2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf-得力文库

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2、（5 分）已知 F 为双曲线 C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点 F 到 C的一条渐近线的距离为（）A B3 Cm D3m 5（5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A B C D 6（5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）在0，的图象大致为（）关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 2 页（共 29 页）A B C

3、D 7（5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的M=（）A B C D 8（5 分）设（0，），（0，），且 tan=，则（）A3=B3+=C2=D2+=9（5 分）不等式组的解集记为 D，有下列四个命题：p1：（x，y）D，x+2y2 p2：（x，y）D，x+2y2 p3：（x，y）D，x+2y3p4：（x，y）D，x+2y1 其中真命题是（）关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 3 页（共 29 页）Ap2，p3 Bp1，p4 Cp1，p2 Dp1，p3 10（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q

4、是直线 PF 与 C 的一个交点，若=4，则|QF|=（）A B3 C D2 11（5 分）已知函数 f（x）=ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）12（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6 B6 C4 D4 二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分）分）13（5 分）（xy）（x+y）8的展开式中 x2y7的系数为（用数字填写答案）14（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A

5、，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 15（5 分）已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若=（+），则与的夹角为关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 4 页（共 29 页）16（5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC 面积的最大值为三、解答题三、解答题 17（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1，其中为常数（）证明：an+2

6、an=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由 18（12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差 s2（i）利用该正态分布，求 P（187.8Z212.2）；关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 5 页（共 29 页）（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品

7、中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX 附：12.2 若 ZN（，2）则 P（Z+）=0.6826，P（2Z+2）=0.9544 19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若 ACAB1，CBB1=60，AB=BC，求二面角 AA1B1C1的余弦值 20（12 分）已知点 A（0，2），椭圆 E：+=1（ab0）的离心率为，F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点（）求 E 的方程；（）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最

8、大时，求 l的方程关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 6 页（共 29 页）21（12 分）设函数 f（x）=aexlnx+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为 y=e（x1）+2（）求 a、b；（）证明：f（x）1 选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知曲线 C：+=1，

9、直线 l：（t 为参数）（）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程（）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 7 页（共 29 页）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24若 a0，b0，且+=（）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 8 页（共 29 页）2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择

10、题（一、选择题（共共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分）分）1（5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|2x2，则 AB=（）A1，2）B1，1 C1，2）D2，1 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：x3 或 x1，即 A=（，13，+），B=2，2），AB=2，1 故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2（5 分）=（）A1+i B1i C1+i D1i 【考点】A5：复数的运算菁优网

11、版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计算求得结果【解答】解：=（1+i）=1i，关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 9 页（共 29 页）故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题 3（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）Af（x）g（x）是偶函数 B|f（x）|g（x）是奇函数 Cf（x）|g（x）|是奇函数 D|f（x）g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版

12、权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）=f（x），g（x）=g（x），f（x）g（x）=f（x）g（x），故函数是奇函数，故 A 错误，|f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）为偶函数，故 B 错误，f（x）|g（x）|=f（x）|g（x）|是奇函数，故 C 正确|f（x）g（x）|=|f（x）g（x）|为偶函数，故 D 错误，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键 4（5 分）已知 F 为双曲线 C：x2my2=3m（m0）的一个焦点，则点 F 到 C的

13、一条渐近线的距离为（）A B3 Cm D3m 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 10 页（共 29 页）【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论【解答】解：双曲线 C：x2my2=3m（m0）可化为，一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，点 F 到 C 的一条渐近线的距离为=故选：A【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题 5（5 分）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都

14、有同学参加公益活动的概率为（）A B C D 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】求得 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可【解答】解：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16 种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有 242=162=14 种情况，所求概率为=故选：D【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试

15、验中基本事件的总数关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 11 页（共 29 页）6（5 分）如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）在0，的图象大致为（）A B C D 【考点】3P：抽象函数及其应用菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图像与性质【分析】在直角三角形 OMP 中，求出 OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到 f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，

17、【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出 M 的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环 M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环 M=+=，a=，b=，n=4 不满足条件 n3，跳出循环体，输出 M=故选：D【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法 8（5 分）设（0，），（0，），且 tan=，则（）关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 13 页（共 29 页）A3=B3+=C2=D2+=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】56：三角函数的

18、求值【分析】化切为弦，整理后得到 sin（）=cos，由该等式左右两边角的关系可排除选项 A，B，然后验证 C 满足等式 sin（）=cos，则答案可求【解答】解：由 tan=，得：，即 sincos=cossin+cos，sin（）=cos=sin（），（0，），（0，），当时，sin（）=sin（）=cos 成立故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题 9（5 分）不等式组的解集记为 D，有下列四个命题：p1：（x，y）D，x+2y2 p2：（x，y）D，x+2y2 p3：（x，y）D，x+2y3p4：（x，y）D，x+2y1 其中真命题是

