2023年高考数学热点解析几何模型通关圆锥曲线中的二级结论（解析版）.pdf

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1、圆锥曲线中的二级结论思路引导圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。类型一巧用焦点三角形的面积、离心率，突破圆锥曲线压轴小题1 设 P 点是椭圆a+方=l(a b 0)上异于长轴端点的任一点，F i&为其焦点，记N FIPF2=。，则(1)|PQ|PF 2l=1J浦(2)S FiF2=b2tan 舄(3)e=无父 .1 +c o s 0 2 s i n ZPFF2-Vs i n Z PF 2F 12 设 P 点是双曲线点一1=1 3 0,后0)上异于实轴端点的任一点，F1，3 为其焦点，记NF1PF2=。，则2按 b1 s i n NF

2、1PF2(1)PFWPF2：(2)SPFF2=不(3)e=r./D：/nr r v1c o s 0(7 s i n Zr r i F 2-s m Zr r z r it a n22 2【例 1】在椭圆券+=1 上，M B 为焦点三角形，如图所示.若 0=6 0。，则PF i F z 的面积是 若 a=4 5。，8=75。,则椭圆离心率e=【答案】(1)3小 吃 皿【解析】由结论1得 Sp/n F 2=8 2ta n g,即SPFIF2=3小.(2)由公式s i n （a+夕）_ _ _ _ _ _ _ s i n 6 0 _ _ _ _ _玳 也s i n +s i n fi s i n 4

3、5 0+s i n 7 5 0 2【例 2】已知双曲线C：?-1 =1(左 0)的左、右焦点分别为6，F2,且 N K P 名=|,则 尸 居 的 面 积为_ _ _ _ _ _【答案】5 力【解析】由兰 一 工=1仅0）,b=5 NF,PF【=a，由结论2可知k 5 3【跟踪训练】（2022荆州模拟）已 知P是 椭 圆 点+六1上的一点，爪 乃 是椭圆的两个焦点，当/尸 小 兰时，则P F iB的面积为.【答案】3【解析】由结论可得：S=fo2ta n f,可得5=1 3吟=坐类型2妙用中心弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题设A,B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与4,8不重合的任意一

4、点，则心/碇=621.2 2【例3】（2021贵州遵义师范学院附属实验学校高二 期 末（文）已知A,B分别为双曲线C:-4 =1a2 b2（。0,b 0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP,BP的斜率之积为2,则C的离心率为A./2 B.y/3 C.y/s D./6【答案】B【解析】由 结 论 可 得KAP-kllB=e2-=2,.-,e=V 3,故选B【例4】设椭圆，+=l（“b 0）的左，右顶点分别为A,8,点P在椭圆上异于A,8两点，若A P与BP的斜率之积为一看则椭圆 的 离 心 率 为.【答案】乎【解析】公尸依p=-e2l=,：.e2=,e=2,【跟踪训练】已知椭圆C:+Z =i

5、m 0）的左、右顶点分别为4 8,点P在椭圆上且异于4 8两点，O为坐标原点，若直线AP与8P的 斜 率 之 积 为 则 椭 圆C的离心率为【详解】kAP-kBP=-；.e=2,所以椭圆的离心率e=走;一,.c -，/1 r z s i r u H-j I T-r-c-4 2 2类型3会用中点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题设圆锥曲线以M（x o,州）（泗0）为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.避 v2 A2r1.若圆锥曲线为椭圆/则2 =一滔R，以8&O M =一 L2.若圆锥曲线为双曲线涓一育=1（0,b 0）,则心产 启 kAB.koM=4-T.3.若圆锥曲线为抛物线炉=2px（p 0）,

6、则MB=2y。【例 5】已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是 E的焦点，过尸的直线/与E相交于A,B 两 点,且 A B的中点为（一 12,15）,则 E的方程为（）【答案】B【解析】由题意可知心8=150 15 0 5 /7 22=1,kMO=,=由双曲线中点弦中的斜率规律得公心必B=t，12 j 120 4 a即%/，又 9=+凡 联 立 解 得 =4,左=5,故双曲线的方程为?一=1.【例 6】已知双曲线E的中心为原点，F（LO）是 E的焦点，过 F的直线/与E相交于A,B两点且AB的中点为N（-4,-5）,则双曲线E的渐近线的方程为（）A.&x 2 y =0 B.2 x 土 岛=0

