全等三角形难题题型归类及解析_中学教育-中考.pdf

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1、.专业 .全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。1.如图，在 ABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分BAC，在AB上截取AE=AC，连结 DE，已知 DE=2cm，BD=3cm，求线段 BC 的长。2.已知：如图所示，BD 为ABC 的平分线，AB=BC，点 P 在 BD 上，PMAD 于 M，PNCD 于 N，判断 PM 与 PN 的关系 ABCDEPDA

2、CBMN.专业 .3.如图所示，P 为AOB 的平分线上一点，PC OA于 C，OAP+OBP=180，若 OC=4cm，求 AO+BO 的值 4.已知：如图 E在ABC 的边 AC 上，且AEB=ABC。(1)求证：ABE=C；(2)若BAE 的平分线 AF 交 BE于 F，PDACBO辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一

3、动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .FDBC 交 AC 于 D，设 AB=5，AC=8，求 DC 的长。5、如图所示，已知1=2，EFAD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2M=（ACB-B）21PFMDBACE 6、如图，已知在ABC 中，BAC 为直角，AB=AC，D 为 AC 上一点，CEBD 于 E（1）若 BD

4、平分ABC，求证 CE=12BD；（2）若 D 为 AC 上一动点，AED 如何变化，若变化，求它的变化围；若不变，求出它的度数，并说明理由。EDCBA辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的

5、中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .7、如图：四边形 ABCD 中，ADBC，AB=AD+BC ，E是 CD 的中点，求证：AEBE。8、如图，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD 二、中点型 由中点应产生以下联想：1、想到中线，倍长中线 ADBCE辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一

6、点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .2、利用中心对称图形构造 8 字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 1、ABC 中，A=90，AB=AC，D

7、 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且 DEDF，试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由 FDCABE 2、已知：如图，ABC中，45ABC，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点FH，是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G（1）求证：BFAC；（2）求证：12CEBF D A E F C H G B 3、如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，DEDF，试判断 BE+CF 与 EF的大小关 系，并证明你的结论。辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成

8、等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .4、如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E是 AD 上的一点，且 BE=AC，延长BE交 AC 于 F，求证：

9、AF=EF 三、多个直角型 在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。1、如图,已知:AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE求证:BECF E F C D B A 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动

10、点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .2、如图,已知：ABBC 于 B,EFAC 于 G,DF BC 于 D,BC=DF 求证：AC=EF 3、如图，ABC=90，AB=BC，BP 为一条射线，ADBP，CEPB，若 AD=4，EC=2.求 DE 的长。FGEDCBA辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边

11、的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .4、如图，ABC 的两条高 AD、BE 相交于 H

12、，且 AD=BD，试说明下列结论成立的理由。（1）DBH=DAC；（2）BDH ADC。5.如图ACB=90,AC=BC,BE CE,AD CE 于 D，ABCDEH辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上

13、的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .AD=2、5cm，DE=1.7cm,求 BE的长 6.如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于 E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行

14、线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .7.如图(1),已知ABC 中,BAC=900,AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且B

15、、C 在 A、E的异侧,BDAE 于 D,CE AE 于 E(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问BD与DE、CE 的关系如何?请直接写出结果,不需说明.辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业

16、如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .FEDCBA （4）归纳前二个问得出 BD、DE、CE 关系。用简洁的语言加以说明。四、等边三角形型 由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有 60 度和120 度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有 60 度的角的时候经常构造等边

17、三角形解题。1、如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形（2）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（3）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出

18、它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .2、已知等边三角形中，与相交于点，求的大小。3、如图，D 是等边ABC 的边AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边EDC，连接 AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由 4、已知，ABC 和ECD 都是等边三角形，且点 B，C，D 在一条直线上.求证：BE=AD E D C B A 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二

19、是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .5、已知 P 是等边ABC

20、 的一点，BPCPCPBPA则,3,4,5的度数为多少？6、已知 P 是正方形 ABCD 的一点，PAPBPC=1 23，APB则的度数为多少？.ABDCPEABCDEFG 五、等腰三角形型 由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如

21、图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .1、如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF 2.在ABC 中，,AB=AC，在 AB 边上取点 D，在 AC 延长线上取点 E，使CE=BD，连接 DE 交 BC 于点 F，求证 DF=EF

22、.3.如图所示,已知 D 是等腰ABC 底边 BC 上的一点,它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF,CM AB,垂足为 M,请你探索一下线段 DE、DF、CM 三者之间的数量关系,并给予证明.A E B M C F FCBAED辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说

23、明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .EDCBAMF 折叠型 、如图，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP (1)如图，若M 为 AD 边的中点，,AEM 的周长=_cm；求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M 在 AD

24、 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、D 重合)，PDM辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于

25、点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论.专业 .的周长是否发生变化?请说明理由 辅助线是一利用截取一条线段构造全等三角形二是经过平分线上一点作两边的垂线另外掌握两个常用的结论角平分线与平行线构成等腰三角形角平分线与垂线构成等腰三角形如图在中是边上一点平分在上截取连结已知求线段的长已求证若的平分线交于专业交于设求的长如图所示已知于交延长线于求证如图已知在中为直角为上一点于若平分求证若为上一动点如何变化若变化求它的变化围若不变求出它的度数并说明理由专业如图四边形中是的中点求证如图在中角三角形中联想直角三角形斜边上的中线三角形的中位线中为中点分别在上且试判断的数量关系并说明理由已知如图中于与相交于点是边的中点连结与相交于点求证于平分且求证如图中是的中点试判断与的大小关系并证明你的结论