y 2=i.(2)设 切 线/的 方 程 为 y=A x+z,A(xi,yi),B g”),+v

21、=1,由 0,即，/+8 用 一 1 0,即 m 4+J 万 或)?V 4 行，由 题 知 力?0,且 加 2之,I 论,/.AB=yJl+lclx 一 同=1+出 2+4加 点 O 到 直 线 A 8的 距 离 4=普 餐，Y 1+AT,点。为 点 P 关 于 原 点 的 对 称 点.S&ABQ=2 S ABO+8/-1-2显 然 函 数 7 W2+8/W 1.a r-5-(*1)为 增 函 数，5”6让/(1)=2.8.椭 圆 C：，+/=1(“0)的 离 心 率 为 半，短 轴 一 个 端 点 到 右 焦 点 的 距 离 为 小.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)设 斜 率 存 在

22、 的 直 线/与 椭 圆 C 交 于 A,3 两 点，坐 标 原 点。到 直 线/的 距 离 为 坐 求 a A O B面 积 的 最 大 值.1=亚 8.解 析(1)设 椭 圆 的 半 焦 距 为。，依 题 意 知 3 Lz=小,；.c=b=,.,所 求 椭 圆 方 程 为 1+y 2=.(2)设 yi),3(X2,72)设 直 线 A B 的 方 程 为 y=kx+m.由 已 知 潴 r 乎 得 病 4 尸+)把 y=kx-m代 入 椭 圆 方 程，整 理，得(3 R+l)/+6 h x+3加 23=0./=3 6 3 加 一 4(3攵 2+1)(3小-3)=36乃 一 2m2+120.-

23、6km 3(m2 1).X1+X2=3 Q+1，X 2=3必+1._ _.361cm2 12(m2l)|A3|=(1+攵-)3-方)-=(l+&)(3.+)2 3 1+12(R+1)(3十+1 一 加 2)3(/+1)(9依+1)(3丁+1)2=(3.+12女 2|2 12=3+9/+6 尸+1=3+“W O X+z x 3+6=49%+至+6当 且 仅 当 9 1，即 仁 兴 时 等 号 成 立.K 3当 一=0 时,AB=y3,综 上 所 述 H8|max=2./.当 H8I最 大 时，ZkAOB的 面 积 取 得 最 大 值 S=X H B LaxX少=牛.9.已 知 椭 圆 的 两 个

24、 焦 点 为 F i(1,0),F2(l,0),且 椭 圆 与 直 线 y=x一 小 相 切.(1)求 椭 圆 的 方 程；(2)过 B 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 八，12,与 椭 圆 分 别 交 于 点 P,Q 及 M,N,求 四 边 形 PM QN面 积 的 最 小 值.9.解 析 设 椭 圆 方 程 为 a+b=l(aZ0),因 为 它 与 直 线 y=x一 小 只 有 一 个 公 共 点，fv2 y2_|_2L所 以 方 程 组 J/a 只 有 一 组 解，.y=x3消 去 y,整 理 得 245a2x+3a2。2 2=0.所 以/=(2,ia2)24(a2+ft2)(3

25、a2a2b2)=0,化 简 得“2+62=3.又 焦 点 为 尸 1(-1,0),F2(l,o),所 以“2=1,联 立 上 式 解 得“2=2,按=1.所 以 椭 圆 的 方 程 为+y 2=i.（2）若 直 线 P Q 的 斜 率 不 存 在（或 为 0）,火 四 边 形 PMQN-2 2若 直 线 P。的 斜 率 存 在，设 为 我（�）,则 直 线 M N 的 斜 率 为 一；.K所 以 直 线 P Q 的 方 程 为 y=fcr+k,设 尸（M,%）,。（及，），2）,联 立 方 程 得 彳.y=kx+k,化 简 得(2R+1)r+4&2、+2乒-2=0,则 X l+X 2 4公

26、 2R+12公 一 2*凶=2产+1所 以 I 尸。尸 后 而 比 _ 间=皿 迹 室 产 田=2啦 义 舞 p-U 1同 理 可 得|MN|=2噌 X 有 适 所 以 5_ IPO(妤+1尸 _ 4乂-+2&2+1a*PMQN 2-4 X(2+jtW+l)-2l+5k2+2 4 X巨 2/+5 尸+2,4 x(r=4 x:第+表+时 因 为 4k2+1+1 0 2 2、，4公+1 0=1 8（当 且 仅 当 公=1 时 取 等 号）,所 以 G花+必+|所 以 4 x（一 法+/+1。GL9j6 1 2A)综 上 所 述，四 边 形 P M Q N 面 积 的 最 小 值 为 万.710.已

