2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).pdf

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1、第 1页（共 27页）2018 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）AiBCD2（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为（）A9B8C5D43（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）ABCD4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D05（5 分）双曲线=1（a0，

2、b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6（5 分）在ABC 中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）第 2页（共 27页）A4BCD27（5 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+48（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）ABCD9（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，

3、AA1=，则异面直线AD1与 DB1所成角的余弦值为（）ABCD10（5 分）若 f（x）=cosxsinx 在a，a是减函数，则 a 的最大值是（）ABCD11（5 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50第 3页（共 27页）12（5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C 的离心率为（）ABCD二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小

4、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为15（5 分）已知 sin+cos=1，cos+sin=0，则 sin（+）=16（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都

5、必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根要题为选考题，考生根要求作答求作答。（一（一)必考题：共必考题：共 60 分。分。17（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn的最小值第 4页（共 27页）18（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 201

6、0 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由第 5页（共 27页）19（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程20（12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面 ABC；（2）

7、若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值21（12 分）已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a第 6页（共 27页）（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（为参数），直线 l 的参数方程为，

8、（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23设函数 f（x）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围第 7页（共 27页）2018 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

9、是符合题目要求的。项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）=（）AiBCD【考点】A5：复数的运算菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：=+故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查2（5 分）已知集合 A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为（）A9B8C5D4【考点】1A：集合中元素个数的最值菁优网版 权所有【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合【分析】分别令 x=1，0，1，进行求解即可【解答】解：当 x=1 时，y22

10、，得 y=1，0，1，当 x=0 时，y23，得 y=1，0，1，当 x=1 时，y22，得 y=1，0，1，即集合 A 中元素有 9 个，故选：A【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键第 8页（共 27页）3（5 分）函数 f（x）=的图象大致为（）ABCD【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版 权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数 f（x）=f（x），则函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，

11、当 x=1 时，f（1）=e0，排除 D当 x+时，f（x）+，排除 C，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键4（5 分）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D0【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用第 9页（共 27页）【分析】根据向量的数量积公式计算即可【解答】解：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5（5 分）双曲线=1（a0，b0

12、）的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】KC：双曲线的性质菁优网版 权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求解即可【解答】解：双曲线的离心率为 e=，则=，即双曲线的渐近线方程为 y=x=x，故选：A【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键6（5 分）在ABC 中，cos=，BC=1，AC=5，则 AB=（）A4BCD2【考点】HR：余弦定理菁优网版 权所有【专题】11：计算题；35：

13、转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC 中，cos=，cosC=2=，第 10页（共 27页）BC=1，AC=5，则 AB=4故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力7（5 分）为计算 S=1+，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+4【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题菁优网版 权所有【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的 S=NT，由此知空

14、白处应填入的条件【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=NT=（1）+（）+（）；累加步长是 2，则在空白处应填入 i=i+2故选：B【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题第 11页（共 27页）8（5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）ABCD【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版 权所有【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】利用列举法先求出不超

15、过 30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【解答】解：在不超过 30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共 10 个，从中选 2 个不同的数有=45 种，和等于 30 的有（7，23），（11，19），（13，17），共 3 种，则对应的概率 P=，故选：C【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过 30 的素数是解决本题的关键9（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与 DB1所成角的余弦值为（）ABCD【考点】LM：异面直线及其所成的角菁优网版 权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；

16、41：向量法；5G：空间角【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，第 12页（共 27页）AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），设异面直线 AD1与 DB1所成角为，则 cos=，异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查异面直线

17、所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5 分）若 f（x）=cosxsinx 在a，a是减函数，则 a 的最大值是（）ABCD【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性菁优网版 权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值【分析】利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由，kZ，得，kZ，取 k=0，得 f（x）的一个减区第 13页（共 27页）间为，结合已知条件即可求出 a 的最大值【解答】解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，kZ，得，kZ，取 k=