7、C.4x 5 y =0 D.5 x 4y =0【答案】A-5-0-5【解析】心=？7=1，*=F，由结论2 砥 B&M =e 2-l-4 1 49-4=5-2e4=一2e.4/=5/，可得双曲线的渐近线方程为石x 2 y =0,故选：A.【例 7】已知一条过点尸（2,1）的直线与抛物线y 2=2 x 交于A,8两点，P是弦A B 的中点，则直线4 B的斜率为.【答案】1【详解】由结论3 可知KB=1y0【跟踪训练】已知椭圆E的中心为原点，尸（3,0）是E的焦点，过 F的直线/与E相交于4 B两点，且 A8中点为“（2,-1）,则 E的离心率0=.【答案】2【解析】火”=上 为=碧=1，且心”=

8、-1，X-y X,J z z-kou=e2-1,B P e2=,e=2 2类 型 4 利 用 焦 点 弦 的 性 质，突破圆锥曲线压轴小题1.过椭圆点+g=1（心 心 0）的右焦点F且倾斜角为a（aW 90。）的直线交椭圆于A,B两点，且 丽=见丽则椭圆的离心率等于.（2 +1）c o s a2 22.过双曲线$一g=l（a 0,冷0）的右焦点F且倾斜角为a（a/90。）的直线交双曲线右支于A,8两点，月.丽1一 1=刃 沌 则双曲线的离心率等于I-上1、-1.A 1）c o s a3.过抛物线）2=2 px（p 0）的焦点F倾斜角为。的直线交抛物线于A,B两点，则两焦半径长为二&高,1+c

9、o s AFVBFp,内约s i n 2 j 5A4 O S-2 s i n&【例 8】已知椭圆N今+方v2=l（a Q0）的离心率为6=与 经过右焦点且斜率为依1 0）的直线交椭圆于A,B两点，己知行=3 曲，贝 心=（）A.1 B.V 2 C.5 D.2【答案】B【解析】；2=3,由结论1,e=坐，由规律得当c o s a=|7 p|，c o s a=/，k=tan a=p.【例 9（2 0 2 2 湖北荆州中学模拟预测）过双曲线C:._Z/b2=1 的右焦点F，作直线/交C的两条渐近线于AB 两点，A,B 均位于）轴右侧，且 满 足=。为坐标原点，若 NOE 4=12 0。，则双曲线C的

10、离心率为【答案】4-2 6【解析】由五瓦2 =6,又 N。修=12 0。，倾斜角a=6 0。，由结论2：6-1(6 +1)c o s 6 0=4-2 亚【例 10】设尸为抛物线C：炉=3 x 的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于 4 B两点，O 为坐标原点,则I A 剧为【答案】12【解析】易知2 =3,由结论3 知14阴=/,所 以|A 3|=而须产=12.71【例 11】设 F为 抛 物 线 C：V=6x的 焦 点，过 尸 且 倾 斜 角 为 7的 直 线 交。于A、B两 点,0为坐标原点，则 A08的面积为【答案】642【解析】由 V=1 6 x,p=8,=生，由结论 3,Sy.OK

11、 =64.【跟踪训练】如图，过抛物线）2=2px（p0）的焦点厂的直线交抛物线于点A,B,交其准线/于点C,若F是 AC的中点，且|A F|=4,则线段AB的长为（）【答案】C1 7 4 4 16【解析】因 为 丽+丽=1，H Q=4,所以|8 F|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=T模拟训练一 2。23 湖北 天门教育科学研究院高二期末）已 知 小&是椭圆的两个焦点，。是椭圆上一点,Nf；P E=6 0，则鸟的面 积 是（）4 LA.3 B.2 C.-V3 D.公【答案】D【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得归付|产闻的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由椭圆C：+

