2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版).pdf

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1、第 1 页（共 2 8 页）2 0 1 8 年全 国统 一高 考数 学试 卷（理科）（新 课标）一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）设 z=+2i，则|z|=（）A 0 B C 1 D 2（5 分）已知集合 A=x|x2x20，则 C R A=（）A x|1x2 B x|1 x 2C x|x1 x|x2 D x|x 1 x|x 23（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 为 更 好 地 了 解 该 地 区 农 村 的经 济 收 入

2、变 化 情 况，统 计 了 该 地 区 新 农 村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A 新农村建设后，种植收入减少B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4（5 分）记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和 若 3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则 a 5=（）A 12 B 10 C 10 D 125（5 分）设函数 f（x）=x3+（a 1）x2+a x 若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A y=2x

3、B y=x C y=2 x D y=x6（5 分）在A B C 中，A D 为 B C 边上的中线，E 为 A D 的中点，则=（）第 2 页（共 2 8 页）A B C+D+7（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 圆柱表面上的点 M在 正视 图上 的 对应 点 为 A，圆柱 表面 上 的点 N 在 左视 图上 的 对应 点 为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A 2 B 2 C 3 D 28（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线 与C 交于 M，N 两点，则=（）A 5 B 6 C 7 D 8

4、9（5 分）已知函数 f（x）=，g（x）=f（x）+x+a 若 g（x）存在2 个零点，则 a 的取值范围是（）A 1，0）B 0，+）C 1，+）D 1，+）10（5 分）如 图 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究 的 几 何 图 形 此 图 由 三 个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 A B C 的斜边 B C，直角边 A B，A C A B C 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为，其余部分记为 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p 1，p 2，p 3，则（）A p 1=p 2 B p 1=p 3 C p 2=p 3 D p 1=

5、p 2+p 31 1（5 分）已 知 双 曲 线 C：y2=1，O 为 坐 标 原 点，F 为 C 的 右 焦 点，过 F的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N 若O M N 为直角三角形，则第 3 页（共 2 8 页）|M N|=（）A B 3 C 2 D 412（5 分）已 知正方体 的棱长为 1，每条 棱所在直 线与平面 所成的 角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）A B C D 二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为 14（5 分）记 S n 为数列 a n 的前 n

6、 项和若 S n=2a n+1，则 S 6=15（5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种（用数字填写答案）16（5 分）已知函数 f（x）=2s i nx+s i n2x，则 f（x）的最小值是 三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 21题为 必考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答。（一）必 考题：共 60 分。17（12 分）在平面四边形 A B C D 中，A D C=90，A=45，A B=2，B D=5（1）求

7、 c os A D B；（2）若 D C=2，求 B C 第 4 页（共 2 8 页）18（12 分）如图，四边形 A B C D 为正方形，E，F 分别为 A D，B C 的中点，以D F 为折痕把D F C 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 P F B F（1）证明：平面 P E F 平面 A B F D；（2）求 D P 与平面 A B F D 所成角的正弦值19（12 分）设 椭 圆 C：+y2=1 的 右 焦 点 为 F，过 F 的 直 线 l 与 C 交 于 A，B两点，点 M 的坐标为（2，0）（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 A M 的方程；（2）设 O 为坐标原点

8、，证明：O M A=O M B 第 5 页（共 2 8 页）20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之 前 要 对 产 品 作 检 验，如 检 验 出不 合 格 品，则 更 换 为 合 格 品 检 验 时，先 从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记 20 件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为 f（p），求 f（p）的 最 大 值 点p 0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（

9、1）中确定的 p 0作为 p 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若 不 对 该 箱 余 下 的 产 品 作 检 验，这一 箱 产 品 的 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 的 和 记为 X，求 E X；（）以检 验费用与 赔偿费用 和的期望 值为决策 依据，是 否该对这 箱余下的 所有产品作检验？21（12 分）已知函数 f（x）=x+a l nx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x 1，x 2，证明：a 2 第 6 页（共 2 8 页）（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生

10、 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程（10 分）22（10 分）在 直 角 坐 标 系 xO y 中，曲 线 C 1 的 方 程 为 y=k|x|+2 以 坐 标 原 点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为2+2 c os 3=0（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程 选修 4-5：不 等式 选讲（10 分）23已知 f（x）=|x+1|a x 1|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集

11、；（2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围第 7 页（共 2 8 页）2 0 1 8 年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求的。1（5 分）设 z=+2i，则|z|=（）A 0 B C 1 D【考点】A 8：复数的模菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后