27、 知 椭 圆 方 程 若+9=1,若 抛 物 线 好:?）。）的 焦 点 是 椭 圆 的 一 个 焦 点.（1）求 该 抛 物 线 的 方 程；（2）过 抛 物 线 焦 点 厂 的 直 线/交 抛 物 线 于 A,8 两 点，分 别 在 点 A,B 处 作 抛 物 线 的 切 线，两 条 切 线 交 于 尸 点，则 BAB的 面 积 是 否 存 在 最 小 值？若 存 在，求 出 这 个 最 小 值 及 此 时 对 应 的 直 线/的 方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2 210.解 析（1）由 椭 圆+，=1,知 序=4,b2=3./.c=ya2-b2=y43=L又 抛 物 线 x

28、2=2 y(p0)的 焦 点 是 椭 圆 的 一 个 焦 点.；.=1,则 p=2,于 是 抛 物 线 的 方 程 为 V=4y.由 抛 物 线 方 程 炉=4);知，F(0,1).易 知 直 线/的 斜 率 存 在，则 设 直 线/的 方 程 为 y=ilr+l.y=kx+1,由，消 去 y 并 整 理，得/一 4去 一 4=0.且/=(-4外 24(-4)=16公+160.设 A(X1,力)，8(X2,y2),则 X|+X2=4A,XIX2 4.对 y=求 导，得 y=,.,.直 线 4 P 的 斜 率 ksp=.则 直 线 A P 的 方 程 为 yy=(x-x),即 y=yx同 理 得

29、 直 线 B P 的 方 程 为 旷=米 一 宗.设 点 尸(即，州)，联 立 直 线 4 P 与 8尸 的 方 程，得，即 尸(2k,-1).AB=y I+lcx X2I=、1+太 不(汨+12)2 4X1X2=、1+&2.(4%)?+164(1+22),所 以 的 面 积 S=5x4(l+公)X2,1+R=4(1+公,24,当 且 仅 当 k=0 时 等 号 成 立.故 以 B 面 积 的 最 小 值 为 4,此 时 直 线/的 方 程 为 y=l.11.设 椭 圆 C：点+=1(。60)的 左 顶 点 为 A,上 顶 点 为 2,已 知 直 线 A B 的 斜 率 为 斗|AB|=小.(

30、1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)设 直 线/：x=m y-与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 M,N,且 点。在 以 M N 为 直 径 的 圆 外(其 中。为 坐 标 原 点)，求 加 的 取 值 范 围.11.解 析(1)由 已 知 得 A(4,0),8(0,份，b_可 得。2=4,加=1,a2+b2=y59则 椭 圆 C 的 方 程 为?+y 2=l.（2）设 M（X1,v）,N（M，y2）,x=m y 1,由，十？_ 得（加 2+4）y 2my3=0.A=（2 2+12（4+m2）=1 6/2+480,2m-3M+，2=汴，V=和，由 题 意 得 NM O N为 锐 角，

31、即 曲 而 V0,OM ON=xX2+yy20j又 xX2=(my 1)(tnyi-)=nyyitn(y+”)+I.-3 2/2 1 4/w.,.1X2+7172=(1+，层。2-，3+竺)+1=(1+版)了 福-石 获+1=-不 Q 0,解 得 一 的 取 值 范 围 为(一 112.(2019 全 国 H)已 知 尸 后 是 椭 圆 C：亲+曾=心 0)的 两 个 焦 点，P 为 C上 的 点，O为 坐 标 原 点.(1)若 P O B为 等 边 三 角 形，求 C 的 离 心 率；(2)如 果 存 在 点 P,使 得 且 QP匕 的 面 积 等 于 1 6,求 6 的 值 和 a 的 取

32、 值 范 围.1 2.解 析 连 接 P E(图 略).由 APOF?为 等 边 三 角 形 可 知，在 Q P B 中，N Q P 6=9 0。，|尸 砌=。，|PQ|=，5c,于 是 2a=|PQ|+1 尸 尸 2I=(5+1)c,故 C 的 离 心 率 为 e=y3.V V 由 题 意 可 知，若 满 足 条 件 的 点 P a，y)存 在，则 习 y|-2c=16,#,士=-1,即 由 1=1 6,，x2+y2=c2i，又 5 十 方=1/?4由 及 标=/+/得 卡=为.162又 由 知 尸=方，故 人=4.由 及 屏=+得 彳 2=笈 0 2)，所 以 c22,从 而 屋=坟+/2