12、=l 的方程可得=4,6=3,c=l,则|P用+|PQ|=2a=4,4 3因为2 耳 桃=6 0 ,则归与+|尸片-2忙用.归图cos60=|耳用）即（附|+|%-3附|.|P&=|耳闻已 即16-3|尸用疗闾=4,解得归用J 尸用=4,因此，S 叼用归国sin60=gx4x等=G.故选：D.9 ，2.（2023安徽亳州一中高二月考）已知双曲线*-卓=1（。0/0）,过原点的直线与双曲线交于A,B 两点，以线段A 8为直径的圆恰好过双曲线的右焦点尸，若AAB尸的面积为2a一 则双曲线的离心率为（）A.y/2 B.6 C.2 D.y/5【答案】B【分析】设双曲线的左焦点为 尸，连接A尸，B F

13、,由题意可得A尸，B尸，设 4用=，B F =n,根据对称性可得|A F|=，BF m,根据双曲线的定义可得-m=2a,n2+nr=4c2,S A B F=m n =la2,整理可得关于明。的齐次方程，再由离心率公式即可求解.【详解】解：设双曲线的左焦点为尸，连接AF,B F ,因为以4 B为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F（c,0）,所以A F _ L 8 F,圆心为。（0,0）,半径为。，根据双曲线的对称性可得四边形4F 8F 是矩形，设|4尸|=机，BF=n,n-m =2a则，2 +/=4c2,由（一 7）=m2+/-可得4c*-Sa2=4a2,1 mn=02 a212所以C2=3 4

14、2,所以f=3,所以e=6.a故选：B.3.（2023安徽六安一中高二期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 +=1（匕 0）,则椭圆在其上一点A（%,%）处的切线方程为爷+岑=1,试运用该性质解决以下问题；椭圆G：1 +/=1,点B为G在第一象限中的任意一点，过8作C1的切线/,/分别与x轴和y轴的正半轴交于C,。两点，则OCQ面积的最小值为（）A.1 B.73 C.y/2 D.2【答案】C【解析】设8（X1，x）,（为 0,0）,根据题意，求得过点B的切线/的方程，即可求得C、D坐标，代入面积公式，即 可 求 得0 8面积5的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】设3（当，乂）

15、，（占 0,%0）,由题意得，过点8的切线/的方程为：瞥+y y =l,2 1令y=0,可得C（一,。）,令x=0,可得0（0,一）,x y1 2 1 I所 以0 8面积S=x x=,2%y x x又点8在椭圆上，所以日+短=1,江+2 _所以S=_ L =Z2l =邑.丛=再%占,2y%2y,x,当且仅当 白=上，即西=1,斗=时等号成立，演 2所 以OCQ面积的最小值为.故选：C4.（2023内蒙古海拉尔二中高三期末）设椭圆的方程为1+?=1,斜率为k的直线不经过原点。，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段A B的中点，下列结论正确的是（）A.直线AB与0 M垂直；4 r-B.若直线方程为

16、y=2x+2,则c.若直线方程为y=x+i,则点/坐标为mD.若点M坐标为（1,1）,则直线方程为2 x+y-3 =0；【答案】D【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.2 2 2 2【详解】不妨设4，B坐标为（X X）,（X 2，%）,贝 I 曰+手=1,专+卷=1,两式作差可得:77fx7TT=-2-设M（x。，），则及&=一 2.对 A：LX&M=AX&=-2,故直线A 民。M 不垂直，贝 I J A 错误;%对 B：若直线方程为y =2 x+2,联立椭圆方程2 x、y 2=4,4可得：6X2+8X=0,解得玉=0,%2=-，2

17、故 X =2,%=-,故B错误;对 C：若直线方程为产x+1,故可得K x l =-2,即%=_2X,又=%+1,解得X。=；,%=,即故c 错误；对D：若点M坐标为（1）,则卜=2则3=-2,又4 8 过点（1,1）,则直线A B的方程为尸 1 =-2（x7）,即2 x +y -3=0,故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，属中档题.5.（2 02 3 安徽淮北师大附中高二期中）已知椭圆E:=1（a 8 0）的右焦点F 与抛物线丁=的焦点重合，过点F的直线交E于A、B两点，若A B的中点坐标为。,-1）,则 E的方程为（