12、，然后求解复数的模【解答】解：z=+2i=+2i=i+2i=i，则|z|=1 故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力 2（5 分）已知集合 A=x|x2x20，则 C R A=（）A x|1x2 B x|1 x 2C x|x1 x|x2 D x|x 1 x|x 2【考点】1F：补集及其运算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式【分析】通过求解不等式，得到集合 A，然后求解补集即可【解答】解：集合 A=x|x2x20，可得 A=x|x1 或 x2，则：C R A=x|1 x 2 故选：B【点

13、评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查第 8 页（共 2 8 页）3（5 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 为 更 好 地 了 解 该 地 区 农 村 的经 济 收 入 变 化 情 况，统 计 了 该 地 区 新 农 村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A 新农村建设后，种植收入减少B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【考点】2K：命题的真假判断与应用；C S：概率的应用菁 优 网 版 权 所 有【专

14、题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑【分析】设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a 通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a A 项，种植收入 37%2a 60%a=14%a 0，故建设后，种植收入增加，故 A 项错误B 项，建设后，其他收入为 5%2a=10%a，建设前，其他收入为 4%a，故 10%a 4%a=2.5 2，故 B 项正确C 项，建设后，养殖收入为 30%2a=60%a，第 9 页（共 2 8 页）建设前，养殖收入为 30%a，故 60%a 3

15、0%a=2，故 C 项正确D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）2a=58%2a，经济收入为 2a，故（58%2a）2a=58%50%，故 D 项正确因为是选择不正确的一项，故选：A【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力4（5 分）记 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和 若 3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则 a 5=（）A 12 B 10 C 10 D 12【考点】83：等差数列的性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数

16、列的通项公式和前 n 项和公式列出方程，能求出 a 5 的值【解答】解：S n 为等差数列 a n 的前 n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2，=a 1+a 1+d+4a 1+d，把 a 1=2，代入得 d=3a 5=2+4（3）=10故选：B【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5（5 分）设 函 数 f（x）=x3+（a 1）x2+a x 若 f（x）为 奇 函 数，则 曲 线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）第 1 0 页（共 2 8 页）A y=2x B y=x C y=2 x D y=

17、x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数 f（x）=x3+（a 1）x2+a x，若 f（x）为奇函数，可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1，曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力6（5 分）在A B C 中，A D

18、 为 B C 边上的中线，E 为 A D 的中点，则=（）A B C+D+【考点】9H：平面向量的基本定理菁 优 网 版 权 所 有【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量【解答】解：在A B C 中，A D 为 B C 边上的中线，E 为 A D 的中点，=（+）=，故选：A【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题 7（5 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图 圆柱表面上的点 M在 正视 图上 的 对应 点 为 A，圆柱 表面 上 的点 N 在 左视 图上 的 对应 点

19、 为 B，则第 1 1 页（共 2 8 页）在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（）A 2 B 2 C 3 D 2【考点】L!：由三视图求面积、体积菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度：=2 故选：B【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展

20、开图的应用，考查计算能力8（5 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线 与C 交于 M，N 两点，则=（）A 5 B 6 C 7 D 8【考点】K 8：抛物线的性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：第 1 2 页（共 2 8 页）圆锥曲线的定义、性质与方程【分 析】求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标，直 线 方 程，求 出 M、N 的 坐 标，然 后 求 解 向量的数量积即可【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过点（2，0）且斜率为的直线为：3y=2 x+4

21、，联立直线与抛物线 C：y2=4x，消去 x 可得：y26y+8=0，解得 y 1=2，y 2=4，不妨 M（1，2），N（4，4），则=（0，2）（3，4）=8 故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力9（5 分）已知函数 f（x）=，g（x）=f（x）+x+a 若 g（x）存在2 个零点，则 a 的取值范围是（）A 1，0）B 0，+）C 1，+）D 1，+）【考点】5B：分段函数的应用菁 优 网 版 权 所 有【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分 析】由 g（x）=0 得 f（x）=x a，分 别 作 出 两 个 函 数

22、 的 图 象，根 据 图 象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=xa，作出函数 f（x）和 y=xa 的图象如图：当直线 y=xa 的截距a 1，即 a 1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，即函数 g（x）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是 1，+），故选：C 第 1 3 页（共 2 8 页）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键10（5 分）如 图 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究 的 几 何 图 形 此 图 由 三 个半圆构成，三

23、个半圆的直径分别为直角三角形 A B C 的斜边 B C，直角边 A B，A C A B C 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为，其余部分记为 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p 1，p 2，p 3，则（）A p 1=p 2 B p 1=p 3 C p 2=p 3 D p 1=p 2+p 3【考点】C F：几何概型菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】如图：设 B C=2r 1，A B=2r 2，A C=2r 3，分别求出，所对应的面积，即可得到答案【解答】解：如图：设 B C=2r 1，A B=2r 2