18、0，得 f（x）的一个减区间为，由 f（x）在a，a是减函数，得，则 a 的最大值是故选：A【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题11（5 分）已知 f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足 f（1x）=f（1+x），若 f（1）=2，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版 权所有【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【解答】解：f（x）是奇函数

19、，且 f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，则 f（x+2）=f（x），则 f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，第 14页（共 27页）则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性

20、的关系求出函数的周期性是解决本题的关键12（5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：=1（ab0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则 C 的离心率为（）ABCD【考点】K4：椭圆的性质菁优网版 权所有【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得直线 AP 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：A（a，0），F1（c，0），F2（c，0），直线 AP 的方程为：y=（x+a），由F1F2P=120，|PF2|=|F1F2|=

21、2c，则 P（2c，c），代入直线 AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率 e=故选：D第 15页（共 27页）【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版 权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数

22、的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当 x=0 时，y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值为9【考点】7C：简单线性规划菁优网版 权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等第 16页（共 27页）式【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得

23、答案【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，z 取得最大值，由，解得 A（5，4），目标函数有最大值，为 z=9故答案为：9【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15（5 分）已知 sin+cos=1，cos+sin=0，则 sin（+）=【考点】GP：两角和与差的三角函数菁优网版 权所有【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值【分析】把已知等式两边平方化简可得 2+2（sincos+cossin）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为 2sin（+）

24、=1，可得结果【解答】解：sin+cos=1，两边平方可得：sin2+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，第 17页（共 27页）两边平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2（sincos+cossin）=1，即 2+2sin（+）=1，2sin（+）=1sin（+）=故答案为：【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题16（5 分）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB 的面积为 5，则该圆锥的侧面积为40【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网

25、版 权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积【解答】解：圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为，可得sinASB=SAB 的面积为 5，可得sinASB=5，即=5，即 SA=4SA 与圆锥底面所成角为 45，可得圆锥的底面半径为：=2则该圆锥的侧面积：=40故答案为：40【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证

26、明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721第 18页（共 27页）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根要题为选考题，考生根要求作答求作答。（一（一)必考题：共必考题：共 60 分。分。17（12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a1=7，S3=15（1）求an的通项公式；（2）求 Sn，并求 Sn的最小值【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前 n 项和菁优网版 权所有【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）根据 a1=7，S3=15，可得 a1=7，

27、3a1+3d=15，求出等差数列an的公差，然后求出 an即可；（2）由 a1=7，d=2，an=2n9，得 Sn=n28n=（n4）216，由此可求出 Sn以及 Sn的最小值【解答】解：（1）等差数列an中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得 a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；（2）a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n28n=（n4）216，当 n=4 时，前 n 项的和 Sn取得最小值为16【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项的和公式，属于中档题18（12 分）如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资

28、额 y（单位：亿元）的折线图第 19页（共 27页）为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型 根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t 的值依次为 1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【考点】BK：线性回归方程菁优网版 权所有【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】（1）根

29、据模型计算 t=19 时 的值，根据模型计算 t=9 时 的值即可；（2）从总体数据和 2000 年到 2009 年间递增幅度以及 2010 年到 2016 年间递增的幅度比较，即可得出模型的预测值更可靠些【解答】解：（1）根据模型：=30.4+13.5t，计算 t=19 时，=30.4+13.519=226.1；利用这个模型，求出该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 226.1 亿元；根据模型：=99+17.5t，第 20页（共 27页）计算 t=9 时，=99+17.59=256.5；利用这个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5 亿元；（2）

30、模型得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些，从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些，所以，利用模型的预测值更可靠些【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题19（12 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k（k0）的直线 l与 C 交于 A，B 两点，|AB|=8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【考点】KN：直线与抛物线的综合菁优网版 权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：

31、圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）方法一：设直线 AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得 k 的值，即可求得直线 l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线 AB 的倾斜角，即可求得直线 l 的斜率，求得直线 l 的方程；（2）根据过 A，B 分别向准线 l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB 的方程为：y=k（x1），设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1