19、（）Ap2，p3 Bp1，p4 Cp1，p2 Dp1，p3 【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑【分析】作出不等式组的表示的区域 D，对四个选项逐一分析即可关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 14 页（共 29 页）【解答】解：作出图形如下：由图知，区域 D 为直线 x+y=1 与 x2y=4 相交的上部角型区域，p1：区域 D 在 x+2y2 区域的上方，故：（x，y）D，x+2y2 成立；p2：在直线 x+2y=2 的右上方和区域 D 重叠的区域内，（x，y）D，x+2y2，故 p2：（x

20、，y）D，x+2y2 正确；p3：由图知，区域 D 有部分在直线 x+2y=3 的上方，因此 p3：（x，y）D，x+2y3 错误；p4：x+2y1 的区域（左下方的虚线区域）恒在区域 D 下方，故 p4：（x，y）D，x+2y1 错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题 10（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若=4，则|QF|=（）A B3 C D2 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有关注公众号”一个高中僧“

21、获取更多高中资料第 15 页（共 29 页）【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得直线 PF 的方程，与 y2=8x 联立可得 x=1，利用|QF|=d 可求【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|=d，=4，|PQ|=3d，不妨设直线 PF 的斜率为=2，F（2，0），直线 PF 的方程为 y=2（x2），与 y2=8x 联立可得 x=1，|QF|=d=1+2=3，故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题 11（5 分）已知函数 f（x）=ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a

22、的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用【分析】由题意可得 f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当 a=0 时，f（x）=3x2+1 有两个零点，不成立；关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 16 页（共 29 页）当 a0 时，f（x）=ax33x2+1 在（，0）上有零点，故不成立；当 a0 时，f

23、（x）=ax33x2+1 在（0，+）上有且只有一个零点；故 f（x）=ax33x2+1 在（，0）上没有零点；而当 x=时，f（x）=ax33x2+1 在（，0）上取得最小值；故 f（）=3+10；故 a2；综上所述，实数 a 的取值范围是（，2）；故选：D【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题 12（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6 B6 C4 D4 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】画出

24、图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到 BD 的中点的距离为：4，关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 17 页（共 29 页）AC=6，AD=4，显然 AC 最长长为 6 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力二、填空题（二、填空题（共共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分）分）13（5 分）（xy）（x+y）8的展开式中 x2y7的系数为20（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；5P：二项式定理【分析】由题意依次求出（x+y）8中 xy7，x2y6，项的

25、系数，求和即可【解答】解：（x+y）8的展开式中，含 xy7的系数是：8 含 x2y6的系数是 28，（xy）（x+y）8的展开式中 x2y7的系数为：828=20 故答案为：20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力 14（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A 关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 18 页（共 29 页）【考点】F4：进行简单的合情推理菁优网版权所有【专题】5M：推理和证明【分析】可先

26、由乙推出，可能去过 A 城市或 B 城市，再由甲推出只能是 A，B 中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 A 城市或 B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，则乙只能是去过 A，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为 A 故答案为：A【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题 15（5 分）已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若=（+），则与的夹角为90 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】根据向量之间的关系，利用圆

27、直径的性质，即可得到结论【解答】解：在圆中若=（+），即 2=+，即+的和向量是过 A，O 的直径，则以 AB，AC 为邻边的四边形是矩形，则，即与的夹角为 90，故答案为：90【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 19 页（共 29 页）关键，比较基础 16（5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC 面积的最大值为【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；

28、58：解三角形【分析】由正弦定理化简已知可得 2ab2=c2bc，结合余弦定理可求 A 的值，由基本不等式可求 bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（2+b）（ab）=（cb）c 2a2b+abb2=c2bc，又因为：a=2，所以：，ABC 面积，而 b2+c2a2=bc b2+c2bc=a2 b2+c2bc=4 bc4 所以：，即ABC 面积的最大值为故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题三、解答题 17（12 分

29、）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1，其中关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 20 页（共 29 页）为常数（）证明：an+2an=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（）利用 anan+1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，相减即可得出；（）假设存在，使得an为等差数列，设公差为 d 可得=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，得到 Sn=，根据an为等差数列的充要条件是，解得即可【解答】（）证明：anan+

30、1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，an+1（an+2an）=an+1 an+10，an+2an=（）解：假设存在，使得an为等差数列，设公差为 d 则=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，Sn=1+=，根据an为等差数列的充要条件是，解得=4 此时可得，an=2n1 因此存在=4，使得an为等差数列【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、等关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 21 页（共 29 页）差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题 18（12 分）从某企业生产

31、的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2），其中近似为样本平均数，2近似为样本方差 s2（i）利用该正态分布，求 P（187.8Z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 EX 附：12.2 若 ZN（，2）则 P（Z+）=0.6826，

32、P（2Z+2）=0.9544 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义菁优网版权所有【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（）（i）由（）知 ZN（200，150），从而求出 P（187.8Z212.2），注意运用所给数据；关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 22 页（共 29 页）（ii）由（i）知 XB（100，0.6826），运用 EX=np 即可求得【解答】解：（）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差 s2分别为：=1700.02+1800.09+1900.22+200