24、，A C=2r 3，r 12=r 22+r 32，S=4r 2 r 3=2r 2 r 3，S=r 122r 2 r 3，第 1 4 页（共 2 8 页）S=r 32+r 22S=r 32+r 22 r 12+2r 2 r 3=2r 2 r 3，S=S，P 1=P 2，故选：A【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题 1 1（5 分）已 知 双 曲 线 C：y2=1，O 为 坐 标 原 点，F 为 C 的 右 焦 点，过 F的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N 若O M N 为直角三角形，则|M N|=（）A B 3 C 2 D 4【考点】K C：双曲线的

25、性质菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分 析】求 出 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程，求 出 直 线 方 程，求 出 M N 的 坐 标，然 后 求解|M N|【解答】解：双曲线 C：y2=1 的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60，不妨设过 F（2，0）的直线为：y=，则：解得 M（，），解得：N（），则|M N|=3 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力12（5 分）已 知正方体 的棱长为 1，每条 棱所在直 线与平面 所成的 角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（）第

26、 1 5 页（共 2 8 页）A B C D【考点】M I：直线与平面所成的角菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分 析】利 用 正 方 体 棱 的 关 系，判 断 平 面 所 成 的 角 都 相 等 的 位 置，然 后 求 解 截此正方体所得截面面积的最大值【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，截此正方体所得截面最大值为：6=故选：A【点评】本题考查直线与平

27、面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值为 6【考点】7C：简单线性规划菁 优 网 版 权 所 有【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：第 1 6 页（共 2 8 页）由 z=3x+2y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象知当直线 y=x+z 经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最

28、大，最大值为 z=3 2=6，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键14（5 分）记 S n 为数列 a n 的前 n 项和若 S n=2a n+1，则 S 6=63【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分 析】先根 据数 列的递 推公 式可得 a n 是以 1 为首 项，以 2 为公 比的 等比数列，再根据求和公式计算即可【解答】解：S n 为数列 a n 的前 n 项和，S n=2a n+1，当 n=1 时，a 1=2a

29、1+1，解得 a 1=1，第 1 7 页（共 2 8 页）当 n 2 时，S n 1=2a n 1+1，由可得 a n=2a n 2a n 1，a n=2a n 1，a n 是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列，S 6=63，故答案为：63【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题15（5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 16 种（用数字填写答案）【考点】D 9：排列、组合及简单计数问题菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合【分析】方法一：直接法

30、，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数【解答】解：方法一：直接法，1 女 2 男，有 C 21C 42=12，2 女 1 男，有 C 22C 41=4根据分类计数原理可得，共有 12+4=16 种，方法二，间接法：C 63C 43=20 4=16 种，故答案为：16【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题16（5 分）已知函数 f（x）=2s i nx+s i n2x，则 f（x）的最小值是【考点】6E：利用导数研究函数的最值；H W：三角函数的最值菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：

31、三角函数的求值【分析】由 题意 可得 T=2 是 f（x）的一 个周 期，问题 转化 为 f（x）在 0，2）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得【解答】解：由题意可得 T=2 是 f（x）=2s i nx+s i n2x 的一个周期，第 1 8 页（共 2 8 页）故只需考虑 f（x）=2s i nx+s i n2x 在 0，2）上的值域，先来求该函数在 0，2）上的极值点，求导数可得 f（x）=2c os x+2c os 2x=2c os x+2（2c os2x1）=2（2c os x 1）（c os x+1），令 f（x）=0 可解得 c os x=或 c os x=1，可得此时

32、 x=，或；y=2 s i nx+s i n2x 的最小值只能在点 x=，或 和边界点 x=0 中取到，计算可得 f（）=，f（）=0，f（）=，f（0）=0，函数的最小值为，故答案为：【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题 三、解答 题：共 70 分。解答 应写 出文字 说明、证明 过程 或演算 步骤。第 17 21题为 必考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答。（一）必 考题：共 60 分。17（12 分）在平面四边形 A B C D 中，A D C=90，A=45，A B=2，B D=5（1）求 c

33、os A D B；（2）若 D C=2，求 B C【考点】H T：三角形中的几何计算菁 优 网 版 权 所 有【专题】1 1：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形【分 析】（1）由 正 弦 定 理 得=，求 出 s i n A D B=，由 此 能求出 c os A D B；（2）由A D C=90，得 c os B D C=s i n A D B=，再由 D C=2，利用余弦定理能求出 B C【解答】解：（1）A D C=90，A=45，A B=2，B D=5 第 1 9 页（共 2 8 页）由正弦定理得：=，即=，s i n A D B=，A B B D，A D B A，c