32、+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x1；第 21页（共 27页）方法二：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），设直线 AB 的倾斜角为，由抛物线的弦长公式|AB|=8，解得：sin2=，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）由（1）可得 AB 的中点坐标为 D（3，2），则直线 AB 的垂直平分线方程为 y2=（x3），即 y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16 或（x11）2+（y+6）2=144【点评】本题考查

33、抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题20（12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面 ABC；第 22页（共 27页）（2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版 权所有【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用【分析】（1）利用线面垂直的判定定

34、理证明 POAC，POOB 即可；（2）根据二面角的大小求出平面 PAM 的法向量，利用向量法即可得到结论【解答】（1）证明：连接 BO，AB=BC=2，O 是 AC 的中点，BOAC，且 BO=2，又 PA=PC=PB=AC=4，POAC，PO=2，则 PB2=PO2+BO2，则 POOB，OBAC=O，PO平面 ABC；（2）建立以 O 坐标原点，OB，OC，OP 分别为 x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：A（0，2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（2，2，0），设=（2，2，0），01第 23页（共 27页）则=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+

35、2，0），则平面 PAC 的法向量为=（1，0，0），设平面 MPA 的法向量为=（x，y，z），则=（0，2，2），则=2y2z=0，=（22）x+（2+2）y=0令 z=1，则 y=，x=，即=（，1），二面角 MPAC 为 30，cos30=|=，即=，解得=或=3（舍），则平面 MPA 的法向量=（2，1），=（0，2，2），PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 sin=|cos，|=|=【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角第 24页（共 27页）的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键21（12 分）已知函数 f（x）=exax2（1

36、）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a【考点】6D：利用导数研究函数的极值菁优网版 权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）方法一、分离参数可得 a=在（0，+）只有一个根，即函数 y=a 与 G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点结合图象即可求得 a方法二、：当 a0 时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点 当 a0 时，设函数 h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点

37、利用 h（x）=x（x2）ex，可得 h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，结合函数 h（x）图象即可求得 a【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=exx2则 f（x）=ex2x，令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2，令 g（x）=0，得 x=ln2当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+）只有一个零点方程 exax2=0 在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，第 25页（共 27

38、页）即函数 y=a 与 G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当 x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0 时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=方法二：当 a0 时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点 当 a0 时，设函数 h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点h（x）=x（x2）ex，当 x（0，2）时，h（x）0，当 x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，（x0）当 h（2

39、）0 时，即 a，由于 h（0）=1，当 x0 时，exx2，可得 h（4a）=1=10h（x）在（0，+）有2 个零点当 h（2）0 时，即 a，h（x）在（0，+）没有零点，当 h（2）=0 时，即 a=，h（x）在（0，+）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参

40、数方程：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（为参第 26页（共 27页）数），直线 l 的参数方程为，（t 为参数）（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为（1，2），求 l 的斜率【考点】QH：参数方程化成普通方程菁优网版 权所有【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线 l 的参数方程为

41、（t 为参数）转换为直角坐标方程为：xsinycos+2cossin=0（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，当直线的斜率不存时，x=1无解故舍去当直线的斜率存在时，（由于 t1和 t2为 A、B 对应的参数）所以利用中点坐标公式，则：8cos+4sin=0，解得：tan=2，即：直线 l 的斜率为2【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用第 27页（共 27页）选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23设函数

42、 f（x）=5|x+a|x2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）0 的解集；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法菁优网版 权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x2|4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=5|x+1|x2|=当 x1 时，f（x）=2x+40，解得2x1，当1x2 时，f（x）=20 恒成立，即1x2，当 x2 时，f（x）=2x+60，解得 2x3，综上所述不等式 f（x）0 的解集为2，3，（2）f（x）1，5|x+a|x2|1，|x+a|+|x2|4，|x+a|+|x2|=|x+a|+|2x|x+a+2x|=|a+2|，|a+2|4，解得 a6 或 a2，故 a 的取值范围（，62，+）【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题