33、0.33+2100.24+2200.08+2300.02=200，s2=（30）20.02+（20）20.09+（10）20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150（）（i）由（）知 ZN（200，150），从而 P（187.8Z212.2）=P（20012.2Z200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为 0.6826，依题意知 XB（100，0.6826），所以 EX=1000.6826=68.26【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力

34、 19（12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB1C（）证明：AC=AB1；（）若 ACAB1，CBB1=60，AB=BC，求二面角 AA1B1C1的余弦值【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】5H：空间向量及应用【分析】（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，可证 B1C平面 ABO，可得 B1C关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 23 页（共 29 页）AO，B10=CO，进而可得 AC=AB1；（2）以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，|为单位长度，的方向为 y

35、轴的正方向，的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值【解答】解：（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，侧面 BB1C1C 为菱形，BC1B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又ABB1C，B1C平面 ABO，AO平面 ABO，B1CAO，又 B10=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且 O 为 B1C 的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，|为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1

36、=60，CBB1为正三角形，又 AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，），同理可得平面 A1B1C1的一个法向量=（1，），cos，=，二面角 AA1B1C1的余弦值为关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 24 页（共 29 页）【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题 20（12 分）已知点 A（0，2），椭圆 E：+=1（ab0）的离心率为，F 是椭圆的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点（

37、）求 E 的方程；（）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l的方程【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率得到 a、c 关系，通过 A 求出 a，即可求 E 的方程；（）设直线 l：y=kx2，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）将 y=kx2 代入，利用0，求出 k 的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ 的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（）设 F（c，0），由条件知，得又，所以 a=2，b2=a2c2

38、=1，故 E 的方程（5 分）（）依题意当 lx 轴不合题意，故设直线 l：y=kx2，设 P（x1，y1），Q（x2，y2）将 y=kx2 代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而又点 O 到直线 PQ 的距离，所以OPQ 的面积=关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 25 页（共 29 页），设，则 t0，当且仅当 t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x2 或 y=x2（12 分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力 21（12 分）设函数

39、 f（x）=aexlnx+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为 y=e（x1）+2（）求 a、b；（）证明：f（x）1 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】（）求出定义域，导数 f（x），根据题意有 f（1）=2，f（1）=e，解出即可；（）由（）知，f（x）1 等价于 xlnxxex，设函数 g（x）=xlnx，函数 h（x）=，只需证明 g（x）minh（x）max，利用导数可分别求得 g（x）min，h（x）max；【解答】解：（）函数 f（x）的定义域为（0，+），f（

40、x）=+，由题意可得 f（1）=2，f（1）=e，故 a=1，b=2；关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 26 页（共 29 页）（）由（）知，f（x）=exlnx+，f（x）1，exlnx+1，lnx，f（x）1 等价于 xlnxxex，设函数 g（x）=xlnx，则 g（x）=1+lnx，当 x（0，）时，g（x）0；当 x（，+）时，g（x）0 故 g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而 g（x）在（0，+）上的最小值为 g（）=设函数 h（x）=xex，则 h（x）=ex（1x）当 x（0，1）时，h（x）0；当 x（1，+）时，h（x）0，故 h（x）在（0

41、，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而 h（x）在（0，+）上的最大值为 h（1）=综上，当 x0 时，g（x）h（x），即 f（x）1【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE（）证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 27 页（共 29 页）【

42、考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】15：综合题；5M：推理和证明【分析】（）利用四边形 ABCD 是O 的内接四边形，可得D=CBE，由CB=CE，可得E=CBE，即可证明：D=E；（）设 BC 的中点为 N，连接 MN，证明 ADBC，可得A=CBE，进而可得A=E，即可证明ADE 为等边三角形【解答】证明：（）四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D=CBE，CB=CE，E=CBE，D=E；（）设 BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MB=MC 知 MNBC，O 在直线 MN 上，AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，OMAD，ADBC，A=CBE，C

43、BE=E，A=E，由（）知，D=E，ADE 为等边三角形【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 28 页（共 29 页）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23已知曲线 C：+=1，直线 l：（t 为参数）（）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程（）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（）联想三角函数的平方

44、关系可取 x=2cos、y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）由点到直线的距离公式得到 P到直线 l 的距离，除以 sin30进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值【解答】解：（）对于曲线 C：+=1，可令 x=2cos、y=3sin，故曲线 C 的参数方程为，（为参数）对于直线 l：，由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin）P 到直线 l 的距离为则，其中为锐角当 sin（+）=1 时，|PA|取得最大值

45、，最大值为当 sin（+）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料第 29 页（共 29 页）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 24若 a0，b0，且+=（）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由【考点】RI：平均值不等式菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】（）由条件利用基本不等式求得 ab2，再利用基本不等式求得 a3+b3的最小值（）根据 ab2 及基本不等式求的 2a+3b8，从而可得不存在 a，b，使得2a+3b=6【解答】解：（）a0，b0，且+=，=+2，ab2，当且仅当 a=b=时取等号 a3+b3 22=4，当且仅当 a=b=时取等号，a3+b3的最小值为 4（）2a+3b2=2，当且仅当 2a=3b 时，取等号而由（1）可知，22=46，故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料

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