34、 os A D B=（2）A D C=90，c os B D C=s i n A D B=，D C=2，B C=5【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题18（12 分）如图，四边形 A B C D 为正方形，E，F 分别为 A D，B C 的中点，以D F 为折痕把D F C 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 P F B F（1）证明：平面 P E F 平面 A B F D；（2）求 D P 与平面 A B F D 所成角的正弦值【考点】L Y：平面与平面垂直；M I：直线与平面所成的角菁 优

35、网 版 权 所 有第 2 0 页（共 2 8 页）【专题】1 1：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角【分析】（1）利用正方形的性质可得 B F 垂直于面 P E F，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可（2）利用等体积法可求出点 P 到面 A B C D 的距离，进而求出线面角【解答】（1）证明：由题意，点 E、F 分别是 A D、B C 的中点，则，由于四边形 A B C D 为正方形，所以 E F B C 由于 P F B F，E F P F=F，则 B F 平面 P E F 又因为 B F平面 A B F D，所以：平面 P

36、E F 平面 A B F D（2）在平面 D E F 中，过 P 作 P H E F 于点 H，连接 D H，由于 E F 为面 A B C D 和面 P E F 的交线，P H E F，则 P H 面 A B F D，故 P H D H 在三棱锥 P D E F 中，可以利用等体积法求 P H，因为 D E B F 且 P F B F，所以 P F D E，又因为P D F C D F，所以F P D=F C D=90，所以 P F P D，由于 D E P D=D，则 P F 平面 P D E，故 V F P D E=，因为 B F D A 且 B F 面 P E F，所以 D A 面 P

37、 E F，所以 D E E P 设正方形边长为 2a，则 P D=2a，D E=a在P D E 中，所以，故 V F P D E=，第 2 1 页（共 2 8 页）又因为，所以 P H=，所以在P H D 中，s i n P D H=，即P D H 为 D P 与平面 A B F D 所成角的正弦值为：【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系 直线与平面所成角的求法 几何法的应用，考查转化思想以及计算能力19（12 分）设 椭 圆 C：+y2=1 的 右 焦 点 为 F，过 F 的 直 线 l 与 C 交 于 A，B两点，点 M 的坐标为（2，0）（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 A

38、 M 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明：O M A=O M B【考点】K L：直线与椭圆的综合菁 优 网 版 权 所 有【专 题】15：综 合 题；38：对 应 思 想；4R：转 化 法；5E：圆 锥 曲 线 中 的 最 值 与范围问题【分析】（1）先得到 F 的坐标，再求出点 A 的方程，根据两点式可得直线方程，（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明【解答】解：（1）c=1，F（1，0），l 与 x 轴垂直，x=1，第 2 2 页（共 2 8 页）由，解得 或，A（1.），或（1，），直线 A M 的方程为 y=x+，y=x，证明：（2）当 l 与 x 轴重合

39、时，O M A=O M B=0，当 l 与 x 轴垂直时，O M 为 A B 的垂直平分线，O M A=O M B，当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x1），k 0，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 x 1，x 2，直线 M A，M B 的斜率之和为 k M A，k M B 之和为 k M A+k M B=+，由 y 1=kx 1 k，y 2=kx 2 k 得 k M A+k M B=，将 y=k（x 1）代入+y2=1 可得（2k2+1）x2 4k2x+2k2 2=0，x 1+x 2=，x 1 x 2=，2kx 1 x 2 3k（x 1+x 2）+4

40、k=（4k34k12k3+8k3+4k）=0从而 k M A+k M B=0，故 M A，M B 的倾斜角互补，O M A=O M B，综上O M A=O M B【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之 前 要 对 产 品 作 检 验，如 检 验 出不 合 格 品，则 更 换 为 合 格 品 检 验 时，先 从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 p（0p1），且各件产品是否为不第 2 3 页（

41、共 2 8 页）合格品相互独立（1）记 20 件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为 f（p），求 f（p）的 最 大 值 点p 0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p 0作为 p 的值 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若 不 对 该 箱 余 下 的 产 品 作 检 验，这一 箱 产 品 的 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 的 和 记为 X，求 E X；（）以检 验费用与 赔偿费用 和的期望 值为决策 依据，是 否该对这 箱余下的 所有产品作