18、）A.2 2工+X=14 5 362B.土36+工=1C.2 2 二i2 7 18r 尸D.18+-=1【答案】D【分析】利用点差法可求得/=助 2,再由。=3可得出/2）D.（2,-2 7 2）【答案】A【分析】设点2（演，几）、A G，）；）、8（，力），求得直线A B的斜率为砥B=-;=-1,可得%+为 二-4,y十%再由直线P A和尸8的斜率互为相反数可求得为的值，进而可求得毛的值，由此可求得点P的坐标.左=凹一必=4【详解】设点一（X。，几）、A（x，y）、8仇,必），则直线A 8的斜率为Af l =，可得4X +%=4，4 4同理可得直线P A的斜率为%=-,直线PB的斜率为kP

19、B=-）%+必 先+必；*=一 嗫，所以，（为+%）+（%+%）=，则%=2,因此，点户的坐标为（1,2）.故选：A.7.已知直线/与抛物线y 2 =4 x交于不同的两点4,B,O为坐标原点，若直线0 40 8的斜率之积为-1,则直线/恒过定点（）A.（4,0）B.（0,4）C.（0 T）D.（-4,0）【答案】A【分析】设出直线方程x =m y +f,联立抛物线方程，得到y +%=4肛进而得到再3的值，将直线O AQ 8的斜率之积为-1,用4,8点坐标表示出来，结合为占的值即可求得答案.【详解】设直线方程为彳=W)，+，4埠芳),8(,必)，联立|,整理得：y2-4my-4t=0,y=以需满

20、足A=(-4/n)2+i6f0,即 滴+/0 ,则+)2=4切,弘=一冬，2 2由 y；=4%,%2=4%,得：XX,=乂-=/，16所以/。3=上.&=-1,即二=一1 ,X x2 xtx2 t故 f=4,所以直线/为：x=my+4,当y=0时，x=4,即直线/恒过定点(4,0),故选：A.8.设尸为抛物线C:y2=4 x的焦点，点A在C上，点8(3,0),若 卜 忸 尸 则|明=()A.2 B.2夜 C.3 D.3亚【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得,尸(1,(),则|AF|=|8F|=2,即点A

21、到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),所以|AB|=(3 7)2+(0 2)2=2A/2.故选：B9.设厂为抛物线C:y2=6 x的焦点，过尸且倾斜角为60。的直线交C于A,8两点，贝l“AB卜()A.B.8 C.12 D.7行3【答案】B【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案.【详解】依题意可知抛物线C：V=6 x 焦点为弓,0),立线A 8 的方程为y=囱(x-|),代入抛物线方程得4/-20 x+9=0,可得X,+4=5,根据抛物线的定义可知直线A 8 的长为/+

22、/+=5+3=8.故选：B.10.已知抛物线C:炉=4y的准线为/,记/与 y轴交于点M,过点M 作直线,与C 相切，切点为N,则以M N 为直径的圆的方程为()A.(x+l)2 +y2=4或(彳-1)2 +2=4 B.+/=6或 x(x-+/=6C.(x+l)2 +y2=2或(x-T+y?=2 D.(x+1)2+/=8(x-1)2+/=8【答案】C【解析】设切线/:=履-1，联 立”=1,，根据 =()得到1,计算N(2,l)或 N(-2,l),再计算圆方y=kx-程得到答案.【详解】”(0,-1),设切线/:y=丘一 1，联立 二纱 故/一 46+4=0,A=16F-I6=o,解得左=1,