33、 2=3 2,故 心 4也 当 h=4,a4啦 时，存 在 满 足 条 件 的 点 P.所 以=4,a 的 取 值 范 围 为 件 近，+).13.在 平 面 直 角 坐 标 系 g 中，设 椭 圆 点+方=l(a0)的 离 心 率 是 e,定 义 直 线 为 椭 圆 的“类 准 线”，已 知 椭 圆 C 的“类 准 线”方 程 为 y=4小，长 轴 长 为 8.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)0为 坐 标 原 点，A 为 椭 圆 C 的 右 顶 点，直 线/交 椭 圆 C 于 E,F 两 不 同 点(点 E,尸 与 点 A 不 重 合),且 满 足 A E L A F,若 点

34、 P 满 足 2办=成+5,求 直 线 A P 的 斜 率 的 取 值 范 围.13.解 析(1)由 题 意 得:=卓=4 4，2a=8,2=62+/,联 立 以 上 3 个 式 子，可 得。2=16,加=12,/=4.所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为(2)由(1)得 A(4,0).易 知 直 线/不 与 x 轴 平 行.当 直 线/_Lx轴 时，不 妨 设 点 E 在 点 F 上 方.因 为 A E L A F,所 以 直 线 4 E 的 倾 斜 角 为 135。，所 以 直 线 A E 的 方 程 为 y=-x+4.,L-4，4.由 5+武 得 7/-32x+16=0,解 得 x

35、=或 x=4(舍 去)，所 以 XE=XF=(XE,疗 分 别 为 点 E,F 的 横 坐 标).由 协=仍+并 得 噌，0),直 线 A P 的 斜 率 为 0.当 直 线/不 垂 直 于 X 轴 时，设 E(xi,yi),尸(X2,yi),直 线/：y=k.x+t(t-4k,厚 0).y=kx-Vt,由 y2 消 去 y 并 整 理，得(3+4尸)/+8 m+4f2-48=0.i6+12=1则/=(8切 2-4(3+4尸)(4产-48)0,即 16叫 一 产+12乂),(*)8kt 4/248 占,为+12=一 三 战 后，X|X2=3+4.因 为 AELA/7,所 以 A t A p=(

36、X|-4)-(X2-4)+y|玖=(x L 4 3 4)+(如+t)(kx2+f)7 产+32k/+16R=(1+1)XX2+(kt-4)(X+x2)+16+1,2 0,D I/K即 7户+32&/+16A：2=0,4k所 以(7r+4k)(r+4k)=0,解 得=一 亍 且 t满 足(*)式.所 以 2源=防+/=(.+及，+”)=(一 蒜,儡)，所 以 一 儡,/).3/3+4F则 直 线 A P 的 斜 率 kAP=-i-3+443t _ k16R+4 灯+12-8忐+778攵+7K当 M 0 时，8攵+2寸 8左(=一 巧，此 时 一 当 0时，8女+3 2、/87=414,此 时 0

37、 4 0)过 点(0,例，离 心 率 为 e=坐,记 椭 圆 C 的 右 焦 点 为 F,过 点 尸 且 斜 率 为 的 直 线 交 椭 圆 于 P，Q 两 点.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程;%=小,(2)若 线 段 P Q 的 垂 直 平 分 线 与 x轴 交 于 点 M(xo,O),求 用 的 取 值 范 围.14.解 析(1)由 题 意 可 知 0,2k2设 P(x i,y)。(12,y2),故 H+X2=3、+,-44y】y2 _ k(xi+12)4 k _ 3 k 2,(6k2 2k设 P Q 的 中 点 为 M 则 从 司 江 口，或 干 因 为 线 段 尸。的 垂 直

38、 平 分 线 与 x 轴 交 于 点 M3),0),当 2=0 时，那 么 元 0=0;当 上 0 时，kMN,k=_2k3 3+1 4 即 一 k=T,解 得 孙=音 7=3严+1 二 1 4因 为 R 0,所 以 3+万 3,0-r3+表|,即 x()e(0,4,综 上，X0的 取 值 范 围 为 0,15.已 知 椭 圆 C：捻+=1 3 於 0)的 离 心 率 e=坐，直 线 x+小 厂 1=0 被 以 椭 圆 C 的 短 轴 为 直 径 的 圆 截 得 的 弦 长 为 小.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)过 点 M(4,0)的 直 线/交 椭 圆 于 A,B 两 个 不 同