42、检验？【考点】C G：离散型随机变量及其分布列；C H：离散型随机变量的期望与方差 菁【专题】1 1：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】（1）求出 f（p）=，则=，利用导数性质能求出 f（p）的最大值点 p 0=0.1（2）（i）由 p=0.1，令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y B（180，0.1），再由 X=20 2+25Y，即 X=40+25Y，能求出 E（X）（i i）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E（X）=490 400，从而应该对余下的产品进行检验【解答】解：（1）记 20 件产品中恰有

43、2 件不合格品的概率为 f（p），则 f（p）=，=，令 f（p）=0，得 p=0.1，当 p（0，0.1）时，f（p）0，当 p（0.1，1）时，f（p）0，f（p）的最大值点 p 0=0.1（2）（i）由（1）知 p=0.1，第 2 4 页（共 2 8 页）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y B（180，0.1），X=20 2+25Y，即 X=40+25Y，E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25 180 0.1=490（i i）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E（X）=490 400，应该对余下的产品进行检

44、验【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考 查 是 否 该 对 这 箱 余 下 的 所 有 产品 作 检 验 的 判 断 与 求 法，考 查 二 项 分 布 等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12 分）已知函数 f（x）=x+a l nx（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在两个极值点 x 1，x 2，证明：a 2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值菁 优 网 版 权 所 有【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和

45、导数之间的关系进行求解即可（2）将 不等式 进行等 价转化，构造新 函数，研究函 数的单 调性和 最值即 可得到结论【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数 f（x）=1+=，设 g（x）=x2a x+1，当 a 0 时，g（x）0 恒 成立，即 f（x）0 恒 成立，此时 函数 f（x）在（0，+）上是减函数，当 a 0 时，判别式=a24，当 0 a 2 时，0，即 g（x）0，即 f（x）0 恒 成立，此 时函 数 f（x）第 2 5 页（共 2 8 页）在（0，+）上是减函数，当 a 2 时，x，f（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+）f（x）0+0 f（

46、x）递减 递增 递减综上当 a 2 时，f（x）在（0，+）上是减函数，当 a 2 时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知 a 2，0 x 1 1 x 2，x 1 x 2=1，则 f（x 1）f（x 2）=（x 2 x 1）（1+）+a（l nx 1 l nx 2）=2（x 2 x 1）+a（l nx 1 l nx 2），则=2+，则问题转为证明 1 即可，即证明 l nx 1 l nx 2 x 1 x 2，则 l nx 1 l n x 1，即 l nx 1+l nx 1 x 1，即证 2l nx 1 x 1 在（0，1）上恒成立，设 h（x）=2l nx x

47、+，（0 x 1），其中 h（1）=0，求导得 h（x）=1=0，第 2 6 页（共 2 8 页）则 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即 2l nx x+0，故 2l nx x，则 a 2 成立（2）另解：注意到 f（）=x a l nx=f（x），即 f（x）+f（）=0，由韦达定理得 x 1 x 2=1，x 1+x 2=a 2，得 0 x 1 1x 2，x 1=，可得 f（x 2）+f（）=0，即 f（x 1）+f（x 2）=0，要证 a 2，只要证 a 2，即证 2a l nx 2 a x 2+0，（x 2 1），构造函数 h（x）=2a l nx a x+，（x 1）

48、，h（x）=0，h（x）在（1，+）上单调递减，h（x）h（1）=0，2a l nx a x+0 成立，即 2a l nx 2 a x 2+0，（x 2 1）成立即 a 2 成立【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键综合性较强，难度较大（二）选 考 题：共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则按 所做 的第一 题计 分。选修 4-4：坐 标系 与参数 方程（10 分）22（10 分）在 直 角 坐 标 系 xO y 中，曲 线 C 1 的 方 程 为 y=k|x|+2

49、以 坐 标 原 点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为2+2 c os 3=0 第 2 7 页（共 2 8 页）（1）求 C 2 的直角坐标方程；（2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程【考点】Q 4：简单曲线的极坐标方程菁 优 网 版 权 所 有【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C 2 的极坐标方程为 2+2 c os 3=0 转换为直角坐标方程为：x

50、2+y2+2x 3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4（2）由于曲线 C 1 的方程为 y=k|x|+2，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点（0，2）由于该射线与曲线 C 2 的极坐标有且仅有三个公共点所以：必有一直线相切，一直线相交则：圆心到直线 y=k x+2 的距离等于半径 2故：，或解得：k=或 0，（0 舍去）或 k=或 0经检验，直线 与曲线 C 2 没有公共点故 C 1 的方程为：【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用 选修 4-5：不 等式 选讲（10 分）23已知 f（x）=|x+1