23、=0-1故x=2,则 N(2,l)或 N(-2,l)故以M N为直径的圆的方程为(x+1)2+)2=2或(x-1)?+/=2故选：C.11.过点(2,2)作抛物线)2=2X的切线/,切线/在)，轴上的截距为一.【答案】1【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用 =()求得衣=i,即可得出所求.【详解】设切线斜率为3则切线方程y-2=k(x-2),联立方程可得62_2丫_ 44+4=0,y=2x则 =4_4M-4A+4)=0,解得4=g,即切线方程为y-2 =g（x-2）,取x=o,得y=1.切线/在y轴上的截距为1.故答案为：1.12.（2023广东 执信中学高三月考）已知椭圆C：5 +=l（

24、a h 0）的离心率为弓，直线/与椭圆C交于A,B两点且 线 段 的 中 点 为 加（3,2）,则直线/的斜率为.【答案】-1【分析】由椭圆离心率和。，8 c关 系 可 得 关 系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得e=Jl =且，整理可得。=逅 心a a2 3 2设4（3，。）,8（七,2），则4+当*=L与+马=1，a b a b两式相减可得Of?+%）+。一%/+%）=o,a bA8 的中点为 M（3,2）,.,.$+工2 =6,%+%=4,则直线斜率火=_与.X j-x2 a y +%3 4故答案为：T.13.已知抛物线C：V=4 x,点。在x轴

25、上，直线/：（?-2）x y 2m+4=0与抛物线C交于M N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点。的 坐 标 是.【答案】（-2,0）【分析】将直线/方程代入抛物线C中，得到关于的一元二次方程，设出例，N两点坐标，利用韦达定理写出X+%，耳%的关系，利用斜率坐标公式结合已知条件，得 到%”+%，=0,即可求解。的坐标.【详解】易知机二2,由（机2）x y 2m+4=0得 工=3+2,代入抛物线方程得丫2-3 -8 =0,m-2 m-2设M（%，x）,N（x”%）,则 9 +,m-2y%=-8.设。伍,0）,则 M=,xa Xy ci依题意 有 如+“总+管 r ，所以 X _ a

26、)+%(*-4)=0，w 2+2a)+y 2 Ji2+2a=(),整理并把代入可得a =-2 ,故。点的坐标为(-2,0).故答案为：(-2,0).1 4.已知双曲线C的离心率为石，片心是 C的两个焦点，P为 C上一点，|P 用=3|用，若百巴的面积为0，则双曲线C的实轴长为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】2【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合归 耳|=3|尸段和P f；鸟的面积建立方程,解出方程即可【详解】根据双曲线的定义,可得：1制一|桃|=2。又:阀|=3|/用解 得:PFt =3a,PF2 =a双曲线C的离心率为百，则有：c=同在中，由余弦定理，可得:cos ZF

27、PF2=阀 f+l 历 2 一亩用22 附|P 局3则有：5 皿/耳尸片=半尸片鸟的面积为&，可得：!|尸周|尸周丽/耳尸巴=低 2=&解得：a=1故双曲线。的实轴长为：21 5.已知双曲线82-1=,点4(7,0),在双曲线上任取两点尸、。满足A P _ L A Q,则直线P Q 恒过定点【答案】(3,0)【分析】设 尸。的方程为了 =叼+比联立双曲线利用代数式恒成立即可求解直线尸。恒过定点时x=m y+匕中b的值，进而求得定点.【详解】设 P。的方程为=磔+/则由 一 彳=1=!机x=my+b设 P&,X）,Q（z，K）,则如 必是该方程的两根，2bm b2-1 X+%=-F 凹 丫 2=-r 2?1 ,m m 22又 A（-1,O）,AP_LAQ 4P.AQ =O二（%+1）（+1）+凶必=，y2+2bmy+h2 =0.Xx,=myt+b,x2=iny2+b,（1 +，叫 必+仅+1）1（|+%）+（。+1）2 =。，2bm b2-1代入 x+y L-T r,y/%=r 得：m-m 22（也 玛 卜=整理得：2（-l）（l+，/2）-4/w j（b+l），+（2，/2-l）e +l）2 =0,.2-2 8-3 =0,/.6=3或匕二1.当b=-1时,PQ过A（-1,0）与题意不符，故舍去。当人=3时,PQ过定点（3,0）.故答案为：（3,0）