2022年定义证明二重极限.docx-得力文库

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1、2022年定义证明二重极限第一篇：定义证明二重极限定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点旁边的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的肯定值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，假如对于随意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满意不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若

2、对于随意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当pp。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，假如对于随意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a卜利用极限

3、存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(inx/x2)的极限为0; (2)证明数列xn，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x2>0,故lnx/x2>0 且lnx1),lnx/x2<(x-1)/x2.而(x-1)/x2极限为0 故(inx/x2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种状况,x0=a时,明显极限为a x0>a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减且xn=/2>a,a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对

4、原始两边求极限得a=/2.解得a=a 同理可求x0<a时,极限亦为a 综上,数列极限存在,且为 (一)时函数的极限：以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考

5、虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生驾驭函数极限的基本性质。教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例探讨性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质):

6、 th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (留意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简洁极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将接连证明这些公式. 利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 其次篇：证明二重极限不存在证明二重

7、极限不存在如何推断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不准备做具体的探讨,只是略谈一下在推断二重极限不存在时,一个值得留意的问题。由二重极限的定义知,要探讨limxx0yy0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特别曲线,假如动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limxx0yy0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能驾驭,但是在找一些特别曲线时,是有肯定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线肯定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很简单疏忽大意

8、,特殊是为图便利,对于型如limxx0yy0f(x,y)g(x,y)的极限,在推断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很简单出错。例如,简单知道limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)1)。为什么会出现这种状况呢?细致分析一下就不难得到答案 2 若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来探讨，一0g，y。可能会出现错误，只有证明白(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(2022)0l_0l02_02如何推断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这

9、一节的难点，在这里笔者对这一问题不准备做具体的探讨。只是略谈一下在推断二重极限不存在时。一个值得留意的问题。由二重极限的定义知，要探讨limf(x，y)不存在，通常x10yy0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特别曲线，假如动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i10ry0法一般人都能驾驭，但是在找一些特别曲线时，是有肯定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线肯定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很简单疏忽大意，特殊是为图便利，对于型如2的极限，在判卜iogx，yyy0断其不

10、存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很简单出错。 3 当沿曲线y=-x+x2趋于(00)时，极限为lim(-x2+x3)/x2=-1; 当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx2/2x=0。故极限不存在。 4 x-y+x2+y2 f(x,y)= x+y 它的累次极限存在： x-y+x2+y2 limlim=-1 y->0x->0x+y x-y+x2+y2 limlim=1 x->0y->0x+y 当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。第三篇：用极限定义证明极限例1、用数列极

11、限定义证明：limn?2?0 n?n2?7 n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n 2 上面的系列式子要想成立，须要第一个等号和不等号、均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号成立的条件是2<n；不等号成立的条件是7<n； n4，即n>2；不等号成立的条件是n?，故取n=max7, 2? 44。这样当n>n时，有n>7，n?。 ? 4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式、能成立；因为n?，所以不等号成立的条件是1? |不等式能成立，因此当n>n时，上述

12、系列不等式均成立，亦即当n>n时，在这个例题中，大量运用了把一个数字放大为n或n?2?0|?。 n2?7n的方法，因此，对于详细的数，2 可把它放大为的形式 kn n?4?0 n?n2?n?1 n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2? n?n?1n?n?1n?n?1n2n 22不等号成立的条件是n?,故取n=max4, ,则当n>n时，上面的不等式都成?例2、用数列极限定义证明：lim 立。注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2?n?1?n2 n2?n?1?n n?n?n22 n(n?1)2?n?1 (?1)n 例3、已

13、知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1) (?1)n1(1)1(2) 证明：?0(设0?1)，欲使|an?0|?|?成立 22(n?1)(n?1)n?1 11?解得：n?1，由于上述式子中的等式和不等号对于随意的正整n?1? 1数n都是成立的，因此取n?1，则当n>n时，不等号成立，进而上述系列等式由不等式? 和不等式均成立，所以当n>n时，|an?0|?。在上面的证明中，设定0?1，而数列极限定义中的?是随意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?1，则n?1就有1 ? 可能不是正整数，例如若?2，则此

14、时n1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?1，这样就能保证n是正整数了。那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。根据上面已经证明的结论，当?0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?0|0.5成立。因此，当nn1时，对于随意的大于1的?，下列式子成立： |an?0|0.51?，亦即对于全部大于1的?，我们都能找到与它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对于较小的?能找到对应的n，则对于较大的? 就自然能找到对应的n。第四篇：极限定义证明极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 这两个