39、的 点，且 求 2 的 取 值 范 围.15.解 析(1)因 为 原 点 到 直 线 x+/y-1=0 的 距 离 为;.所 以?+停|2=30),解 得 6=1./从 3又 02=7=1 一/=得“=2.2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为，+y2=l.(2)当 直 线/的 斜 率 为 0 时，2=|M4HMB|=12.当 直 线/的 斜 率 不 为 0 时，设 直 线/：x=my+4,A(M,yi),8(必 丁 2),x=my+4,x2 c 得(加 2+4)2+12=0.z+产 1,由 J=6472-48(/n2+4)0,得 trr2,所 以 9 2=T Z/r十 4MB=而+1”日 加

40、2+1 阅=(M+1).仅 3|=窜 守)=12(i3 3 39由 加 12,得 0加+4京，所 以 彳 0)上 一 点，过 点。(2,-2)的 直 线 与 抛 物 线 C 交 于 A,B两 点(A，8 两 点 异 于 M),记 直 线 AM,8 M 的 斜 率 分 别 为 么，b 求 七 万 的 值;(2)记 AM。，BMD的 面 积 分 别 为 a,52,当 向 引 1,2 时，求 职 的 取 值 范 围.0216.解 析(1)将 点 M(l,2)代 入 抛 物 线 C:V=2px得 2=2,所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 炉=4占 设 直 线 A B 的 方 程 为 x=/0)，

41、Fi，尸 2为 其 左、右 焦 2 o U|)，2 十 4 C l O点，Bl,B2为 其 上、下 顶 点，四 边 形 的 面 积 为 2.(1)求 椭 圆 E 的 长 轴 A/2 的 最 小 值，并 确 定 此 时 椭 圆 E 的 方 程;(2)对 于 中 确 定 的 椭 圆,设 过 定 点 M 2,0)的 直 线/与 椭 圆 E 相 交 于 P,。两 点，若 加=痴 0,当 ae g，匀 时，求 OP。的 面 积 S 的 取 值 范 围.17.解 析(1)依 题 意 四 边 形 尸 由 尸 2员 的 面 积 为 2尻、.北 庆 一？，；A 4 2|=2。=2 9 2+d 企/荻=2 啦,当

42、 且 仅 当 b=c=1时 等 号 成 立，此 时。=g,，长 轴 4 4 的 最 小 值 为 2小,此 时 椭 圆 E 的 方 程 为 5+产 二 1.x=ty-2,(2)依 题 意，可 设 直 线/：x=/y2,联 立 得 得(产+2 A24/y+2=0.由/0,得 户 2.5+尸 1，设 尸(乃，|),2(X2,”)，r,4f+”=再 立，由 根 与 系 数 的 关 系 得 J 2 由 称=%殖，得 力=勿 2,(i+入)2=，初 由 胃 得：+2=磊,.y=Z+1+2 在%(g,上 单 调 递 减，.2+T+2 22+2尸 9-21631 Or20.OPQ 的 面 积 S=SOMQ-S

43、hOMP，=；|OMIyi 刈=|1 一 旷 2|=1(/+%)2_4yi”=户+22巾 d i设 tn=yfi2,则 加 立 一，-1_0 Q 2低 2啦,t-m+2,.S,“2+4 4-2十 一 ni4/)：=加 十 一 在 团 J m上 单 调 递 减,，S 关 于 m 单 调 递 增，.OP。的 面 积 SG18.已 知 A,8 是 x 轴 正 半 轴 上 两 点(4在 8 的 左 侧)，且|A8|=a(a0),过 A,8 分 别 作 x 轴 的 垂 线,与 抛 物 线 ynZpxg。)在 第 一 象 限 分 别 交 于 D,C 两 点.(1)若。=夕，点 A 与 抛 物 线 炉=2昭

44、 的 焦 点 重 合，求 直 线 C的 斜 率;(2)若。为 坐 标 原 点，记 OCQ的 面 积 为 s，梯 形 ABC。的 面 积 为 S2,求 普 的 取 值 范 围.0218.解 析 由 题 意 知 A(,0),则 昭+，0),从 多/?),则 飕+“，7P2+2pj,又 a=p,所 以 攵 8=f-L2 2(2)设 直 线 C D 的 方 程 为 3=心+优 厚 0),C(xi,I),0(X2,y2).由 y=kx+b，得 kf2py+2Pb=0,y=2px所 以/=4p2-8p的 0,得 kh2=女 0,yyi=女 0,可 知&0,b 0,因 为|CD|=1 I+比 一 刈=T 1