16、|=|2x+1|<成立，只须要0<|x+1/2|</2成立.所以取=/2,则当0<|x+1/2|<时，必有 |1-4x2/2x+1-2|=|2x+1|<，由函数极限的定义可得x-1/2时，1-4x2/2x+1的极限为2. 留意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个肯定值里面x减去的那个x0. 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1; 那么存在n1,当x>n1,有a/m<

17、=f1(x) 留意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x) 同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x) 取n=maxn1,n2.nm; 那么当x>n,有 (a/m)n<=f1(x)n<=f1(x)n+.fm(x)n 所以a/m<=(1/n) 对n取极限，所以a/m<=g(x)n时成立; 令x趋于正无穷， a/m<=下极限g(x)<=上极限g(x)<=b; 留意这个式子对随意m>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。令m趋于正无穷，b趋于a; 有a<=下极限g(x)&

18、lt;=上极限g(x)<=a; 这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点怪异是为了把a=0的状况也包含进去。还有个看起来简洁些的方法记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=maxf1(x),.fm(x); 然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。其实这个看起来明显，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。有种简洁点的方法，就是 maxa,b(请接着关注ww.haoo.cm)=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简洁代数式。多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后接着，从而为有限次代数运算

19、式，故极限可以放进去。 2 一)时函数的极限：以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.

20、例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生驾驭函数极限的基本性质。教学要求：驾驭函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例探讨性质.均给出证明或简证. 二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若

21、在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (留意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简洁极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将接连证明这些公式. 利用极限性质，特殊是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 2 第五篇：函数极限的定义证明习题1?3 1. 依据函数极限的定义证明: (1)lim(3x?1)?8;x?

22、3 (2)lim(5x?2)?12;x?2 x2?4?4;(3)limx?2x?2 1?4x3 (4)lim?2. x?2x?12 1证明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|? , 只须|x?3|?.3 1证明因为? ?0, ?, 当0?|x?3|?时, 有|(3x?1)?8|? , 所以lim(3x?1)?8.x?33 1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|? , 只须|x?2|?.5 1证明因为? ?0, ?, 当0?|x?2|?时, 有|(5x?2)?12|? , 所以li

23、m(5x?2)?12.x?25 (3)分析 |x?(?2)|?.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)?|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)?, 只须x?2x?2x?2 x2?4x2?4?(?4)?, 所以lim?4.证明因为? ?0, ?, 当0?|x?(?2)|?时, 有x?2x?2x?2 (4)分析 1?4x3111?4x31?2?, 只须|x?(?)|?.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222 1?4x3111?4x3 ?2?, 所以lim证明因为? ?0, ?, 当0?|x?(?)|?时, 有?2.12x?12x?122x?2. 依据函

25、 3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|<?时, |y?4|<0. 001？解由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2|x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要 |x?2|? 0.001 ?0.0002, 取?0. 0002, 则当0?|x?2|?时, 就有|x2?4|?0. 001.5 x2?1x?3 4. 当x?时, y? x2?1x2?3 ?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01? 解要使?1? 4x2?3 ?0.01, 只|x|? ?3?3101

26、, x?.0.01 5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零. x|x| 6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在. xx 证明因为 x limf(x)?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?x limf(x)?lim?lim1?1, x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),? x?0 x?0 所以极限limf(x)存在. x?0 因为 lim?(x)?lim? x?0 x?0 |x|?x ?lim?1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x lim?(x)?lim? x?0 x?0 lim?(

27、x)?lim?(x),? x?0 x?0 所以极限lim?(x)不存在. x?0 7. 证明: 若x?及x?时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a. x? 证明因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以?>0, x? x? ?x1?0, 使当x?x1时, 有|f(x)?a|? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|? . 取x?maxx1, x2, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|? , 即limf(x)?a. x? 8. 依据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证

28、明先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则?>0, ?0, 使当0<|x?x0|<? 时, 有 |f(x)?a|<? . 因此当x0?<x<x0和x0<x<x0? 时都有 |f(x)?a|<? . 这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则?>0,?1>0, 使当x0?1<x<x0时, 有| f(x)?a<? ;?2>0, 使当x0<x<x0+?2时, 有| f(x)?a|<? . 取?min?1, ?2,

29、则当0<|x?x0|<? 时, 有x0?1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 从而有 | f(x)?a|<? , 即f(x)?a(x?x0). 9. 试给出x?时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x?时函数极限的局部有界性的定理? 假如f(x)当x?时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 证明设f(x)?a(x?)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f(x)?a|? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|? 这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|? 第22页共22页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页第 22 页共 22 页

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