45、+R，点 o 到 直 线 a 的 距 离 d=,Q1+6所 以 Ir c 1 z.,1 2p ap 匕 一、$kb又 52=2(yi+y2)*|X|x=2ka=kf 所 以因 为 0 V 助 法，所 以 O V?V 即 费 的 取 值 范 围 为(o,19.已 知 抛 物 线 Cl：彳 2=0,过 点(2,1),椭 圆 C2的 两 个 焦 点 分 别 为 Q,尸 2,其 中 尸 2与 抛 物 线 Ci的 焦 点 重 合，过 人 且 与 长 轴 垂 直 的 直 线 交 椭 圆 C2于 A,B 两 点,且 HB|=3.(1)求 抛 物 线 C,与 椭 圆 C2的 方 程；(2)若 曲 线 G 是

46、以 坐 标 原 点 为 圆 心，以|0向 为 半 径 的 圆，动 直 线/与 圆 C3相 切，且 与 椭 圆 C2交 于 M,N 两 点，若 OMN的 面 积 为 S,求 S 的 取 值 范 围.19.解 析(1)由 于/=py(?0)过 点(2,1)，则 4=p,即 G 的 方 程 为 炉=4)根 据 题 意 可 得 椭 圆 焦 点 坐 标 尸 2(0,1),所 以 椭 圆 中 c=l,其 焦 点 也 在 y 轴 上.设 C2的 方 程 为 5+东=13 匕 0),y2/72+Z2=l b2 2b2 r-由 0 得 X=士 7 AB=3,又 2=+1,解 得。=2,b=,ly=l所 以 C2

47、的 方 程 为 9+日=1.(2)由(1)得|。入|=1,则 C3的 方 程 为/+y=l.因 为 直 线/与 圆 G 相 切，所 以 圆 心。到 直 线/的 距 离 为 1,所 以 5=；明 那 1=衅 当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时 方 程 为 x=l,两 种 情 况 所 得 到 的 OMN面 积 相 等，26由 j 4 5 付,，=1不 妨 设 1,邛 可，1,一 可 可，|MN|=4,此 时，S=；x|MN|xl=4；当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 其 为 K 直 线/的 方 程 为 y=fcr+?，所 以 圆 心。到 直 线 的 距 离 为 谭 1=1,即/=标+1,

48、由 j 4,得(4+3严)9+6 切 犹+3团 212=0,y=kx+mA=36 d m 2-4(4+3N)(3/-12)=48(2/+3)0,N-6km设 M(xi,yi),/V(X2,J2),则 国+尤 2-3女 2+4，大 为 一 所 以 S 一 力/1+攵 2.4(Xi+%2)-4X|X2R 1 T令 3公+4 f,则 公 一 3，仑 4,0y4，所 以 s i、中 等/联 23 m 2 123R+4,y/48(2公+3)2 7 l+k-.y2k-+3k 3F+4 33+4因 为 y=-C)2：+2 是 关 于 的 二 次 函 数，开 口 向 下，在 0)的 左、右 焦 点 分 别 为

49、 尸”B，离 心 率 为 摄 尸 是 椭 圆 C 上 的 一 个 动 点.当 P 是 C 的 上 顶 点 时，QPF2的 面 积 为 小.(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)设 斜 率 存 在 的 直 线 与 C 的 另 一 个 交 点 为 Q,是 否 存 在 点 T(f,0),使 得|TP|=|TQ|?若 存 在，求 出，的 取 值 范 围；若 不 存 在，请 说 明 理 由.20.解 析(1)设 椭 圆 C 的 半 焦 距 为 c.因 为 SAF=；X 2CX/=小，所 以 bc=小.C 1又 e=5，a2=b2+c1,所 以 4=2,b=事,c=l.所 以 椭 圆 C 的 标

50、 准 方 程 为$+$=1.(2)假 设 存 在 点 T(t,0),使 得|TP|=|TQ|.由 直 线 尸。过 尸 2(1,0),设 直 线 P Q 的 方 程 为 y=k(x 1),P g)1)，Q(X2,J2).P Q 的 中 点 为 Mxo,yo).当=0 时，f=0,符 合 题 意.y=k(x 1),当 上 0 时，由 史+足 _ 得(4R+3)x2-8/x+4R-12=0,8*2/=(8&2)24(4也+3)(44212)=144+1440,x+x2=-l-4攵 十 3叱 2 xi+x2 4k2,z 3k Bn J 4R 3 k、所 以 次=-y-=而 有，然=火(加-1)=一 正